Ф.П. Васильев - Методы оптимизации (2002) (1158201), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Полученное евклидова пространство Е называют прямым произведением езклидоеых пространств Г ',...,Е"-; размерност~ пространства Е равна и! + ...-1-п . Например, само евклидова пространство Е" является прямым произведением и одномерных евклидовых пространств: Г" = Е х ... х Е . Паралле! ! лепипед(и=(и',..., и"): а! <и' <Д;, ! =1,..., и) представляет собой прямое произведение отрезков (а«, В! ], «' = 1,, и. Прямое пройзведение выпуклых множеств, очевидно, само выпукло.
До к а за т ел ь с т в о теорем ы 7. Пусть Е =Е" х... х Е" — прямое произведение т и-мерных евклидовых пространств. Тогда А =Л! х... х А нГ. Введем в Е «диагональное» множество В =(6 =(Ь>,..., Ь,„); Ь! —— ...— — Ьт = аз, аз с до). Нетрудно видеть, что пересечение П А, пусто тогда и только тогда, когда Ай В пусто. Далее, А и  — выпуклые множества, =! По теореме 2 множества А и В отделимы, т.
е. существует с= (с>,..., с ) с Е, не все с! равны нулю и (с, а) > (с, 6) при всех ан А, Ь с В, или Л' (с«, а!) ) Л (с„Ь«) = ( Я с«, ао) Ча; С Ат, » = О,..., т. Положим со = — (с>+...+с ), так что равенство (8) будет выполнено. Тогда неравенство (10) принимает вид ~„'(с! «а! ) ) 0 Чаг и А г, » = О,..., тп. (11) «=о Если в этом неравенстве зафиксируем какие-либо а! = а! с А при всех « =О,..., тт», кроме т' = й, то полУчим (сь, аь) ) Л; (с;, а!) = сопз! дла всех аь С Аь. Следовательно, ' йь Положим 7о = — (7! + + 7„). (13) Тогда, переходя в (11) к нижней грани по всем а; с А«, »' = 1,..., т, получаем (со, ао) + т т л: г! = (со, ао) — Уо > 0 длЯ каждого а с Ао или Все соотношения (7)-(9) получены.
При некоторых дополнительных ограничениях на множества Ао, А>,..., Л теорема 7 обратима. А именно, верна Те о р е м а 8. Пусть Ао, А>,..., А — нелустые выпуклые мяоткестза из Е", луста зсе зти множества, кроме, бь>та может, одного, открыть», Тогда для того чтобы АойА>й... ... ОА =>3>, необходимо и достаточно, чтоб»! сУЩествовали еектоРы со, с>,..., с СЕ", не зсе равные нулю, и числа г, г>,...,.Г, для которых выполнены соотношения (У)-(9), До как а т ел ь с т в о. Необходимость доказана в теореме 7. Достаточность дока>кем, рассу>кдая от противного.
Допустим, что условия (7)-(9) выполнены, но тем не менее существу. ет точка о с П А!. Поскольку не все с! равны нулю, то из (8) вытекает существование !=о по крайней мере двух векторов ст, с., «' ~ з', отличных от нуля. По условию все множества Ао, А>,..., А, кроме, быть может, одного, открыты. Поэтому можем считать с; ф О, А!в открытое множество, т. е, Аг = !и! А!.
Согласно условию (7) (ст, и) > 7,, йри всех и с А, В силу теоремы 4 тогда (ст, и) > 7г для всех и с А, =1п! Лт. В частности, длЯ точки ос Д А СА, также имеем (с«, о) > 7!. КРоме !=о того, для всех остальных номеров у ф ! также о С А, и в силу (7) (с ч о) ) 7.. Сложим все зги т' >' неРавенства. С Учетом Равенства(9) полУчим (со, о)4(с>, о)+...+(с, о) > Уо+ Г>+...47 =О, т. е. (со+ с! +... + с, о) > О. Однако это невозможно в силу равенства (8).
Получ™синов противоречие показывает, что П А, = Ет. С! т=о Приведенное выше доказательство теоремы 7 принадлежит В. И. Плотникову. Оно привле. кает своей простотой и тем, что позволяет убедиться в справедливости теоремы 7 и в бес. конечномерных гильбертовых (и более общих) пространствах — ее доказательство при этом остается неизменным, нужно лишь уточнить ссылки на соответствующие теоремы отделимости в бесконечномерных пространствах.
4. Переформулируем теоремы 7, 8 для случая, когда Ао, А>, , А являются выпуклыми конусами в Е" Напомним Определен не 4. Конусам (с вершиной в нуле) называется множество К, содержащее вместе с любой своей точкой и и точки Ли при всех Л > О. Если множество К выпукло, то К называют выпуклым конусом, если К замкнуто — замкнутым конусом, если К открыто— открытым конусом. Рассмотрим множество К" = (с с Е": (с, и) > О Чи с К). (14) Это множество всегда непусто, так как 0 н К'.
Далее, если с с К', то для Лс при любом Л > 0 имеем (Лс, и) = Л(с, и) ) 0 для всех и б К, т. е, Лс б К*. Следовательно, К" — хонус. Определение 5. Конус К*, определенный посредством (!4), называется дзойстззиным (сопряженным) конусом к конусу К (рис. 4.17). Например, если К= (и СЕ"'! < а,и >=0] — гиперплоскость, то К* = (с С Е'! с = Ла, Л б В); если К К = (и с Е": (а,и) < О) †замкнут полупространство или К = [и с Е": (а и) < О) — открытое полупростиванство, то К* = (с с Е ; с = -Ла, Л > 0); если К = Е , то К* = (0); если К = (0), то К* = Е"; если К = (и с Е"! и > 0), то К' = (с с Е"; с ) О). С помощью двойственных конусов удобно переформулировать теорему 7 для случая, когда множества Ао, А >,..., А являются конусами. Рис. 4.17 Теорема 9.
Пусть Ко, К>,..., К вЂ” непустые вып ! ''„' т пуклые конусы из Е (с вершиной в нуле), пусть Ко й К! й... й К = Е!. Тогда необходимо существуют векторы со, с>,..., с, не все равные нулю, с! с К«, « =О,..., тп, и такие, что Доказательство. Согласно теореме 7 существуют векторы со,с>,..., с, не все равные нулю, и числа го, 7>,..., 7, удовлетворяющие условиям (7)-(9). Воспользу™емся тем, что рассматриваемые множества Л~, К>,..., К являются именно конусами, и покажем, что тогда 7о = г! =... = 'г = О. В самом деле, если (сг, и) > 7! при всех и с к«, то (сг, ли) > 7! или (сг, и) > 7«/Л дл™Я л>обых Л > 0 и и С Кг, Отсюда пРй Л -«+со полУчим (ст, и) > 0 пРи всех Кроме того, еслй и С К,, то, взяв в неравенстве (ст, и) > 0 вместо и точку Ла при малых Л > О, получим сколь угодно малые значения функцйи (с;, и) на Кг и придем к равенству 1п1 (сг, и) = О.
Согласно (12) это означает, что все величйны 7«, « = 1,..., и», участвующие чек, в неравенствах (7), равны нулю. Из (13) тогда имеем го =О, Таким образом, если в теореме 7 множества Ао, А„..., А являтотся выпуклыми конусами, то условие (9) выполняется тривиально, так как все г! =О, ! = О,..., т, условия (7) означают, что с! с К,.', » =О, .. ч тп, а из (8) следует (15).
П 197 $5. ОТДЕЛИМОСТЬ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 196 Гл. 4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА При некоторых дополнительных ограничениях на конусы Ко,К!,...,К теорема 9 обратима. А именно верна Теорема 10. Пусть Ко, К!,..., К вЂ” непустые зьтуклые конусыизЕ" (сгершиноб а нуле), пусть зсе ати конусы, кроме, быть может, одного, открыты. Тогда для того чтобы К йК й...йК =И, необходимо и достаточно, чтобы сущестзозоля гекторы о ! ''' и с, с,..., с, не гсе равные нулю, с,. е К;, ! =О,..., т и удозлггязоряющяе равенству (15). Доказательство.
Необходимость доказана в теореме 9. Достаточность вытекает иа теоремы 8, если заметить, что условие с, е К равносильно неравенству (сг, н) > 0 Чо е К! то отсюда и из (15) следуют условия (7)-(9) йри 1! — — у! —— ... — — т = О. С! Приведенные в этом параграфе теоремы отделимости и их различные обобщения играют важную роль в выпуклом анализе, в теории и методах математического программирования, оптимального чправления, в теории уравнений и неравенств и т, д.
(см., например, [48-50; 54; 83; 192; 225! 278; 279; 613; 617; 752]). Упражнении 1. Пусть А и  — выпуклые множества, не имеющие общих внутренних точек. Можно ли утверждать, что А и В отделимы? Рассмотреть пример А = (н =(х, у): у=О, ]х] < 1), В =(о=(х у): я=О, ]у]< !) в Е . 2. Пусть Х вЂ” выпуклое множество иэ Е", !и! Х = И.
Доказать, что любая гиперплоскость, опорная к Х и проходящая через точку у е г! Х, содержит Х, т, е. не является собственно опорной. 3. Пусть А — выпуклое множество из Е", причем Ай!и! Е„" = И. Доказать, что существует такой вектор с =(с!,..., с„) ~0, с! >ВО,..., с„>0, что < с, о><0 при всех о в А, 4. Пусть А — выпуклое множество из Е", М вЂ” аффинное или многогранное множество из Е". Для того чтобы А и 34 были собственно отделимы и разделяющая гиперплоскость не содер!кала А, необходимо и достаточно, чтобы М й и' А = Я, Доказать.
5. Пусть р(А, В) = !п1 !п1 ]о — Ц вЂ” расстояние между множествами А и В. Доказать, аЕАЬЕВ что два иепустых выпуклых множества А, В из Е" сильно отделимы тогда и только тогда, когда р(А, В) > О. 6. Доказать, что всякое выпуклое замкнутое ограниченное множество из Еь имеет хотя бы одну угловую точку (см, определение 3.2.1). 7. Пусть Х вЂ” выпуклое замкнутое множество из Е".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
