Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1159534), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Обозначая характерную скорость течения через (г', характерный размер через й вводя число Рейнольдса (4.1) и полагая ."=" у '-' ~=иг' аг — (Тш(у), ф'=(грр(у)ееаг -агг, (4. 2) получим из (2.9) следующее дифференциальное уравнение четвартого порядка для неизвестной функции х(у) поля возмущений: (пг(у, '— с)(ера — аеа) — ш"9 = — — (ергт — 2аегр" + а«р). (4.3) ай Составляющее вектора скорости поля возмущений будут при этом равны: ем е гт~~~ ь гх-агй ах= (4.4) 1(ля исследования устойчивости ламинарного течения между двумя неподвижнывй стенками (у= — О, у =2гг) решение уравнения (4.3) необходимо годчннить граничным условиям прилипання частиц жидкости к стенкам. В этом случае за характерную скорость течения (1 можно взять максимальное значение скорости (у = й). Тогда распределение скоростей по сечению в безразмерных параметрах будет б 4) 413 твчвннв мвждг плвлллвльными станками представляться в виде (у) = =(у,.у — у'), Уг (4.5) где — Ь у =2— (4.6) Учитывая равенства (4.4) и (4.б), можно записать условия прнлипа- ния частиц жидкости к стенкам в поле возмущений в виде м(о) = о, р'(о) = о, м(~,)=о, р'(у,) =о.
1 (4.у) Для исследования устойчивости течения в пограничном слое решение уравнения (4.3) должно проводиться прн выполнении условия прнлипання к одной стенке р(о)=о, р'(о)=о (4.3) и при выполненнн дополннтельного условия на границе слоя, отражающего собой непрерывный переход решения уравнения (4.3) для вязкой жидкости в решение соответственного уравнения для идеальной жидкости. Уравнение поля возмущений для идеальной жидкости мы получим из (4.3), полагая прн )т-ьпо шв(у)-ь О. Прв этом предельном переходе мы получим из (4.3) уравнение яцр= о, общее решение которого представляется в виде (4.9) м = Сде в + Сэе Чтобы иметь ограниченное решение уравнению (4.9), необходимо постоянную С приравнять нулю. Тогда требование непрерывности перехода решения уравнения (4.3) в решение уравнения (4.9) на границе слоя (у= — у ) может быть представлено в виде равенств Т(у,)=С -"", м'(у ) = — Саяе Отсюда мы получим следующее дополнительное условие, которому необходимо подчинить решение уравнения (4.3) для случая исследования устойчивости течения в пограничном слое: ам(у ) + я~ (у,) = О.
(4. 1О) 414 (ГЛ. Х4 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛАМИНАРНЫХ ТВЧВИИЙ К условиям (4.8) и (4.10) присоединяется условие ограниченности решения при неограниченном возрастании переменного у, т. е. р( )(< (4.1 1) Так как тв(у) представляет собой аналитическую функцию от у, то четыре независимых решения уравнения (4.3) булут аналитическими функциями от переменного у и целыми функциями от трех входящих в уравнение параметров а, агс и с. Параметр а представляет собой длину волны возмущения, а параметр 44 — число Рейнольдса; оба параметра должны быть действительными, Параметр же с, связаннь~й со скоростью распространения волны возмущения и со степенью изменения со временем высоты гребня волны возмущения, пожег быть и комплексным, т.
е. с = с„+ 1с,, Основная нлея исследования устойчивости ламинарного течения сволнтся к тому, чтобы найти зависимость межлу этими тремя параметрами а, (ч и с: Р (а, (4, с) =- О. (4.12) Если эта зависимость будет разрешена относительно параметра г, то после отделения действительной и мнимой части будут получены равенства с,=с„(а, Я), ~ са.=са(а, (х). (4.13) Из равенств (4.4) следует, что исследуемое течение будет устойчи- вым лля положительных значений сз и неустойчивым для отрицатель- ных значений сг. Следовательно, кривая (4.1 4) сг(а, Я) = О (4.1 5) р Сг ! д + Сайз + Сз 4з + С4 4 4 Используя однородные граничные условия (4.7), мы получим однородную систему четырвх уравнений относительно постоянных С,, Сю Сз и С,.
Условие разрешимости этой системы уравнений ласт нам на плоскости параметров а и гх будет разграничивать области устойчивых и неустойчивых течений. К построению такой разграничительной кривой и должна сводиться рассматриваемая аадача об устойчивости ламинарных течениИ. Такая зависимость межлу параметрами должна быть установлена с помощью четырех независимых решений уравнения (4.3) и соответственных однородных граничных условий.
Если независимые реше- ниЯ обозначить чеРез Р4, Рз, Ра и Р,, то общее Решение УРавнениЯ (4.3) представится в виде в 4) 415 течяния мяждэ пьвлллвльными стенками уравнение ~,(о) р,(о) р',(о) р,'(о) йз(У1) ', (Уг) э!(Уг) Р,'(Уг) характеристическое или вековое р, (о) р',(о) 'рг (У1) р',(у ) р,(о) р',(о) Ря(У~) Р',(Уг) (4.16) Это уравнение как раз и будет прелставлять собой зависимость (4.12) между параметрами я, )х и с для случаи лзминарного течения между параллельными неподвижными стенками, Для течения в погрзничном слое мы должны одно из независимых, например лм отбросить как не удовлетворяющее условию ограниченности решения (4.! 1).
Следовательно, общее решение уравнения (4.3) в этом случае должно представляться в зиле ~=Ср,+С,р,-+Сэр,. (4.17) Это общее решение должно уловлетворять граничным условиям (4.8) и (4.10). Но так как прн приближении к границе слоя уравнение (4.3) должно вырожлаться в уравнение (4.9), то на этой границе третье независимое решение ра должно оказаться несущественным и его можно отбросить при удовлетворении условию (4.10), В таком случае вековое уравнение для случая течения в пограничном слое будет; р,(о) р,(о) р,'(о) р,'(о) = о, «.!8) з4,(У,)+ Р.,'(У,) О р,(о) р,'(о) Яфг (Уг) + фг (Уг) Чтобы из вековых уравнений (4.16) и (4.!8) получить уравнение разграничительной кривой (4.14) в конкретном зиле, необхолимо в явном виде построить четыре независимых решения уравнения (4.3); в этом-то и заключается основная математическая трудность рассматриваемой задачи об устойчивости ламинариых течений.
Наиболее распространенным методом решения обыкновенного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами является метол представления решения по степеням соответственно выбранного малого параметра. Так как ламинарное течение теряет устойчивость при сравнительно больших значениях числа Рейнольдса, то в рассматриваемом случае в качестве малого параметра но>кис было бы выбрать 1 отношение —. Но в уравнении (4.3) этот малый параметр входит ай множителем при старшей производной. Это обстоятельство создаЕт дополнительные трудности в применении метода разложения решения 1 по степеням малого параметра —.
Этн трулности возникают, ай 416 гстойчивость ллминьвных течений (гл. х~ во-первых, оттого, что в нулевом приближении мы получим дифференциальное уравнение второго порядка, а не четвертого. Следовательно, в этом приближении можно построить только два независимых решения, а не четыре. Во-вторых, для дифференциального уравнения второго порядка точка У = у„ для которой будет выполняться равенство (4.19) чв (у,) = с, будет особой точкой, тогда как для полного уравнения (4.3) эта точка не будет особой.
На это обстоятельство раньше не обращалось внимание исследователей; именно по этой причине и не удавалось обнаружить неустойчивость ламинарного течения между параллельными стенками. Наличие особой точки У = У, вынужлает по-особому выбирать путь соответственного интегрирования в плоскости комплексного переменного у прн аналитическом продолжении дифференциаль. ного уравнения (4.3) на эту плоскость. Подробное исследование всех этих вопросов дано в цитированной выше работе Лина.
Для проведения числовых вычислений в этой работе используется метод построения асимптотических решений уравнения (4.3), ваключающнйся в следующем. Первые два независимых решения строятся путам непосредствен- 1 ного разложения решения по степеням параметра —. Полагая ай р (у) = <рз (у)+ (ай) 'рг (У) + (я й) %рз (у) + ° " (4 20) подставляя это разложение в уравнение (4.3) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях параметра, получим следующую последовательность дифференциальных уравнений второго порядка: (4,21) (ш — с)(уь — вара) — ш ра =- — Г(фа-г — 2в-'рь-г+а рл-г) (Л~~1), (4.22) Дифференциальное уравнение (4.21) нулевого приближении, отвечающее полю возмущений без учета сил вязкости, можно решить с помощью разложений по степеням параметра из.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
