А.В. Карапетян - Курс лекций по классической механике (1156887), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ṫ = (F + F e , ρ̇), где T = 12 mρ̇ . Заметим, что (F c , ρ̇) ≡ 0. Умножая (3) скалярно на ρ̇, получаем требуемое. Лемма 2.11. Если ȧS = 0 и ω̇ = 0, то F e = − grad Ve (ρ), где11 2 22Ve = m (aS , ρ) + (ω, ρ) − ω ρ .22Посчитаем ускорение, на массу потом домножим:− (ae , dr ρ) = (aS , dr ρ) + ([ω, [ω, ρ]], dr ρ) = dr (aS , ρ) + (ω, ρ)(ω, dr ρ) − ω 2(ρ, dr ρ) =h11 211 2 2i222= dr (aS , ρ) + dr (ω, ρ) − ω dr (ρ ) = dr (aS , ρ) + (ω, ρ) − ω ρ .2222Лемма доказана. Теорема 2.12.
Если связи, наложенные на относительное движение точки, идеальны ине зависят от времени, заданные силы потенциальны и не зависят от времени, то есть F =− grad V (ρ), и выполнены условия леммы, то уравнения (1) допускают обобщенный интегралэнергии:T + V + Ve = h = const .Следует из предыдущей теоремы и леммы. Следствие 2.2. Если S = O, eζ = ez и ω = ωez = const, то1Ve = − m(ρ21 + ρ22 )ω 2 ,222где ρ = (ρ1 , ρ2 , ρ3 ).Пример 4.1.
Математический маятник во вращающейся системе отсчета. Применим полученное только что следствие. В нашем случае ρ = (ρ1 , ρ2 , 0), причём ρ21 + ρ22 = (r sin ϕ)2 .Имеемω = ωez = ωeζ = const,V = −mgr cos ϕ,1T = mr 2 ϕ̇2 ,21Ve = − m(r sin ϕ)2 ω 2 ,2T + V + Ve =: T + Vω = h,где1Vω = −mgr cos ϕ − ω 2 mr 2 sin2 ϕ —2измененный потенциал.Вычислим момент относительного равновесия (найдём критическую точку изменённого потенциала):dVωrω 2′0 = Vω (ϕ) == mgr sin ϕ 1 −cos ϕ ,dϕgТаким образом, потенциал имеет до четырёх критических точек, в зависимости от параметра ω.Точки ϕ1 = 0 и ϕ2 = π являются критическими при всех значениях ω, а точкиgϕ3,4 = ± arccos 2rωg2будут критическими при ω > r .Но нам и этого мало. Теперь будем исследовать критические точки на устойчивость.
Для2краткости обозначим u := rωg . Считаем вторую производную:Vω′′ = mgr cos ϕ (1 − u cos ϕ) + ru sin2 ϕ ,Отсюда1V ′′ (ϕ1 ) = 1 − u ≷ 0 при u ≶ 1;mgr ω1V ′′ (ϕ2 ) = −(1 + u) < 0;mgr ω1Vω′′ (ϕ3,4 ) = u sin2 ϕ3,4 > 0,mgrпотому что критические точки ϕ3,4 существуют только при u > 1.Бифуркационная диаграмма Пуанкаре: [Рис. ?] — картинка в осях (u, ϕ): при каждомзначении параметра u рисуем множество критических точек, получается такая «многозначнаяфункция» (при некоторых значениях прообраз вообще может быть пуст, но в нашем случае онвсегда состоит хотя бы из двух точек).Фазовый портрет: (это [Рис.
?]).(3)(4)При u = 1 можно проверить, что Vω′′ (0) = Vω (0) = 0, но Vω (0) > 0. При u = 1 происходитперестройка фазового портрета.Уровни энергии: h = hi (ω 2 ) = Vω (ϕi ), тогдаmgr1h1 = −mgr, h2 = mgr, h3,4 = −u+.2uБифуркационная диаграмма Смейла: [Рис. ?].232.5. Движение точки в поле тяготения Земли2.5.1. Движение точки с учетом вращения ЗемлиМодель Земли — однородный шар массы M и радиуса R. Мы будем изучать, как влияетвращение Земли вокруг своей оси на движение точки.Лемма 2.13.
Гравитационный потенциал однородного шара совпадает с гравитационнымпотенциалом центра шара, в котором сосредоточена вся его масса.Во-первых, можно считать только по сечению, потому что вся картинка являетсяосе-симметричной. Далее,MmV = −γ 4 3 ·πR3ZR−R√RZ2 −x20(2πy) dy dxMm!p= −γ,r(r − x)2 + y 2при этом проверка последнего равенства предоставляется читателю. Обозначим e := ez = eζ .
Угловая скорость вращения Земли:ω = Ωe,Ω=2πсек−1 .24 · 60 · 60Пусть M — наша точка, а M 0 — центральная проекция точки на поверхность Земли. Обозначимчерез M массу Земли, ρ = OM, R = OM 0 , R = R ∼ 6.4 · 106 м, µ = γM.Напишем основное уравнение:mρ̈ = −µmρ − m[ω, [ω, ρ]] − 2m[ω, ρ̇].ρ3(1)Если M принадлежит поверхности Земли, то |ρ| = R, и тогдаmρ̈ = −µmρ − m[ω, [ω, ρ]] − 2m[ω, ρ̇] − P ,ρ3где (−P ) — реакция. P — сила, которая действует со стороны точки на Землю — «давление»точки на Землю.Определение.
Весом точки на Земле называется сила, которая действует со стороны покоящейся (относительно Земли) точки на Землю.ИмеемmP0 = P, P 0 = −µ 3 R + mΩ2 [[e, R], e].R|ρ| = R, ρ̇ = 0, ρ̈ = 0Вычислим P0 : имеемR = R cos θeη + R sin θeζ .[e, [e, R]] = e(e, R) − R = R sin θe − R sin θe − R cos θeη = −R cos θeη ,отсюда находимP 0 = −µm(cos θeη + sin θeζ ) + mΩ2 R cos θeη .R224Пусть g P = −µ RR3 — гравитационное ускорение, gP = |g P | = Rµ2 . Тогда Ω2 RP 0 = −mgP sin θeζ + cos θ 1 −eη ,gP Ω2 Rg = −gP sin θeζ + cos θ 1 −eη —gPускорение силы тяжести на Земле.
Значит,s 2 2 22RΩRΩRΩ2g = |g| = gP 1 − 2 cos2 θ+ cos2 θ≈ 1 − cos θgP .gPgPgP(gp sin θ = g sin ϕ,⇒gp cos θ = g cos ϕ + Ω2 R cos θtg ϕ = tg θ1288tg θ,≈22891 − ΩgpRгде ϕ — угол местной вертикали [Рис. ?].2.5.2. Падение точки на Землю с учетом вращения ЗемлиПусть Sxyz — система координат, «вмороженная в Землю». Координата Sx — на запад, Sy —на юг, Sz — местная вертикаль.mr̈ = mg(r) − 2m[ω, ṙ](1)(()· — производная в системе отсчета, связанной с Землей, т.е.
локальная). Переносная силаинерции учтена уже в mg.g(r) ≅ g(0) = −gezω = Ωe,g(M) ≅ g(S) = −gez ,e = − cos ϕey + sin ϕez ;g = const .2πсек−1 .Ω=24 · 60 · 60Начальные условия: r(0) = z0 ez ; ṙ(0) = 0. ṙ = v — относительная скорость.v̇ = g − 2Ω[e, v](2)Это система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Будем искать решение уравнения (2) в видеv = v 0 + Ωv 1 + Ω2 v 2 + . .
.(3)Тогда (2) примет видv̇ 0 + Ωv̇ 1 + Ω2 v̇ 2 + · · · = g − 2Ω[e, (v0 + Ωv 1 + . . . )].Получаем системуv̇0 = g,v̇1 = −2[e, v0 ],v̇2 = −2[e, v1 ]...25(4)Решая систему (4) при начальных условиях v i (0) = 0, i = 0, 1, 2 . . . , получаемv 0 = gt,v 1 = −[e, g]t2 ,v 2 = 23 [e, [e, g]]t3 , ...(5)Значит,2Ω2v = gt − Ω[e, g]t +[e, [e, g]]t3 , . . .32ΩgtΩ2r = r(0) +− [e, g]t3 +[e, [e, g]]t4 , .
. .236Это закон движения точки, падающей на Землю. В проекциях на оси x, y, z он записываетсяследующим образом:2[e, g] = −g[e, ez ] = g cos ϕex ,[e, [e, g]] = [− cos ϕey + sin ϕez , g cos ϕex ] = g cos2 ϕez + g sin ϕ cos ϕey ; ⇒(Ωt)2Ωt(Ωt)2gt2222r = − cos ϕ · gt ex +sin ϕ cos ϕ · gt ey + z0 −1−cos ϕ ez + o((Ωt)2 ).3623Замечание. Вывод несколько некорректен, так как нельзя раскладывать по величинам,имеющим размерность. (Мы раскладывали по Ω, а надо раскладывать по степеням безразмерной величины Ωt. Но ответ будет таким же).В первом приближении точка отклоняется на Восток; во втором приближении — на юг;точка упадет чуть позже, чем если бы Земля не вращалась (тоже во втором приближении).Пример 5.1.
Рассмотрим падение тела с Останкинской телебашни.z0 = 500 м, g = 1010t2падм0;ϕ=60;500−= 0 ⇒ tпад = 10 секс222π · 101·≈ 10−1 м = 10 см24 · 60 · 60 3 · 2(2π)2 · 1021.73∆y = 2·≈ 10−3 м = 1 мм.2224 · 60 · 60 6 · 4∆x =Замечание. По местной вертикали точка падает на полюсе, не отклоняется на Юг на экваторе.2.5.3.
Маятник ФукоОпределение. Маятник Фуко — это сферический маятник, подвешенный на Земле, с учетом ее вращения.Введем систему координат Sxyz: S — центр сферы, Sx — на запад, Sy — на юг, Sz — местнаявертикаль.rmr̈ = mg − 2m[ω, ṙ] + N ;(1)l|r| = l — идеальная связь, N — нормальная реакция. Частное решение уравнения (1) имеет видr = −lez ,N = −mgx = y = 0,z = −l,N = −mg.26Выпишем линеаризованное уравнение вблизи нижнего положения равновесия (x и y — малые,отбрасываем члены порядка x2 + y 2):rx2 + y 2z = −l 1 −= −l + o(|x| + |y|),N = −mg + ν( ν – малая величина)l2r = xex + yey − lez ,ṙ = ẋex + ẏey ;[ω, ṙ] = Ω[(− cos ϕey + sin ϕez ), (ẋex + ẏey )] = −Ωẏ sin ϕex + Ωẋ sin ϕey + Ωẋ cos ϕez .Уравнение (1) в проекциях на оси x, y, z:gẍ = 2Ωẏ sin ϕ − l x,ÿ = −2Ωẋ sin ϕ − gl y,0 = z̈ = 2Ωẋ cos ϕ − ν;(2)Откуда получаем, что в первом приближении N = −mg + Ωẋ cos ϕ.
Положим w = x + iy.Интегрирование системы (2) даетgẅ + 2Ω sin ϕiλ + w = 0.lХарактеристическое уравнение:gλ2 + 2Ω sin ϕiλ + = 0,l rgλ1,2 = −Ω sin ϕ ± Ω2 sin2 ϕ +i = (−ω1 ± ω2 )ilrgω1 = Ω sin ϕ,ω2 = Ω2 sin2 ϕ + ; ω1 ≪ ω2lТогдаw1 = cos(ω2 − ω1 )t + i sin(ω2 − ω1 )t,w2 = cos(ω2 + ω1 )t − i sin(ω2 + ω1 )t.Пустьw1 + w2= cos ω2 t(cos ω1 t − i sin ω1 t),2w1 − w2w̃2 == sin ω2 t(cos ω1 t − i sin ω1 t)2w̃1 =Общее решение уравнения (3):w = c1 w̃1 + c2 w̃2 = (cos ω1 t − i sin ω1 t)(c1 cos ω2 t + c2 sin ω2 t).Пример: начальные условия:x(0) = x0 , y(0) = 0, ẋ(0) = ẏ(0) = 0;ω1w(0) = x0 , ẇ(0) = 0, c1 = x0 , c2 = i x0 ;ω2ω1x = x0 (cos ω1 t cos ω2 t +sin ω1 t sin ω2 t) = Rewω2ω1y = x0 ( cos ω1 t sin ω2 t − sin ω1 t cos ω2 t) = Imwω227(3)Колебания маятника Фуко почти плоские, но не плоские.1Если l = 100м, g = 10 см2 , то ω22 ∼ 10, ω2 ∼ 13 , ϕ = 60◦ , ω1 ∼ 16 10−4 , x0 = 10 м, t = 300 с ⇒∆y ∼ 5 см.Замечание.
Рассмотрим плоский линейный осциллятор F = −kr.Если k = mω22 , а плоскость Oxy вращается с угловой скоростью ω = ω1 ez , то уравнениядвижения точки m совпадают с уравнениями (2):mr̈ = mω12 r − 2mω1 [ez , ṙ] − mω22 r ≡ −2mω1 [ez , ṙ] − m(ω22 − ω12 )r.3. Динамика системы точек и твёрдого тела3.1. Динамика системы точек3.1.1. Основные понятияМы будем рассматривать системы из n точек, поэтому индексы, их нумерующие, а равнокак и суммы по ним, всегда будут от 1 до n.Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
