А.В. Карапетян - Курс лекций по классической механике (1156887), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Выведем третий закон Кеплера:T =2πabc⇒T2 =4π 2 a2 b24π 2 a4 (1 − e2 )4π 2 a4 (1 − e2 )4π 2 a3T24π 2===⇒=,c2µρµa(1 − e2 )µa3µгде µ — постоянная солнечной системы.Определение закона движения по эллиптической траектории. Имеемr 2 ϕ̇ = cϕ̇c= 22(1 + e cos ϕ)p⇒⇒dϕc= 2 dt.2(1 + e cos ϕ)pПусть P — точка на эллипсе, Q — ее проекция на главную ось эллипса, S и O — соответственнофокус и центр эллипса. Интегрировать будем с помощью подстановки:cos u =OQOS + SQae + r cos ϕ1 − e2e + cos ϕ===e+cos ϕ =.aaa1 + e cos ϕ1 + e cos ϕУравнение тогда приводится к видуc(1 − e2 )3/2 dt ⇒p2ZuZtc2 3/2(1 − e cos u) du = n dt,,n = 2 (1 − e )p(1 − e cos u)du =0tπПолучаем уравнение Кеплера:u − e sin u = n(t − tπ ).В элементарных функциях выразить решение нельзя.Первая и вторая космические скорости.
Пусть M — масса Земли, а m — масса искусственного спутника Земли. Запишем интеграл энергии:1 2Mmmv − γ= h.2rМы знаем, что значение h, при котором траектория представляет собой окружность, равноhкр = −γMm.2RПервая космическая скорость: 12 mv12 = m γM(−1 + 2). Отсюда2Rv12 =γM.RЧтобы оторваться от Земли, нужно, чтобы траектория стала разомкнутой кривой (то естьхотя бы параболой). Как мы знаем, hпар = 0. Отсюда получаем вторую космическая скорость:v22 = 2γM= 2v12 .RВсе промежуточные скорости соответствуют всё более и более вытянутым эллипсам, а бо́льшиезначения — гиперболам.172.3. Динамика материальной точки при наличии связей2.3.1.
Движение точки по поверхностиПусть траектория точки определяется не только силами, которые действуют на эту точку, нои какими-то другими соотношениями. Например, точка движется по неособой поверхности, заданной уравнением f (r, t) = 0 (неособая поверхность — это поверхность, у которой grad f 6= 0).Тогда её траектория имеет видΣt = r(t) ∈ R3 : f (r, t) = 0 .В этом случае, вообще говоря, ma 6= F , то есть закон Ньютона не обязательно справедлив.Это, однако, неудобно, поэтому введём аксиому освобождения от связей: уравнение связиубирается, но добавляются силы реакции связи:(mr̈ = F (ṙ, r, t) + R(ṙ, r, t),(2)f (r, t) = 0.Здесь F — заданная сила, R — реакция связи (неизвестная).
Реакцию можно разложить накасательную и нормальную компоненты:R = Rt + Rn ,Rn = Rn n,n := −grad f.|grad f |Мы будем для простоты считать, что связь не зависит от времени. Иначе говоря, это некоторая неподвижная гиперповерхность в пространстве.Утверждение 2.7. Нормальная реакция Rn однозначно определяется заданными силамии связью.
Имеем f r(t) ≡ 0. Продифференцируем, получим grad f, ṙ ≡ 0, а теперь ещё раз:grad f, r̈ +Отсюда следует, что ∂2fṙ, ṙ = 0.∂2fṙ, ṙ .∂r 2∂r 21(n, r̈) =| grad f |Умножим первое уравнение системы (2) скалярно на n. Пусть Fn = (F , n) — координата силыF по нормали к поверхности. Тогда получим 2m∂ fRn = −Fn + m(r̈, n) = −Fn +ṙ, ṙ .| grad f | ∂r 2Пример 3.1. Рассмотрим частные случаи для касательной составляющей реакции связи:• Rt = 0 — связь идеальная.• Rt = −kRn vv — сухое трение.Напомним, что через T мы обозначаем кинетическую энергию точки.Теорема 2.8.
Если связь не зависит от времени и является идеальной, то Ṫ = (F , v).18Умножим второе уравнение системы (2) скалярно на ṙ = v, учитывая, что (n, v) = 0:d(mv 2 ) = (mr̈, ṙ) = (F , v) + (R, v) = (F , v) + Rn (n, v) = (F , v),dtчто и требовалось доказать. Следствие 2.1. Если связь не зависит от времени и является идеальной, а заданные силыпотенциальны: F = − grad V (r) и не зависят от времени, то имеет место интеграл энергии:T + V = const.2.3.2. Движение точки по кривойРассмотрим кривую Γ = {r ∈ R3 | f1 (r) = 0, f2 (r) = 0, r = r(s)}, где s — натуральный параметр (кривая задана как пересечение двух гиперповерхностей f1 и f2 ).
Пусть радиус кривизныρ отличен от нуля.Освободимся от связи: mr̈ = F + R,f1 = 0, f2 = 0, r = r(s),(3)R = Rτ τ + Rν ν + Rβ β.Первое уравнение системы распишем в проекциях на оси τ , ν, β:mv̇ = Fτ + Rτ ,mv 2= Fν + Rν ,ρ0 = Fβ + Rβ .Отсюдаmv 2;Rβ = −Fβ ; Rν = −Fν +ρДля Rτ возможны следующие частные случаи:Rn =qFβ2 + Fν2 .• Rτ = 0 (связь идеальная);• Rτ = −kRn (сухое трение).В случае идеальной связи ms̈ = Fτ (ṡ, s, t).Замечание. Теорема 2.8 справедлива и для движения по кривой. Справедливо также след)ствие, и интеграл энергии имеет вид: H = 12 mv 2 + V = h. Тогда Rν = −Fν + 2(h−Vи Rβ = −Fβ .ρ(Rν = Rν (s, h)⇒ Rn = Rn (s, h).Rβ = Rβ (s, h)2.3.3.
Математический маятникПусть g := gez — вектор ускорения свободного падения.Рассмотрим груз массы m, подвешенный на нерастяжимом и невесомом стержне длины l.Связи: x2 + y 2 = l2 , а z ≡ 0.Предполагаем, что связь идеальная. Пусть ϕ — угол отклонения маятника от вертикали.Тогда v = lϕ̇. Имеемmlϕ̈ = −mg sin ϕ,m(lϕ̇)2(4)= −mg cos ϕ + Rν ,l0 = 0 + Rβ .19Интеграл энергии: 12 m(lϕ̇)2 − mgl cos ϕ = h. Выразим ϕ̇ из этого уравнения:rϕ̇ = ±2(h + mgl cos ϕ)ml2⇒±qdϕ2(h+mgl cos ϕ)ml2= dt⇒Zϕ0ϕНарисуем фазовый портрет. Область возможности движения:dϕq2(h+mgl cos ϕ)ml2= t − t0 .• Если h < −mgl, то движение невозможно, ибо под корнем отрицательное число.• Если h = −mgl, то ϕ = ϕ̇ ≡ 0 (положение устойчивого равновесия).h• Если h ∈ (−mgl; mgl), то ϕ ∈ (−α; α), где α = arccos − mgl— амплитуда колебаний.• Если h = mgl, то:a) ϕ ≡ π, ϕ̇ ≡ 0 — неустойчивое положение равновесия («конус на вершине»).b) ϕ = ϕ(t), lim ϕ(t) = π — маятник стремится к верхнему положению равновесия заt→±∞бесконечное время и останавливается там.• Если h > mgl — неравномерное вращение.Задача 2.1.
Доказать, что при малых колебаниях (α → 0) имеет место формула периодаколебанийsllim τ (α) = 2π= τ0 ,α→+0gгдеτ (α) = 2Zα−αdϕp g.2 l (cos ϕ + cos α)).Задача 2.2. τ (π − ε) ∼ ln 1ε (то есть существует предел: lim τ (π−ε)ln 1εЗадача 2.3. Вывести уравнения малых колебаний:gϕ̈ = − ϕ,lϕ ∈ (−α; α),0 < α ≪ 1,τ0 = 2πsl.g2.3.4. Сферический маятникА теперь рассмотрим тот же груз, но разрешим ему качаться не только в плоскости, но ив пространстве. Как обычно, l — длина стержня. Связь |r| = l идеальна. Пусть {eϕ , eθ , er } —репер сферических координат. Тогдаmr̈ = mg + Rer ,| {z }1 2mv + V = h,2V = mgl sin θ.(5)FНапомним, что θ — «широта», а ϕ — «долгота».Введём обозначение Kz := (K O , ez ).Утверждение 2.9.
Kz = const. В самом деле, для силы реакции имеем M O R = [r, R] =0, так как реакция коллинеарна r. Далее, M O (mg) = [r, mg] = mg[r, ez ]. поэтому M O (mg), ez = mg([r, ez ], ez ) = 0. Итак, мыпоказали, что (M O (F ), ez ) = 0, а потому Kz = const. 20Скорость точки будет равна v = l(θ̇eθ + ϕ̇ cos θeϕ ). Поэтому закон сохранения энергии будеттаким:1 2 2ml (θ̇ + ϕ̇2 cos2 θ) + mgl sin θ = h.2Кроме того,K O = [r, mv] = ml2 [er , θ̇eθ + ϕ̇ cos θeϕ ] = ml2 (−θ̇eϕ + ϕ̇ cos θeθ ),поэтому, переходя к проекции, получаем (с учётом того, что eϕ ⊥ ez )Kz = (K O , ez ) = ml2 ϕ̇ cos θ(eθ , ez ) = ml2 ϕ̇ cos2 θ.Следовательно, ml2 ϕ̇ cos2 θ = k =: ml2 c, где c = const, откуда при θ 6= ± π2 получаем ϕ̇ =Теперь подставим полученное значение для ϕ̇ в закон сохранения энергии:1 2 2ml θ̇ + Vc = h,2Vc := mgl sin θ +c.cos2 θ1 ml2 c2.2 cos2 θЗдесь Vc — приведённый потенциал.Проанализируем решение.
Если c = 0, то ϕ̇ = 0 ⇒ ϕ = const, то есть движение плоское.Теперь посмотрим на график приведённого потенциала. Эта функция имеет полюса в точках± π2 , а между ними имеется (единственный) минимум, обозначим его θc .Тут имеется картинка [Рис. ?] и сфера с вычерченной на ней синусоидальной кривой.Пусть h = Vc (θc ). Тогда маятник заметает окружность, высеченную на сфере некоторойгоризонтальной плоскостью. Если же h > Vc (θc ), то траектория на сфере будет иметь синусоидальную форму.Малые колебания сферического маятника в окрестности нижнего положенияравновесия. Пусть наш маятник колеблется вблизи южного полюса сферы, (x, y, z) — егокоординаты. Имеемpz = − l2 − x2 − y 2 ,и при 0 < |x| + |y| ≪ 1 имеем z = −l + O(x2 + y 2 ). Тогда получаем уравненияmr̈ = mg + RezПоскольку f = x2 + y 2 + z 2 − l2 = 0, получаем er =grad f,|grad f |имеемxmẍ = R + o |x| + |y| ,lymÿ = R + o |x| + |y| ,l0 = −mg − R,таким образом(ẍ = − gl x,ÿ = − gl y.Итак, в окрестности полюса колебания сферического маятника в первом приближении совпадают по каждой из осей с обычными гармоническими колебаниями.212.4.
Относительное движение точки2.4.1. Относительное движение материальной точкиПусть Oex ey ez — неподвижный репер, Se1 e2 e3 — подвижный репер. Траектория начала отсчёта подвижного репера — это r S = r S (t), а Γ = Γ(t) — матрица, задающая ориентацию e1 e2 e3в Oex ey ez . Напомним, чтоvS =da r S,dtaS =d2a r S,dt2ε=dr ωda ω== ω̇.dtdtЗдесь точка означает производную по времени в относительных координатах.maa = F ,(1)mar = F − mae − mac ,(2)и, соответственно, F e := −mae , а F c := −mac .Через ρ обозначим радиус-вектор точки относительно подвижной системы координат. Тогда (2) записывается в видеmρ̈ = F (t, ρ, ρ̇) + F e + F c ,(3)гдепереносная сила, аF e = −m aS + [ω̇, ρ] + [ω, [ω, ρ]] —F c = −2m[ω, ρ̇] —кориолисова сила.2Теорема 2.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
