Небольшой кусочек лекций (1159518)
Текст из файла
ÏÈÌÅ×ÀÍÈÅ: â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íàïèñàíî "ëåãêî äîêàçàòü", "ëåãêî ñëåäóåò", "ëåãêî ïîëó÷èòü"èò. ï., ÷èòàéòå: "Äîêàæèòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî".ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß: A ïîëå àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë, ZA êîëüöî öåëûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë. Äëèíîéìíîãî÷ëåíà P íàçûâàåòñÿ ñóììà ìîäóëåé åãî êîýèöèåíòîâ L(P ).27. Îáîáùåíèå òåîðåìû Ëèóâèëëÿíà ìíîãî÷ëåíû îò íåñêîëüêèõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåëÒåîðåìà Ïóñòü 1 ; : : : ; s àëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëà ñòåïåíåé ñîîòâåòñòâåííî m1 ; : : : ; ms .
Òîãäà ñóùåñòâóåòòàêàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ C = C (1 ; : : : ; s ), ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîãî÷ëåíà P (x1 ; : : : ; xs ) 2 Z[x1; : : : ; xs ℄ëèáî P (1 ; : : : ; s ) = 0, ëèáî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîjP ; : : : ; s j L(ãäå1)1m1 ms ) C d ;((1)d è L ñîîòâåòñòâåííî ñòåïåíü è äëèíà ìíîãî÷ëåíà P (x1 ; : : : ; xs ).Äîêàçàòåëüñòâî ðàçîáüåì íà îòäåëüíûå ïóíêòû.1) Ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî a, ÷òî âñå ÷èñëà a1 ; : : : ; as öåëûå àëãåáðàè÷åñêèå.Óòâåðæäåíèå áûëî äîêàçàíî ðàíåå. a ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ñòàðøèõ êîýèöèåíòîâ êàíîíè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ÷èñåë 1 ; : : : ; s .2) ×èñëî = ad P (1 ; : : : ; s ) 2 ZA .Äåéñòâèòåëüíî, åñëè k1 ; : : : ; ks íåîòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà èk1 + ks d, òîad k11 ks s = (a1 )k1 (as )ks ad k1 ks 2 ZA ;îòêóäà ëåãêî ñëåäóåò óòâåðæäåíèå.3) Ïóñòü i1 ; : : : ; imi .
÷èñëà, ñîïðÿæåííûå àëãåáðàè÷åñêîìó ÷èñëó i ,i = 1; s. Òîãäà âñå ÷èñëàjad P r1 ; : : : ; srs j C d L;(ãäå1)1 ri mi , à ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ Cíå çàâèñèò îò ìíîãî÷ëåíà1Óòâåðæäåíèå ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ ñA(x) =4)m1Yr1 =11P.C1 = a max(1; jij j):i;jmsYx adP (1r1 ; : : : ; srs )) 2 Q [x℄(rs =1Óòâåðæäåíèå ëåãêî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òîA(x) = A(x j 1 ; : : : ; s ) ñèììåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí îòíîñèòåëüíî s ñèñòåì ïåðåìåííûõ i ==(i1 ; : : : ; imi ) è èç ðàíåå äîêàçàííîé ëåììû î ñèììåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíàõ îò íåñêîëüêèõ ñèñòåì ñîïðÿæåííûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ïóñòü b x x n ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ÷èñëà . Ïîñêîëüêó 2 ZA (ñì. ïóíêò 2)), òî B x 2 Z x è jb j òîëüêî P ; : : : ; s 6.B (x) = xn + bn 1 xn=(11++0 = (1)()(1) = 0)[℄0, åñëè1Ìíîãî÷ëåíû A(x) è B (x) èìåþò ðàöèîíàëüíûå êîýèöèåíòû è îáùèé êîðåíü , à ò.ê.
B (x) ìèíèìàëüíûé ìíîãî÷ëåí ÷èñëà , òî B (x) j A(x) è âñå êîðíè B (x) ñóòü êîðíè A(x). À òîãäà ïî óòâåðæäåíèþ3)dd n 1;1 jb0 j = j j j2 s j a jP (1 ; : : : ; s )j(C1 L)(m m ) 1À òàê êàê n m1 ms , òî èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñ C = aC1 1 s .128.
Ëåììà Çèãåëÿîá îöåíêàõ ðåøåíèé ñèñòåì óðàâíåíèé ñ öåëûìè êîýèöèåíòàìèËåììà Ïóñòü aij2 Z, jaij j < A èqXLi (x) =j =1Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèéèìååò ðåøåíèåi = 1; p; p < q:Li (x) = 0;x ; : : : ; xq(0)( 1aij xj ;(0), xj)(0)i = 1; p2 Z, òàêîå, ÷òî0< maxjxjj(0)jpqA) q p :1+(Äîêàçàòåëüñòâî Ïóñòü X íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå áóäåò âûáðàíî â äàëüíåéøåì, è êàæäàÿ èçâåëè÷èí xj ïóñòü íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0; 1; : : : ; X: Âñåãî ïîëó÷èì (2X + 1)qíàáîðîâ x = (x1 ; : : : ; xq ). Êàæäîìó èç ýòèõ íàáîðîâ ñîîòâåòñòâóåò íàáîð L(x) = (L1 (x); : : : ; Lp (x)), ïðè÷åìjLi (x)j qAX è, ñëåäîâàòåëüíî, âñåãî ìîæåò áûòü íå áîëåå (2qAX + 1)p ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ L(x).
ÅñëèX + 1)q > (2qAX + 1)p ;(2)(2òî ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå ìîæíî íàéòè äâà íàáîðà x: x(1) è x(2) , êîòîðûì ñîîòâåòñòâóåò îäèí è òîò æå íàáîðçíà÷åíèé L(x), òî åñòüL(x(2) ) L(x(1) ) = L(x(2) x(1) ) = 0; ðåøåíèå ñèñòåìû, ïðè÷åì jx(0) j 2X .à, çíà÷èò, x(0) = x(2) x(1)Íåðàâåíñòâî 2 âûïîëíÿåòñÿ, åñëèX + 1)q > ((qA)(2X + 1))p ;(2òî åñòü ïðèpX > (qA) q p2à çíà÷èò ìîæíî íàéòè òàêîå ðåøåíèå;1x(0) , ÷òîpX (qA) q p2;+1îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû.29. Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Ëèíäåìàíà.
Åå ñëåäñòâèÿ.Ïîñòðîåíèå âñïîìîãàòåëüíîé óíêöèè, îöåíêè ee ïîðÿäêà íóëÿ.Òåîðåìà Ëèíäåìàíà Åñëè àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò íóëÿ, òî ÷èñëî e òðàíñöåíäåíòíî.Ñëåäñòâèÿ. 1 ×èñëî e òðàíñöåíäåíòíî.2 ×èñëî òðàíñöåíäåíòíî. Ëåãêî ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà ei = 1.3 Åñëè àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò 0 è 1, òî ÷èñëî ln òðàíñöåíäåíòíî. Ëåãêî ñëåäóåò èçðàâåíñòâà eln = .4 Åñëè 6= 0 àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî, òî ÷èñëà sin , os , tg òðàíñöåíäåíòíû. Ýòè óòâåðæäåíèÿ ëåãêîñëåäóþò èç ðàâåíñòâei e iei + e isin=2i;os=2: äàëüíåéøåì ïóñòü n íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå áóäåò âûáðàíî äîñòàòî÷íî áîëüøèì, 1 ; 2 : : : ; íåçàâèñÿùèå îò n ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå.Ëåììà 1 Ñóùåñòâóåò òàêàÿ óíêöèÿf (z ) =ñ êîýèöèåíòàìè aklnX1 nX1k=0 l=02 Z, ÷òî2akl z k elz(3)0< max jakl j < n1 n ;(4)k;l(5)f (t) (0) = 0; t = 0; [n3=2℄;(6)1ãäå [℄ öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà.Äîêàçàòåëüñòâî Èç îðìóëû Ëåéáíèöà ñëåäóåò, ÷òîf (t) (z ) =nX1k;l=0aklt;k)min(Xs=0Cts k(kÏîýòîìóf (t)(0) =1)nX1k;l=0; kt k s(z k s lt s elz :+ 1)Ctk (k!)lt k akl ;è äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà íàì îñòàëîñü îöåíèòü ðåøåíèå ñèñòåìû èçñèòåëüíî q = n2 íåèçâåñòíûõ akl .
Èõ êîýèöèåíòûjCtk k lt k j <(!)(7)n3=2 nn nn3=223=2 )< n(3n=p = [n3=2 ℄ óðàâíåíèé 6 îòíî-AÏî ëåììå Çèãåëÿ ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû â öåëûõ ÷èñëàõ akl , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâópqA) q p < n1 n :Îáîçíà÷èì ÷åðåç ordf (z ) ïîðÿäîê íóëÿ óíêöèè f (z ) â òî÷êå z = a.z=aËåììà 2 [n3=2 ℄ ordf (z ) n2 .z=0jakl j <1+(Äîêàçàòåëüñòâî Îöåíêà ñíèçó ñëåäóåò èç 6. Äîêàæåì ïðàâîå íåðàâåíñòâî. Âñå óíêöèè z k elz ;ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿk; l = 0; nd;dzñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè ïîðÿäêà n2 , ñëåäîâàòåëüíî, óíêöèÿ f (z ) òîæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ýòîãîóðàâíåíèÿ è, åñëè f (t) (0) = 0; t = 0; n2 1, òî ïî òåîðåìå î åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿ f (z ) 0, ÷òî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó f (x) ! 1 ïðè x ! +1; x 2 R.n (DDn (Dn + 1)n y = 0; D =1)30.
Îöåíêà âñïîìîãàòåëüíîé óíêöèè è çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâàòåîðåìû Ëèíäåìàíà. Åå ñâÿçü ñ ïðîáëåìîé êâàäðàòóðû êðóãà.ÏóñòüX íå çàâèñÿùåå îòn íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå áóäåò âûáðàíî â äàëüíåéøåì,T=ord f (z )min(8)x=0;X z=xËåììà 3 Ñïðàâåäëèâû íåðåâåíñòâàjf T x j < n( )()2 n3=2= X1 3(6)T;x = 0; X:Äîêàçàòåëüñòâî Èç 8 è ëåììû 2 ñëåäóåò, ÷òî óíêöèÿ3=2g(z ) = f (z )z [n ℄ (z ) T (z X) Tèìååò ëèøü óñòðàíèìûåîñîáûå òî÷êè, ïîýòîìó äëÿ íåå ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï ìàêñèìóìà ìîäóëÿ. Âîçüìåìpr = X jj + 1 < n. ÒîãäàmaxjzjrÏîýòîìó ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîìjg z j juj pn jg u j:( )max=2n3(),1Mr = max jf (z )j jzjr [n3=2 ℄ zz Tz X T p jumaxjf (u)j maxjzjr; juj= n u u X u j=pn n2 n1 n (pn)n en3=2 n 0;4n3=2 0;4XT < n 1=3n3=2 1=3XTÄàëåå,f (T )(x) =ïîýòîìó ïî ëåììå 2(9)(10)(11)IT!f (z ) dz;2i jz xj=1 (zx)T +1f (T ) (x) (T !)Mr T T Mr n2T Mrè èç 11 ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ëèíäåìàíà Èç 8 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîé èíäåêñ x0 , ÷òî f (T ) (x0 ) 6= 0,ïðè÷åì ýòà ïðîèçâîäíàÿ ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì P (; e ) ñ öåëûìè êîýèöèåíòàìè.Äîïóñòèì, ÷òî ïðè íåêîòîðîì íåíóëåâîì îáà ÷èñëà è e àëãåáðàè÷åñêèå ñòåïåíåé ñîîòâåòñòâåííî m1è m2 .
Òîãäà ê ìíîãî÷ëåíó P (; e ) ìîæíî ïðèìåíèòü îáîáùåííóþ òåîðåìó Ëèóâèëëÿ. Ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà7 îöåíèì åãî äëèíó è ñòåïåíü:L(P ) n2 n1 n (n!)xn0TXs=0CTs (nT s1) n3 n T ;+degP n Xn:+Èç îáîáùåííîé òåîðåìû Ëèóâèëëÿ ïîëó÷àåì, ÷òîjf T x j jP ; e j L P( )(0)=(Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî ëåììå 3 ïðè)(())m1 m2 C1degP> n 4 n m1 m2 T :X = 3m1 m2 + 6 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîjf T x j < n( )(2 n3=2 m1 m2 T :)0Ïîñëåäíèå äâå îöåíêè ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì n ïðîòèâîðå÷èâû. Òåîðåìà Ëèíäåìàíà äîêàçàíà.Îá îòðèöàòåëüíîì ðåøåíèè ïðîáëåìû êâàäðàòóðû êðóãà ìîæíî ïðî÷èòàòü âî âòîðîì èçäàíèè êíèãèÀ.È.àëî÷êèíà, Þ.Â.Íåñòåðåíêî, À.Á.Øèäëîâñêîãî "Ââåäåíèå â òåîðèþ ÷èñåë".31.
Ñåäüìàÿ ïðîáëåìà èëüáåðòà.Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû åëüîíäà Øíåéäåðà. Åå ñëåäñòâèÿ.Ïîñòðîåíèå âñïîìîãàòåëüíîé óíêöèè äëÿ äîêàçàòåëüñòâàòåîðåìû åëüîíäà-Øíåéäåðà, îöåíêè åå ïîðÿäêà íóëÿ. 1900 ãîäó Ä.èëüáåðò â ñâîåì äîêëàäå íà Âòîðîì ìåæäóíàðîäíîì êîíãðåññå ìàòåìàòèêîâ íàçâàë 23ïðîáëåìû "èññëåäîâàíèå êîòîðûõ ìîæåò ñòèìóëèðîâàòü äàëüíåéøåå ðàçâèòèå íàóêè". Ïîä íîìåðîì ñåìüèãóðèðîâàëà ïðîáëåìà òðàíñöåíäåíòíîñòè àëãåáðàè÷åñêèõ ñòåïåíåé àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë.×àñòè÷íîå ðåøåíèå ýòîé ïðîáëåìû áûëî íàéäåíî À.Î.åëüîíäîì â 1929 ãîäó è .Î.Êóçüìèíûì â 1930ãîäó. Ïîëíîñòüþ åå ðåøèëè íåçàâèñèìî â 1934 ãîäó À.Î.åëüîíä è Ò.Øíåéäåð.Òåîðåìà åëüîíäà Øíåéäåðà Ïóñòü a àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò 0 è 1, à àëãåáðàè÷åñêîå÷èñëî, íå ÿâëÿþùååñÿ ðàöèîíàëüíûì. Òîãäà ÷èñëî a = e ln a òðàíñöåíäåíòíî.ÏÈÌÅ×ÀÍÈÅ.
Ïîä ln a ïîíèìàåòñÿ çíà÷åíèå, âçÿòîå íà ëþáîé âåòâè êîìïëåêñíîãî ëîãàðèìà.ÑËÅÄÑÒÂÈß. 1. ×èñëî e òðàíñöåíäåíòíî.Óòâåðæäåíèå ëåãêî ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà (e )i = 1.2. Åñëè a è b àëãåáðàè÷åñêèå ÷èñëà, îòëè÷íûå îò 0 è 1, òî ÷èñëî loga b = (ln a)=(ln b) ëèáî ðàöèîíàëüíî,ëèáî òðàíñöåíäåíòíî.Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç îñíîâíîãî ëîãàðèìè÷åñêîãî òîæäåñòâà.Ëåììà 4 Ïóñòü 2 ZA è m = bm 1 m1+ b b ;+Òîãäà äëÿ ëþáîé íàòóðàëüíîé ñòåïåíè ÷èñëà t = bt;m 1 m1+1+1bj 2 Z;jbj j B:(12)ñïðàâåäëèâû óòâåðæäåíèÿ: bt; bt; ;+0+04bt;j 2 Z;jbt;j j B(t:+ 1)Êðîìå òîãî, åñëè(k è l íåîòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà, íå ïðåâîñõîäÿùèå n, òîk + l )t = Bt;k;l;m 1 m1 Bt;k;l; Bt;k;l;+++1Bt;k;l;j 2 Z;0;Äîêàçàòåëüñòâî ïåðâîãî óòâåðæäåíèÿ ïðîâîäèòñÿ ïî èíäóêöèè.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
