Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (2002) (1158201), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Возьмем а е [О, 1[ и положим с1„= ад, +(1 — а)с1„х, = ах, +(1 — а)х,. Из выпуклости г! Х (теорема 1.11) следует, что х Е г! Хо. Далее, аао!+(1 — а)а = а(1'(х.), ж, — х„)+ + (1 — а)(1'(х,), хл — х,) = (Х'(ж„), ж„— х,), аа! + (1 — сс)ап —— а (д'(х„), х,— — х„) + (1 — а)(д'(ж,), х — х„) = (д'(х,), х„— х,~ !Ус е 1, и Чг' = т + 1,..., г. Следовательно, !Х„е А Ча е [О, 1[.
Выпуклость А доказана. Далее, возьмем несущее подпространство Х = 1.!и Хо множества Хо (определение 1.3). Пусть е„ ..., г, — базис подпространства Х ', являющегося ортогональным дополнением Х, до Е , Тогда Х, = (Ь е Е": (ес, Ь) = = О, с = 1,..., р). Заметим, что если система векторов (д ~!'(ж,),... ..., д,'(х,), е„ ..., е,) линейно зависима, то теорема 1 доказывается просто. В самом деле, в этом случае существуют числа Л, „..., Л„а„..., а,, такие, что Тогда среди чисел (Л„„..., Л,) найдутся отличные от нуля числа, так как в противном случае из (11) следовала бы линейная зависимость векторов е„..., е„, представляющих базис подпространства Ес. Кроме того, из (11) следует, что Лс(д (ж„), Ь) = — 2, ас(е>, Ь) = О, ЧЬ Е 1.!и Х .
'=л л! с=! Но 1.!и Хо =аП Хо — х„поэтому полагая в этом равенстве Ь= х — х„, хе а1! Х, имеем: 2, Л,(д,.'(ж,), ж — х,) = 0 Чх Е Хо С ан Хо. Отсюда следует, что на+ ! бор чисел Л=(Л =О, Л,=О,..., Л„=О, Л„~„..., Л,), где(Л ~„..., Л,)есо взяты из предыдущего равенства, удовлетворя>от всем условиям (4) — (6). Теорему 1 остается доказать для случая, когда система векторов (д ! !'(х.),..., д,'(х„), г„..., г,) линейно независима.
Покажем, что тогда введенные выше множества А и В не пересекаются. Допустим, что А Г! Г! В Ф Я. Тогда найдется точка х е и'Х,, такая, что а =(Х'(ж,), х — х,) <О, а! =(д,.'(х.), х — х,) <О, Чс' Е Х„, а! =(д,.'(ж), х — ж) =О, Чс = т+1,..., ю Обозначим Ь = ж — х,, Линейно независимую систему (д ~!'(х,),... ..., д,'(х,), е„ ..., е,) дополним до базиса пространства Е" любыми подходящим образом выбранными векторами е„„,..., е„„, и введем функции Цг, с) =д „,.(х„+ сЬ+ г), с =1,..., г — т; Хс(г, г) = (е! „~, т), с = г — т+ 1,..., и. 214 Гл.
4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА Ь я. ОБОснппйиие 'пРАВилА мнОжителей лАГРАнжА 215 Рассмотрим систему и уравнений ) (т () =(/!(т, 1),..., Ят ()) =О (14) д1«(о,о), ) д1>(о,о) (,( ) ду,(о, о) ду>(о, 0) Таким образом, якобиан ( *'" ") системы (14) в точке (0,0), предд(1! " 1„) ддо, о~ ставляющий собой определитель квадратной матрицы ~~ со строками д,,'(х,),..., у,'(х.),е„..., е„,+, образующими базис в В", отличен от нуля.
Все условия теоремы о неявных функциях выполнены. Согласно этой теореме существуют непрерывно дифференцируемые функции т = т(в) = = (т,(г),..., т„(в)), определенные при всех Ф, ]8[< $в, где Фв — достаточно малое положительное число, и такие, что т(0) =О, /(т(1), () =О д(, [1] ~ ~(в Дифференцируя последнее тождество по (, получаем д1((!),!)„,( +д1( (!), !) ~ ~ < „ , д1(о,о), Отсюда при ( = 0 с учетом равенства Хй!' =0 будем иметь: — (д-„— )т'(0) = ду(о, о) ! д!. =О. Однако матрица ~ невырожденная, поэтому т (0) =О.
Это значит, что т(») = т(0) + (т'(0)+ оЯ= о((), т. е. 1)ш т(!)/» =О. Таким образом, найдена вектор-функция т(г) = (т!((),...,! (г)), для которой д«(х„+ ((х — х,)+ т($)) =О, г = ти+ 1,..., в, (е«, т(»)) =О, « = 1,..., и — в + ти, )Г~ <»ю !!гп т(»)/» =О. (15) Покажем, что по кривой х = х(в) = х„+ г(хс — х.) + т(г) можно двигаться, оставаясь в множестве Х при всех (, 0 < г < 1!, где в! — достаточно малое число, 0 < (! < ш(п((»; 1). В самом деле, равенства (е«, т(()) = О, « =' 1,...
..., р, означают, что т()() Е 1.(п Х,, Кроме того, х Е йХ, 1пп т(1)/в = О, поэтомУ х+ т(в)/г е Хв пРи всех малых т. Тогда, УчитываЯ выпУклость Х, имеем х(() = ((х+ т(()/г)+ (1 — ()х„Е Х» Ч(, 0 < г < г!. Далее, первые авенства (15) означают, что д (х(1)) = О, 0 < в < з!, Ч( = т + 1,..., в. окажем, что д«(х(Ь)) < 0 «1, () < 1 < Ьи и Ч« = 1,..., т. Если «Е 1„, то д>(х„) =О, и с учетом (12) имеем д«(х(в )) = д>(х,) + (д/(х„), т(х — х,) + т(()) + о(() = = г[(д«'(х,), х — х„) + (д/(х„), т(т)/г) + о(т)/г] < 0 относительно и неизвестных т = (т„..., т ).
Для доказательства разрешимости системы (14) воспользуемся известйой из математического анализа теоремой о неявных функциях [327; 350; 352; 534]. С этой целью прежде всего заметим, что /(О, 0) =О. Далее, функции />(т, г) непрерывно днфференцируемы в окрестности точки (О, О), причем с учетом (12), (13); при всех малых Ь > О, Если «!А Х., 1 <» < ти, то д«(х,) < О и в силу непрерывности д>(х) неравенство д«(х(в)) =д,(х, + ((х — х„)+ т(в)) <0 также сохранится при всех малых г > О, Таким образом, существует достаточно малое число в! > О, такое, что х(в) Е Х при всех В, О < 1 < Ьи Беря при необходимости в! еще меньшим, с учетом (12) имеем 1(х(г)) — 1(х)=( [(Х,'(х), х — х)+(1/(х), т(я/()+(! 1 ~ < 0 Ч«, О < ( < (!, Однако х(г ) — х. при в — 0 и х(т) Е Х, 0 < г < в!, и последнее неравенство противоречит тому, что х„— точка локального минимума в задаче (1), (2).
Полученное противоречие доказывает, что А П В = И. Итак, А и  — выпуклые множества, А Г) В = Я. По теореме 5.2 тогда существует гиперплоскость ~с, а) = Т с нормальным вектором с =(Л„Л«, «е е Х,; Л„+ „..., Л,) Е Е" "«~ (+ ', с эв О, отделяющая множества А и В, а такжеАиВ=(Ь=(Ь«,Ь«,»ЕХ„,"Ь,„...,Ь,): Ьр<0;Ь»<0,«ЕХ„,Ь =О,..., Ь, =0). Это значит, что (с, Ь)=Л»Ь»+~, 'Л>Ь+ ~, 'Л«Ь! < У<(с, а)=Лаа +Е Л«а+ 2; Л«а! (16) !«А = .!-! «А ! т.~-! при всех а е А, Ь е В. Разделив (16) почленно на Ьв < О, где > = 0 или У е Х„ и устремляя затем Ь,. — ! — оо при фиксированных остальных Ь«, а, получим Л, > 0 при у = 0 или Чу Е 1,. Далее полагая в (16) а = (~'(х„), х — х,), а! =(д'(х„),х — х,), «Е1„и»'=«и+1,...,в, где хЕИХ, Ь=ОЕВ, будем иметь Лв(! (х„), х — х«)+ ~ Л,(д (х )! х — х,)+ ~ Л,(д'(х ), х — х ) ~ )0 Чх Е и Хо !«г Отсюда, доопределив Л! = 0 при « ф 1„ 1 < » < и>, получим (Лв/'(х,) + Е,' Л,д,'(х,), х — х,) > 0 !Ух Е г! Хв.
'=! Совершая в этом неравенстве предельные переходы с учетом того, что Х, с Х» = г( Х (теорема 1.13), придем к неравенству (5). Справедливость условий (4), (6) вытекает из определения множества 1, и построения Л = (Лш..., Л,). Теорема 1 доказана. С) Другое доказательство теоремы 1, а также теорем 2.3.1, 2.3.2, не использующее теоремы отделимости и теорию неявных функций, будет приведено ниже в э 5.16 с помощью штрафных функций при несколько более жестких требованиях на дифференциальные свойства функций 1(х), д«(х), « = 1,...,«и. Различные доказательства, обобщения и модификации правила множителей Лагранжа см., например, в [5-7; 14; 15; 24; 34; 44; 106; 209; 225; 233; 234; 278; 279; 286; 297; 314; 347; 358; 366; 386; 434; 465; 502; 587; 602; 604; 605; 613; 617; 660; 670; 673; 683; 724; 759; 816]. 3 а м е ч а н и е 2.
Если в конусе Лагранжа Л(«>) точки «> Е Х существуют наборы Л = (Л,..., Л,) с Л, = О, то в условиях (7)-(9) целевая функция «исчезает» и эти условия превращаются в некоторую специфическую характеристику множества (2) в точке о. Как и в главе 2, выделим класс задач на экстремум функции /(х) на множестве (2), у которых любой элемент Л конуса Л(«>) имеет координату Лв ф О. 216 4 8. ОБОСНОВАНИЕ ПРАВИЛА МНО)КИТЕЛЕй ЛАГРАНЖА 217 Гл. 4.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА О п р е д е л е н и е 1. Точку у множества (2) назовем нормальной точ кой этого множества, если система (Елгду(У), х — т!) ~) О Чх ю Хо, Льда(У) =О, з =1,..., ггз, (17) л=(лм...,л„)ФО, л,>,...,л„>о, относительно переменных Л не имеет решения. Система (17) получена из систем (7)-(9) и (?), (8), (10) при Л, = О. Поэтому рассуждениями от противного нетрудно доказать, что в нормальной точке у множества Х все точки Л из конуса Лагранжа Л(у) имеют координату Л ФО. По аналогии с Э 2.4 можно сформулировать условие Мангасариана— Фрамовица, гарантирующее нормальность точки у из множества (2).
А именно, пусть в (2) множество Хо имеет непустую внутренность и у е Е ш1 Хо, векторы д !'(у),..., д,'(у) линейно независимы, и существует вектор с] Е Е", для которого (ду(У),а) = О, з = т + 1, , з, (ду(У),а) < 0 Чз е 1(у), где Х(у) множество номеров активных ограничений точки у. При у Е !п1 Х неравенство (д",,(у, Л), х — у) > 0 !Ух Е Хо эквивалентно равенству й,(у, Л) = О, и доказательство нормальности точки у при выполнении перечисленных условий проводится также, как в Э 2.4. Если в (2) ограничения типа равенств отсутствуют (тп = з), то условие Мангасариана — Фрамовица можно модифицировать следующим образом: существует вектор с] Е Е" такой, что Лье>0, что у+ йоа еХ„(д!'(у), с() <О, Чз е1(у).
(18) Покажем, что при выполнении условия (18) точка у нормальна. Допустим противное: пусть условие (18) выполнено, но система (17) при тп = з имеет хотя бы одно решение Л. В неравенстве (~ Л,.ду(у), х — у) > 0 ! !ухЕХо положим хс и+ лог]. С учетом (18) получим: 0< (~ Лгу!(У), (ос]) = ь=! Лг(ду(у), а) < О, что возможно только при Л =О, Однако Л = 0 не ! е г(н) может быть решением системы (17) при тп = з, Полученное противоречие доказывает, что у — нормальная точка множества (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
