А.В. Карапетян - Курс лекций по классической механике (1156887)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М. В. ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКурс лекций поклассической механикеЛектор — Александр Владиленович КарапетянIV курс, 7 семестр, поток математиковМосква, 2006 г.Оглавление1.Кинематика1.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .1.1.1. Напоминание из аналитической и дифференциальной геометрии1.1.2. Совсем основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3. Цилиндрические и сферические координаты . . . . . . . . .

. .1.1.4. Натуральный параметр и естественные оси (репер Френе) . . .1.1.5. Угловая скорость подвижного репера . . . . . . . . . . . . . . .1.1.6. Связь абсолютной и локальной производных по времени . . . .1.2. Кинематика абсолютно твердого тела . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .1.2.1. Абсолютно твёрдое тело. Формула Эйлера и Ривальса . . . . . .1.2.2. Примеры движений твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3. Сложное движение точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.4. Теорема о сложении угловых скоростей.Кинематические формулы Эйлера . . . . . .

. . . . . . . . . . .1.2.5. Углы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.6. Замечание о качении тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............444455566679. . . . . .. . . . . .. . . . . .101011.................................2.Динамика точки2.1. Движение точки под действием сил .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Принцип детерминированности Ньютона. Прямая и обратная задачинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2. Примеры сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .2.1.3. Основные динамические величины. Работа и момент силы . . . . . .2.1.4. Основные теоремы динамики точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.5. Одномерное движение точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2. Задача Кеплера . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1. Вывод закона всемирного тяготения из законов Кеплера . . . . . . .2.2.2. Прямая задача Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3. Качественный анализ уравнения . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .2.2.4. Аналитическое исследование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.5. Исследование эллиптического движения . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3. Динамика материальной точки при наличии связей . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1. Движение точки по поверхности . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2. Движение точки по кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3. Математический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.4. Сферический маятник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .2.4. Относительное движение точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4.1. Относительное движение материальной точки . . . . . . . . . . . . .2.5. Движение точки в поле тяготения Земли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5.1. Движение точки с учетом вращения Земли . . . . . . . . . . .

. . . .2.5.2. Падение точки на Землю с учетом вращения Земли . . . . . . . . . .2.5.3. Маятник Фуко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.Динамика системы точек и твёрдого3.1. Динамика системы точек . . . . . . . .3.1.1. Основные понятия . . . . . . .3.1.2. Общие теоремы динамики . . .2......................11. . .

11ди. . . 11. . . 12. . . 12. . . 13. . . 13. . . 14. . . 14. . . 15. . . 16. . . 16. . . 17. . . 18. . . 18. . . 19. . . 19. . . 20. . . 22. . . 22. . . 24. . . 24. . . 25. . . 26тела28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.3.Понятие о задаче n тел.Задача двух тел и её сведение к задаче Кеплера . . . . . . . . . . . . . . .3.1.4. Оси, формулы и теоремы Кёнига . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Динамика твердого тела. Геометрия масс ТТ . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .3.2.1. Динамика твёрдого тела с неподвижной точкой . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.2. Оператор инерции и эллипсоид инерции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.3. Основные динамические характеристики ТТ . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.4. Основные уравнения движения ТТ . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.5. Эквивалентные системы сил, действующих на ТТ . . . . . . . . . . . . . .3.2.6. Динамика твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.7. Физический маятник: ТТ в однородном поле тяжести . . . . . . . . . . . .3.2.8. Плоско-параллельное движение ТТ .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.9. Задача: Диск на наклонной прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.10. Динамика ТТТ с неподвижной точкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Волчки и всё о них . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.1. Перманентные вращения. Вращение с постоянной угловой скоростью вокруг постоянной в теле оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2. Волчок Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .3.3.3. Перманентные вращения волчка Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.4. Геометрическая интерпретация Пуансо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.5. Регулярные прецессии динамически симметричного волчка Эйлера (A =B 6= C) . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.6. Волчок Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.7. Динамика твердого тела на горизонтальной плоскости . . . . . . . . . . . .303132323233333434353636373838383939404041ПредисловиеНабрано Ромой и Машей Ждановыми. Рисунков, к сожалению, пока нету. Текст был частично подправлен DMVN Corp. Пока тщательной переработке подверглись только первые двеглавы, последняя на предмет опечаток и лажи не верифицировалась. Разделение на главы ипараграфы условно и не претендует на точное соответствие названий и содержания. В порядкеисключения шрифт здесь будет 12pt, потому что легче читать (очень много мелких, но важныхиндексов).Последняя компиляция: 8 февраля 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.31.

Кинематика1.1. Основные понятия1.1.1. Напоминание из аналитической и дифференциальной геометрииМы часто будем использовать формулу «бац минус цаб»:[a, [b, c]] = b(a, c) − c(a, b).Кроме того, если a ⊥ b, то есть (a, b) = 0, то, с использованием предыдущей формулы (хотяэто легко проверить и непосредственно) получаем[a, [a, b]] = a (a, b) −b(a, a) = − |a|2 b.| {z }0Ещё одно полезное соображение: если e и f — векторы, зависящие от времени, но (e, f ) ≡const, то (ė, f ) + (e, f˙) ≡ 0.1.1.2. Совсем основные понятияПусть M — точка в R3 , r — её радиус-вектор относительно некоторой системы отсчетаOxyz с ортами ex , ey , ez .

Время t ∈ R+ = [0, +∞), функция r = r(t) — закон движения.Кривая γ = {r(t)|t ∈ [a, b]} — траектория движения. Все функции дифференцируемы столькораз, сколько нужно.Определение. Скоростью точки в данный момент времени называется производная еерадиус-вектора по времени:drv = ṙ = .dtОпределение. Ускорением точки в данный момент времени называется первая производная её вектора скорости по времени или, что то же самое, вторая производная ее радиус-векторапо времени:d2 ra = v̇ = r̈ = 2 .dtТаким образом,r = xex + yey + zez ,v = ẋex + ẏey + żez ,a = ẍex + ÿey + z̈ez .Пример 1.1.

Простейшие виды движения точки:1. Движение вдоль неподвижной прямой:r = r 0 + se.2. Движение вдоль окружности x2 + y 2 = R2 в плоскости z = 0 [Рис. 1]. Введём (подвижную) систему координат (er , eϕ ).er := ex cos ϕ + ey sin ϕ,eϕ := −ex sin ϕ + ey cos ϕ.Тогдаr = Rer ,v = Rėr = Rϕ̇eϕ ,a = Rϕ̈eϕ + Rϕ̇ėϕ = Rϕ̈eϕ − Rϕ̇2 er .41.1.3. Цилиндрические и сферические координаты1. Цилиндрические [Рис. 2]: ϕ, ρ, z,2. Сферические [Рис. 3]: r, ϕ, θ,eϕ , eρ , ez ,er , eϕ , eθ ,r = ρeρ + zez .r = rer .1.1.4.

Натуральный параметр и естественные оси (репер Френе)vВведем обозначения: τ = |v|— орт касательной к траектории. Пусть Π — cоприкасающаясяплоскость, то есть плоскость, что τ , ν ∈ Π, где ν — вектор главной нормали, ν ⊥ τ . Положимβ = [τ , ν] — вектор бинормали.Определение. Оси τ , ν, β называются естественными осями или репером Френе.РЕПЕР ФРЕНЕ: [Рис. 4] = 1.Определение.

Параметр называется натуральным, если drdsЗдесь будем считать, что штрих — это производная по натуральному параметру. Имеемdrṡ = ṡr ′ = vτ ,dsRs = vdt.v = ṙ =так как |τ | = |r′ | = 1, то ṡ = v;r′ = τ ;a = v̇ = v̇τ + v τ̇ = v̇τ + v 2 τ ′ = Aτ + Bν.Очевидно, τ ′ ⊥ τ , поэтому A = v̇, и τ ′ = kν. Из курса дифференциальной геометрии известно, что k — кривизна кривой. Итак,v = vτ ,a = v̇τ + kv 2 ν.Пусть ρ := k1 — радиус кривизны, κ — кручение кривой. Напомним формулы Френе издифференциальной геометрии:′τ = kν,ν ′ = −kτ + κβ, ′β = −κν.Следствие 1.1. В наших обозначенияхτ̇ = kvν,ν̇ = −kvτ + κvβ,˙β = −κvν.1.1.5.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций