Ю.В. Нестеренко - Курс лекций по теории чисел (1159521)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций потеории чиселЛектор — Юрий Валентинович НестеренкоIV курс, 7 семестр, поток математиковМосква, 2006 г.ПредисловиеОт наборщикаЧто можно сказать про эти лекции? Я думаю, что они оказались вполне качественными. В первую очередьиз-за того, что Нестеренко — отличный лектор. Поэтому при наборе не приходилось особо задумываться надразличными утверждениями — всё было понятно.
Ну, разумеется, как во всяком продукте человеческого труда,здесь возможны разные нехорошие баги. Увидите их — сообщайте мне. Желаю приятного ботанья!Выражаю благодарность Диме и Мише Вельтищевым за помощь в наборе, за выслушивание моих глупыхвопросов по особенностям TEX’a и MetaPost’a и за контроль TEX-нической грамотности, а также КабировойГульнаре за предоставление некоторых лекций, на которых я не присутствовал (да-да, и такое бывало).Юхименко Александр (alesandro1985@mail.ru)От редакцииМы выражаем благодарность наборщику, без деятельности которого этот курс не существовал бы.
Текстполностью отредактирован, часть доказательств написана более подробно.В этой версии вроде нейтрализованы все опечатки, поступившие нам до 17-го января. Кресты на поляхубраны, потому что лажи исправлено много, и новые кресты ставить лень.Пока глобально остаётся неисправленным две вещи: 1◦ : более подробное рассуждение про выбор T в первойглаве (спасибо Саше Юхименко и Мише Левину за замечания), и 2◦ : ещё нужно капитально пропатчить тексттеоремы Линдемана – Вейерштрасса и её окрестностей.
Многое там этом разделе ещё не исправлено, сейчасмаловато времени. Если оно появится, редактура по 1◦ появится сегодня-завтра, если нет — после 22-го января.Редактура 2◦ в любом случае дело очень ответственное, и там нужно много того, чего сейчас нет, а именновремени.Последняя компиляция: 17 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.БлагодарностиБлагодарность за поиск лажи выражается Паше Наливайко, Володе Филатову, Юре Дружинину, самомутоварищу наборщику, Альмире Червовой, Сергею Гладких, Коле Рудому, Мише Левину, Мише Берштейну,Юре Притыкину и даже Сене Акопяну, который вообще с другого потока.Используемые обозначенияОбычно простое Pчисло мы будем обозначать буквой p (если p занята, то далее по алфавиту q или r).
Есливстречается запись, то это означает, что суммирование ведется по всем простым числам, меньшим x. Иногда,p<xразумеется, мы будем использовать букву p для обозначения произвольного натурального числа, не обязательнопростого.• p x — означает, что число p делит число x..• x .. p — означает, что число x делится на p.• (a, b) — наибольший общий делитель (НОД) чисел a и b. Аналогичное обозначение используется и дляНОД нескольких чисел: (a1 , . .
. , an ).• [a, b] — наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b. Аналогичное обозначение используется и для НОКнескольких чисел: [a1 , . . . , an ].• f (x) ∼ g(x) ⇔f (x)g(x)→ 1, x → ∞.• #A — количество элементов в множестве A.• Z+ — множество целых неотрицательных чисел.Литература[1] Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б.
Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Моск. ун-та,1984.[2] Хасс. Лекции по теории чисел.2Оглавление1.Введение1.1. Простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Основная теорема арифметики . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.Асимптотический закон распределения простых чисел2.1. Оценки Чебышева для функции π(x) . . . . . . . . . . . . . .2.2. Функция Чебышева и ее связь с π(x) . . . . . . . . . . . . . .2.3. Дзета-функция Римана . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .2.3.1. Определение и простейшие свойства . . . . . . . . . .2.3.2. Мультипликативные функции. Формула Эйлера . . .2.3.3. Аналитическое продолжение ζ-функции . . . . . . . .2.3.4. Оценки ζ-функции и её производной . . .
. . . . . . .2.3.5. Гипотеза Римана и теоремы о нулях ζ-функции . . .2.4. Доказательство асимптотического закона простых чисел . .3.4.Теорема Дирихле3.1. Частные случаи теоремы Дирихле. Сравнения по модулю3.1.1. Простейший частный случай: an = 4n + 3 . . . . . .3.1.2. Сравнения по модулю и их простейшие свойства . .3.1.3. Ещё одно доказательство бесконечностимножества простых чисел вида 4n ± 1 .
. . . . . . .3.2. Характеры Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Определение и простейшие свойства . . . . . . . . .3.2.2. L-функции Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.3. Доказательство теоремы Дирихле . . . . . . . . . .444.........557991011121315. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17171717..................................................................................................................................................................................................................................................................................................1920202123Алгебраические и трансцендентные числа4.1. Алгебраические числа .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.1. Свойства алгебраических чисел . . . . . . . . . . . . . . .4.1.2. Целые алгебраические числа . . . . . . . . . . . . . . . .4.1.3. Теорема о примитивном элементе . . . . . . . . . . . . . .4.1.4. Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел4.2. Проблема квадратуры круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.
Расширения полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1. Нормальные расширения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.2. Норма в конечных расширениях . . . . . . . . . . . . . .4.4. Приближение иррациональных чисел рациональными . . . . . .4.4.1. Приближение действительных чисел рациональными . .4.4.2. Приближение алгебраических чисел рациональными .
.4.5. Теорема Линдемана – Вейерштрасса и её следствия . . . . . . .4.5.1. Трансцендентность e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.2. Иррациональность π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5.3. Доказательство теоремы Линдемана – Вейерштрасса . . .4.5.4. Следствия из теоремы Линдемана – Вейерштрасса .
. . .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2424242627282829293031313232323434373..............1. Введение1.1. Простые числаОпределение. Натуральное число n называется составным, если может быть представлено в виде n = uv,где u, v > 1. Натуральное число, не являющееся составным, называется простым. Число 1 не является ни простым, ни составным по определению..
. 11} и 213466917 − 1.Вот пара интересных примеров простых чисел: 11. . 11} 4 11| .{z| .{z3232Утверждение 1.1. Пусть M ∈ N и p > 1 — наименьший делитель M . Тогда p — простое. Предположим, что p = uv, где u, v > 1. Тогда u и v — делители M , меньшие p. Теорема 1.2 (Евклид).
Множество простых чисел бесконечно. Допустим, существует лишь конечное множество простых чисел {p1 , . . . , pn }. Рассмотрим число M :=:= p1 · p2 · . . . · pn + 1. Пусть p — его наименьший делитель. Очевидно, M не делится ни на одно из чиселpi . Согласно предыдущему утверждению, либо число p является простым, либо p = 1 (то есть само число Mпростое). В обоих случаях мы получили ещё одно простое число. С древних времен известен способ нахождения простых чисел (решето Эратосфена).
К настоящему моментуимеются некоторые его модификации, которые лишь незначительно ускоряют процесс поиска.Теорема 1.3 (Решето Эратосфена). Выписываем числа 1, 2, 3, . . . , n и вычёркиваем единицу. Далее, первое незачёркнутое число p обводим рамкой и вычёркиваем все числа, кратные ему, начиная c p2 . Затем берёмпервое невычеркнутое и необведённое число, с ним делаем то же самое, и так далее.
Обведённые числа сутьвсе простые числа в диапазоне от 1 до n. Заметим, что вычеркиваются лишь составные числа, поэтому простые останутся невычеркнутыми. Предположим, что число a не вычеркнуто, и a = pv, где p, v > 1. Пусть p — минимальный делитель a. Тогда он прост.Но p2 6 pv = a, значит, число a в свое время нужно было вычеркнуть. Составных чисел бесконечно много, но их в некотором смысле гораздо больше, чем простых. Вот примеротрезка натурального ряда длины n − 1, состоящего сплошь из составных чисел: n! + 2, n! + 3, . . . , n! + n. Такимобразом, между простыми числами встречаются сколь угодно большие пробелы.Тем не менее, в натуральном ряду встречаются и отрезки, на которых простых чисел сравнительно много.Так, на отрезке 1015 , 1015 + 150000 расстояние между соседними простыми числами не превосходит 276.До сих пор не доказан факт бесконечности пар простых чисел вида (n − 1, n + 1) (гипотеза «близнецов»).Самая большая на сегодняшний день такая пара — это (291 · 21553 ± 1).Еще одна до сих пор нерешённая задача (проблема Гольдбаха): каждое чётное число представимо в видесуммы двух простых.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
