М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 177
Текст из файла (страница 177)
Покажите, что если д Е С, то С„= С .. "Упражнение П2.5. Покажите, что если х — элемент абелевой группы С, то С. = (х). Интересным примером неабелевой группы является группа Падла на п кубитах. Для одного кубита группа Паули будет состоять из матриц Паули, умножаемых на множители вида х1, хй Сг = (хг,Ы1,хХ,х1Х,хг,хгУ,хЯ,хгЯ). (П2.1) Это множество матриц образует группу относительно операции перемножения матриц. Может вызвать удивление тот факт, что множители х1 и Ы не исключены. Причина заключается в том, что только в этом случае множество С~ будет замкнуто относительно умножения, а следовательно, будет действительно образовывать группу.
Общая группа Паули на и кубитах, по определению, состоит из всех и-кратных тензорных произведений матриц Паули, причем по- прежнему следует использовать все множители вида х1, х1. П2.1.1 Образующие Изучение группы часто сильно упрощается за счет использования множества образующих для нее. Говорят, что набор элементов дм...,д~ группы С порожоаетп эту группу, если любой элемент С может быть представлен в виде произведения (возможно, повторяющихся) элементов из списка ды..., дп в таком случае используем обозначение С = (дг,..., д~). Например, Сг = (Х, Я, П), поскольку любой элемент группы С может быть представлен в виде произведения матриц Х, Я и гХ.
В то же время (Х) = (г', Х) — мы получили подгруппу группы Сг, не совпадающую со всей группой, поскольку не все элементы из Сг могут быть представлены в виде степени матрицы Х. Обозначение (...), которое мы используем для образующих групп, в принципе можно спутать с обозначением для наблюдаемых средних значений, введенным в подразд. 2.2.5. Тем не менее на практике из контекста всегда понятно, о каком из двух обозначений идет речь. П2.1.
Основные определения 743 Большое преимущество от использования образующих для описания групп заключается в том, что они предоставляют очень компав»лиме средства описания. Пусть группа С имеет мощность |С~. Тогда легко показать, что существует множество из 1ой(~С~) образующих, порождающих группу С.
Действительно, предположим, что ды..., д~ — набор элементов в группе С и д не входит в группу (дм...,д~). Пусть у Е (д~...,д~). Тогда 1д ф (д«,...,д~), поскольку в противном случае выполнялось бы условие д = У 'Уд е (ды, дд, что противоречит сделанному предположению. Таким образом, для любого элемента У Е (д«,...,д~) существует элемент 7д, входящий в группу (дм...,дпд), но не содержащийся в (д«,...,д~).
Поэтому добавление образующей д к (дм..., дД, по крайней мере, удваивает размер порождаемой группы, отсюда следует, что группу С можно задать набором образующих, содержащим не более 1оф~С~) элементов. П2.1.2 Циклические группы Группа С называется циклической, если в ней существует такой элемент а, что любой элемент д б С может быть представлен в виде а" с некоторым целым щ при этом элемент а называется образующей группы С и С = (а).
Циклической подгруппой Н, порожденной элементом д Е С, называется группа (е,д,д~,...,д' ~), где г — порядок элемента д. Другими словами, Н = (д). 'Упражнение П2.6. Покажите, что любая группа, порядок которой равен простому числу, является циклической. Упражнение П2.7. Покажите, что любая подгруппа циклической группы является циклической. 'Упражнение П2.8. Покажите, что если элемент д Е С имеет конечный порядок, то д = д" тогда и только тогда, когда тп = и (пюй т).
П2.1.3 Смежные классы Для подгруппы Н группы С левым смежным классом, определяемым элементом д Е С, называется множество дН ш (,дЬ1Ь е Н~. Правый смежный класс вводится аналогичным образом. Зачастую определять, является ли смежный класс «правым» или «левым», приходится из контекста. В случае такой группы, как Е„, когда групповой операцией является операция сложения, принято обозначать смежные классы подгруппы Н следующим образом: д + Н (для де2„).
Упражнение П2.9, Смежные классы определяют отношение эквивалентности между элементами. Покажите, что элементы ды дэ е С принадлежат одному и тому же смежному классу подгруппы Н в С тогда и только тогда, когда существует такой элемент Ь е Н, что дг = д«Ь. Упражнение П2.10. Какое количество смежных классов подгруппы Н содержится в группе С7 744 Приложение 2. Теория групп П2.2 Представления Пусть ̄— множество комплексных матриц размера п х и.
Матричная группа — это множество матриц в М„, которое удовлетворяет свойствам групп относительно операции перемножения матриц. Обозначим единичный элемент в таких группах через 1. Представление р группы С определяется как функция, которая отображает С в матричную группу, сохраняя операцию умножения в группе. В частности, элемент д е С так отображается в матрицу р(д) Е М„, что из равенства дпдз = дз следует, что р(д1)р(дг) = р(дз), Если несколько элементов могут отображаться в один, то такое отображение называют гомсморфизмо м; если же разные элементы переходят в разные, то такое отображение называется изоморфизмом. Представление р, отображающее элементы группы во множество матриц М„, имеет размерность др — — и. Определенные нами представления также называют матричными; существуют представления более общего вида, однако для наших целей они не потребуются.
В оставшейся части данного приложения мы будем иметь дело только с группами конечного размера. П2.2.1 Эквивалентность и приводимость С представлениями связаны два очень важных понятия: эквивалентность и приводимость. Характером группы матриц С ь М„называют функцию, определенную на элементах группы следующим образом: Х(д) = Фг(д) (здесь д б С, а сг( ) — обычный оператор взятия следа от данной матрицы).
Отметим следующие свойства характера: 1) Х(1) = п; 2) (Х(д)) < и; 3) если (Х(д)! = и, то д = с'з1; 4) х имеет одно и то же значение для всех представителей одного и того же класса сопряженных элементов группы С; 5) Х(д 1) = Х" (д); б) т(д) является алгебраическим числом. Две группы матриц называются эквивалентными, если они изоморфны, а элементы, переходящие друг в друга при изоморфизме, имеют одинаковые характеры. Упражнение П2.11 (характеры).
Докажите шесть приведенных выше свойств характеров. Упражнение П2.12 (унитарные группы матриц). Унитарнаягруппаматриц состоит только из унитарных матриц (т. е. матриц, удовлетворяющих условию (1111 = 1). Покажите, что любая группа матриц эквивалента унитарной группе матриц. Если представление группы состоит только из унитарных матриц, его называют унитарным. Матричную группу С в М„называют вполне приводимой, если она эквивалентна другой матричной группе Н, которая имеет блоковую диагональную форму; т.
е. все элементы т Е Н имеют вид йай(ты тз) с некоторыми матрицами т~ Е М„, и тз Е М„,. Если такой эквивалентности не существует, то матричная группа является неприводимой. Рассмотрим полезное свойство неприводнмых матричных групп. П2.2. Представления 745 Лемма П2.2 (лемма Шура). Пусть С Е М„и Н е Мь — две матричные группы одного порядка, т.
е. (С~ = )Н~. Если существует такая матрица Я размера Й х и, что Яд» = Ь»Я для некоторого порядка расположения элементов д; б С и Ь; е Н, то либо Я вЂ” нулевая матрица, либо п = й, а Я вЂ” квадратная невырожденная матрица. Упражнение П2.13. Покажите, что любая неприводимая абелева матричная группа является одномерной. 'Упражнение П2.14. Докажите, что если р — неприводимое представление группы С, то число ~С~/др — целое. Следующая теорема связывает свойство неприводимости с,характерами.
Теорема П2.3. Группа матриц С неприводима тогда и только тогда, когда —,> ~Х(д)~'=1. Ф1„ (П2.2) П2.2.2 Ортогональность Теорема П2.4 (фундаментэльная теорема). Любая группа С имеет ровно т неэквивалентных неприводимых представлений, где т — количество. классов сопряженных элементов группы С. Кроме того, если рт е Мз, и р» — любые два из этих представлений, то элементы матриц удовлетворяют соотношениям ортогонэльности ~, (р'(д)];,'(р'(д)) = 4 биббьб» (П2.3) »ео Йт где бр» равно единице, если р" = р», и нулю — в противном случае. 'Упражнение П2.15.
Используя фундаментальную теорему, докажите, что характеры ортогональны, т. е. г ~т (Х,')'Х,' = ~С~бт» и ~ Я)'~" = — бсь (П2.4) !С! р=» »ьи Упражнение П2.16. Обозначим через Яэ группу всех перестановок трех элементов. Упорядочим их следующим образом: первый элемент отображает 123 в 123, второй — в 231, третий — в 312, четвертый — в 213, пятый — в 132, шестой — в 321.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
