Небольшой кусочек лекций (1159518), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

ÏðèÏóñòü îíî âåðíî ïðè t. Òîãäà â ñèëó 12 t+1 = bt;m1(bm 1 m1+ b+0) +bt;m 2 m1jBt;k;l;j j B(t m óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç 12.+ bt; ;+è èç ïðåäïîëîæåíèÿ èíäóêöèè ëåãêî ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ ïðèÄîêàæåì âòîðîå óòâåðæäåíèåk + l )t =(tXs=0mt nt :+ 2)0t + 1.1XCts kt s lsbsj j ;j =0îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî êîýèöèåíòû ïðè j íå ïðåâîñõîäÿòtXs=0Ëåììà äîêàçàíà.Ëåììà 5 ÏóñòüCts kt s ls (B + 1)s = (k + l(B + 1))t (B + 2)t nt :m.

Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ óíêöèÿ öåëîå àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî ñòåïåíèf (z ) =ñ êîýèöèåíòàìè akl2 Z, ÷òî0nX1 nX1k=0 l=0akl e(k+l)z< max jakl j < n5 n ;(13)k;lf (t) (0) = 0; t = 0; [n3=2℄Äîêàçàòåëüñòâî Ìû èìååì:f (t) (z ) =ïîýòîìó ïî ëåììå 4f (t) (0) =nX1nX1k;l=0;(14)1akl (k + l )t e(k+l)z ;akl (k + l )t =nX1 mX1(15)Bt;k;l;s s aklk;l=0 s=0sÏðèðàâíÿåì ê íóëþ êîýèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ . Ïîëó÷èì ñèñòåìónX1 mX1k;l=0 s=0ñîñòîÿùóþ èçk;l=0t = 0; [n3=2℄Bt;k;l;s akl = 0;p = m[n3=2 ℄ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî q = n2jBt;k;l;s j < B(t nt+ 2);1íåèçâåñòíûõ akl . Ïî ëåììå 43=2< n2n; s = 0; m1=At < n3=2 )(è äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàëîñü ïðèìåíèòü ëåììó Çèãåëÿ.Ïóñòü X íå çàâèñÿùåå îò n íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå áóäåò âûáðàíî â äàëüíåéøåì,T=ord f (z )minx=0;X z=x ln a(16)Ëåììà 6 [n3=2 ℄ ordf (z ) n2 .z=0Äîêàçàòåëüñòâî Îöåíêà ñíèçó ñëåäóåò èç ëåììû 6. Äîêàæåì ïðàâîå íåðàâåíñòâî.

Äîïóñòèì ïðîòèâíîå.ÒîãäànX1f (t) (0) =akl (k + l )t = 0; t = 0; n2 1:k;l=0Ïîëó÷èëè ñèñòåìó èç n2 ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n2 íåèçâåñòíûìè akl . Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû åñòü îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà. Îí îòëè÷åí îò íóëÿ, òàê êàê, ââèäó èððàöèîíàëüíîñòè ÷èñëà , âñå ÷èñëà k + l5ðàçëè÷íû ìåæäó ñîáîé. Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà ìîæåò èìåòü ëèøü íóëåâîå ðåøåíèå, ÷òî ïðîòèâîðå÷èòëåììå 5.32. Îöåíêè âñïîìîãàòåëüíîé óíêöèè è çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâàòåîðåìû åëüîíäà-Øíåéäåðà.Ëåììà 7 Ñïðàâåäëèâû íåðåâåíñòâàjf T x a j < n( )(ln)6 n3=2= X1 3(T;6)x = 0; X:Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ëåììû âåñüìà ñõîäíî ñ äîêàçàòåëüñòâîì ëåììû 3.

Íà ýòîò ðàç íàäî ïðèìåíèòüïðèíöèï ìàêñèìóìà ìîäóëÿ ê óíêöèè3=2g(z ) = f (z )z [n ℄ (zpè ïîëîæèòü r = X j ln aj + 1 < n.lna) T (z X ln a) TÀêêóðàòíîýòîäîêàçàòåëüñòâîïðîâåäèòåñàìîñòîÿòåëüíî(íàëåêöèèåãîïðåäïîëàãàåòñÿ èçëîæèòü áîëåå ïîäðîáíî).Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû åëüîíäà Øíåéäåðà Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëî öåëîå àëãåáðàè÷åñêîå â ïðîòèâíîì ñëó÷àå óìíîæèì åãî íà òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî b, ÷òîáû b 2 ZA ,äîêàæåì, ÷òî ÷èñëî ab òðàíñöåíäåíòíî, è óæå îòñþäà ëåãêî óñòàíîâèì òðàíñöåíäåíòíîñòü ÷èñëà a .Èç 16 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîé èíäåêñ x0 , ÷òî f (T ) (x0 ln a) 6= 0, ïðè÷åì ýòà ïðîèçâîäíàÿ ÿâëÿåòñÿìíîãî÷ëåíîì P (; a; a ) ñ öåëûìè êîýèöèåíòàìè.Äîïóñòèì, ÷òî ïðè âûïîëíåííûõ óñëîâèÿõ òåîðåìû âñå òðè ÷èñëà , a è a àëãåáðàè÷åñêèå ñòåïåíåé ñîîòâåòñòâåííî m, m1 è m2 .

Òîãäà ê ìíîãî÷ëåíó P (; a; a ) ìîæíî ïðèìåíèòü îáîáùåííóþ òåîðåìó Ëèóâèëëÿ.Ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà 15 îöåíèì åãî äëèíó è ñòåïåíü:L(P ) n2 n5 n (2n)T ;degPTnX:+2Èç îáîáùåííîé òåîðåìû Ëèóâèëëÿ ïîëó÷àåì, ÷òîjf T x( )(0 lna)j = jP (; a; a )j > (L(P ))1 mm1 m2 CÑ äðóãîé ñòîðîíû, ïî ëåììå 7 ïðèdegP> n 7 n mm1 m2 T :X = 3mm1 m2 + 6 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîjf T x( )(0 ln3=2a)j < n 6 n mm1 m2 T :Ïîñëåäíèå äâå îöåíêè ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîìn ïðîòèâîðå÷èâû. Òåîðåìà äîêàçàíà.6.

Характеристики

Список файлов лекций