Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (2002) (1158201), страница 62
Текст из файла (страница 62)
б. Если ар(х) — дифференцируемая функция, то дуа(х) =(Ча'(х)) =((Вар/дх',..., др/дх О, дар(/(и)) = (ар (/(и)О, и из формулы (9) имеем В частности, если /!(и) дифференцируема и д/,(и) = (/У(и)), отсюда получаем классическое правило дифференцирования сложной функции. 7. Если ар(х) = ~; са!о', и! > О, то др(х) =((а),..., аа )) нЕ+ и для функции Ф(и) = аа 1=! аа = А,' и!/а(и), ни Иг, из (!1) имеем дФ(и) = ~; аад/а(и) )(и и Иг. а=! '=! 8. Если)а(х)= вах х', то согласно формуле(5) др(х)=(р=(р!, ..ч р ): р! >О, а ну(х)! ! < а < аа у!=о, !чу(х), р!+...+р =1), где 7(х)=(а; !ча <т, вах х! =х'), хеЕх, Отсюда и из (9) для функции Ф(и) = !пах /,(и) имеем !<а< ВФ(и)=(с! саа тл, р!са, с, 6 д/;(и), р; >О, а С 7(/(и)), А р! = !) = *'е1(1( )) а е 1(1(а)) = со ( ь) д/а(и)), 7(/(и)) =(а: 1 < а < т, вах / (и) =/!(и)), и н И', (!0) а Ег(1( )) ! <! с 9.
Если та(х)=шах(0 х), х нЕг, то согласно (10) Вр(0)=(с; с=рУО+р .1 — р р! >ВО рз > О) = [О, !), дза(х) = (!) при ж > О, дуа(х =(0) при х <О, и для функций Ф(и) = =вах(0;/(и)), и 6 Иг из (9) имеем дФ(и) = рд/(и), 0 < р < 1, при /(и)=0, ВФ(и) =В/(и) при /(и) > О, дФ(и) = 0 при /(и) < О. 10. Если (а(х) = (вах(0; х))", р > 1, х 6 Е', то дза(х) = (р'(х) = р(вах(О; х))" ') и для функции Ф(и) = (и!ах(0; /(и)))г, и н И", имеем дФ(и) = р(вах(0(/(и)))г 'д/(и), и 6 И', р > 1, ! 1. Приведем еще одну теорему, в которой дается обобщение формулы (10). Те о р е м а !О.
Пусть А — компактное мноакестао аз Е~, Иг — открытое выпуклое множество из Е", функция 0(ач а) определена на Иг х А, полунепрерьазна сверху по а лри каждом и и иг, выпукла по переменной и 6 иг лра каждом он А. тогда функция Ф(и) = вахС(и, а) аьтукла на Иг и еа субдифференцаол имеет аид аз А дФ(и)=со ( () ВС(же)), Е(и)=(а; анА, О(и,а)=Ф(и)), ие )У. (11) а< Л(а) Доказательство может быть проведено по той же схеме, кзк и теорема 9, и представляется читателю.
12, Если А — выпуклое замкнутое ограниченное множество из Е", то функция Ф(и) = = вах(а,и), и 6 Е", выпунла на Е", причем, как следует из (11) при 0(и,а) = (а,и), имеем аеА дФ и) = (а: а Н А, (а, и) = Ф(и)). олее подробно о перечисленных и других правилах субдифференцирования, о различных свойствах субдифференциала, о различных обобщениях понятий субградиента и субдифференциалз, о применении этих понятий для исследования и приближенного решения экстремальных задач см., например |234; 251; 263; 264; 302; 314; 358; 434; 495; 499; 502; 542; 543; 604; 605, 613; 617; 670; 720; 795; 814). 1.
Найти субдифференциалы функций; а) /(и) = )и — 1), и н Е); б) /(и ) = )и — 1! -|- )и + ! (, и н Е; в) /(и)=)х+у)+)х — у), и=(х,у)<Е ,' г) /(и) = шах(и, и-(-2), и н Е д) /(и) = вах(|и)! )и — 1!), и н Е; е) /(и) = )(а, и) — Ь|, и 6 Е"; 2, Пусть функции /,(и),...,/ (и), и и Е", непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки о. Доказать, что тогда функции /(и) = и!ах /а(и) в точке о имеет производные по лаобому направлению е, )е! = 1, причем -/( — "~ = Вах (/,'(о), е), Х(х) =(а; 1 < а < т, /г(о)=/(о)), а е Па) Установить связь между этой формулой и формулами (7), (10).
3, найти субдифференциалы функций /(и) = вах )т + хе+ у), /(и) = вах (х( + у((, 2 /(и) аа вах )х+ (У), и=(ж, У) НЕ . 2 |!|<1 (а(<! 4. ((усть А — замкнутое ограниченное множество из Е, функция д(и, а) непрерывна а<а<! и по совокупности переменных (и, а) на Е" х А вместе с производной дд(и,а)/ди. Доказать, что тогда функция /(и) = вах д(аь а) во всех точках о н Е" имеет производную по любому еА направлению е, )е(= 1, причем — = !пах (м)ап-ш, е), Ао(о) =(а! об А, д(о, а) =/(о)).
а|е а е Аа(а) ала Установить связь между этой формулой и формулами (7), (11), 5. Пусть Ди) — выпуклая функция одной переменной на отрезке (а, Ь). Доназать, что д/(и) = (/'(и — О),/'(ил-О)! пРи всех и б (аа Ь), где /'(и — О), /'(и+ О) — леваЯ и пРаваа производные в точке и. Показать, что в точках и = а или и = Ь субдифференциал может быть пустым (рассмотреть пример /(и) = -~/1 — и, )и! ь 1). 6. Пусть /(и) — выпуклая функция на выпуклом множестве Х из Е".
Доказать, что при всех и б и Х множество В/(и) непусто, выпукло, компактно, причем П - — вах (с, е) для всех е с Ып Х. 7. Пусть Х вЂ” выпуклое множество, функция /(х) выпукла на Х. Доказатаь что д/(х) г! О Ып Х р !2( при аах б п'Х, т. е. субградиент всегда мох!но выбрать в Цп Х. 8. Пусть фчнкция /(и) определена на открытом выпуклом множестве И'с Е" и такова, что функция Ф(и) = )/(и)! выпукла на Иг. Описать множество дФ(и),и н Иг.
9. Описать субдифференциалы функций р(и, Х), Ь(с, Х), р(и, Х) из упражнений 18-20 к $4.2. 10. Пусть /(и) — выпуклая функция на открытом выпуклом мнохаестве Иг из Е", пусть субднфференциал д/(и) в некоторой точке и н Иг состоит из единственного элемента с. Доказать, что /(и) дифференцируема в точке и, причем /'(и) = с.
20б Гл. 4. ЭЛЕМЕНТЪ| ВЪ|ПУКЛОГО АНАЛИЗА 207 $7. РАВНОМЕРНО ВЪ|ПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ И. Пусть /(и), С(м) — выпуклые функции на открытом выпуклом множестве И' иэ и", причем д/(и) = дс(м) при всех и е иг. Доказать, что тогда /(и) = с(н) ч-сопз1, и е иг. 12. Пусть функция /(и) выпукла на открытом выпуклом множестве Ис из Еь. Доказать, что для того чтобы /(и) была сильно выпуклой на Ис, необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки о е Ис существовал субградиент с(о) е д/(о) такой, что /(и) — /(о) > (с(о), о — е)+ йя|м — о! (/мС и', х =сапы>О 1 2 13.
Пусть функция /(и) сильно выпукла на открытом выпуклом множестве И' из Еь с постоянной сильной выпуклости я. Доказать: а) (с(н) — с(о),м — о) > я|н — о|2 для всех Чн, о е Ис, с(м) е д/(о), с(о) е д/(о); б) д/(м)(|д/(о) = (2( для всех н,о е Ис, ми'.о; в) для любой точни ь е и' справедливо неравенство |и-о! < — „т|п |с! для всех и е м(о) = 1 = (и е И'. /(и) < /(о0. е а((ь! Опираясь на это утверждение, доказать теорему 3.1 для любого выпуклого замкнутого множества Х С Ис, 14.
Пусть функция /(о) выпукла на открытом выпуклом множестве Иг с Е" и сильно выпукла на выпуклом замкнутом подмножестве Х с Ис. Доказать, что тогда О </(и) — /, < — пцп |с|, )и — м„! < — гп|п |с! 1 . 2 1 4х , е эу(ь! ' * 2я , е эг(ь| где и, — точка минимума /(и) на Х, /, = /(и„). 15, Пусть функция /(и) сильно выпукла на Е". Доказать, что для любого с е Е" существует такая единственная точка м(с) с Е", что с е д/(о(с)). Указание: рассмотреть точку минимума функции д(о) =/(и) — (с, о) на Е". 16.
Доказать, что оператор проектирования на выпуклое замкнутое множество является монотонным, эамннутым, компактным отображением. У к а з а н и е; воспользоваться теоре. мами 4.4.2, 4.4.3, неравенством (4.4.4). 9 7. Равномерно выпуклые функции 1. Рассмотренный в Э 3 класс сильно выпуклых функций обладает замечательным свойством — для функций этого класса имеет место теорема 3.1. Однако этот подкласс выпуклых функций недостаточно широк и не содержит, например, такую выпуклу|о функцию, как /(х) = хс, х Е Л(, которая, между прочим, достигает своей нижней грани на любом выпуклом замкнутом множестве из Е', причем в единственной точке. Хотелось бы выделить такой подкласс выпуклых функций, для которого была бы верна теорема типа теоремы 3.1 и который был бы шире класса сильно выпуклых функций.
Оказывается, таким классом является класс равномерно выпуклых функций. Оп р еде лен ие 1.Функцию /(х), определенную на выпуклом множестве Х, называют равномерно выпуклой на Х, если существует неотрицательная функция б(1), определенная при всех 1, 0<1< ((!аш Х= зцр)и — и), 6(0)=0, 6(1)>0 при некотором то, 0<то<((!ашХ, и такая, что ,/(пи+ (1 — п)и) ( (п,/(и) + (1 — и)/(и) — п(1 — сг)6((и — и!) (1) при всех и, и Е Х, сх Е (О, Ц.
Функцию 6(1) называют модулем вь!пуклости функции /(и) на Х, а функцию а/и+ 1 — а/о — /ам+ 1 — ао о« 1!ь — с|=с,ь,ьех а(1 — п) 3 чп ( - !!( точным модулем выпуклости /(х) на Х. Если равномерно выпуклая функция имеет модуль выпуклости 6(1) > 0 при всех 1, 0 < 1 < й!а|п Х, то такую функцию называют строго равномерно выпуклой на Х [191). Очевидно, всякая сильно выпуклая функция является строго равномерно выпуклой с модулем 6(1) = -х(2. Сумма равномерно выпуклой функции 1 с модулем б(1) и выпуклой функции будет равномерно выпуклой с модулем 6(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
