М. Нильсен, И. Чанг - Квантовые вычисления и квантовая информация (1156771), страница 172
Текст из файла (страница 172)
722 Глава 12. Квантовая теория информации Из выражения 2 а Я(рмакс) = (1 2 ') 1оя(1 2 в) 2 а 1о8 (12.199) Случайная выборка л4оэкет ограничить подслушивание сверху Как может протокол обеспечить нижнюю границу степени совпадения ЭПР пар Алисы и Боба? Главная идея — классический прием, основанный на случайной выборке, с которым мы столкнулись в описании протокола ВВ84 (упр. 12.27). Однако, аргументы, основанные на классической вероятности, не применимы при рассмотрении данных, полученных в результате квантовых измерений.
Это наглядно демонстрируется неравенством Белла (равд. 2.6). С другой стороны, квантовые эксперименты все же допускают классическую интерпретацию всякий раз, когда рассматриваются измерения наблюдаемых, относящихся к одному базису. К счастью, оказывается, что для оценки степени совпадения ЭПР пар требуется, чтобы Алиса и Боб произвели измерения только в одном базисе. В соответствии с (10.14), с кубитом, который передается по квантовому каналу с шумом, может произойти одно из четырех событий: состояние кубита не изменится (Х), классическая ошибка (изменение бита) (Х), переворачивание фазы (Я), или комбинация классической ошибки и переворачивания фазы (У).
Напомним, что базис Белла определяется четырьмя состояниями )00) — (11) !Ао) = ~/2 (01) — (10) ~Рп) = ~/2 /00) + !11) ~/2 !01) + /10) ~/2 (12.200) Пусть Алиса посылает Бобу второй кубит из каждой пары. Если в этом кубите происходит классическая ошибка, то ~Дю) преобразуется в ~1?о~).
Аналогично, переворачивание фазы дает ~До), а комбинация двух ошибок дает ф~ г) следует желаемый результат. В соответствии с формулой (12.6), Я(р) является верхней границей для доступной Еве информации о результатах измерений р Алисы и Боба. Это означает, что, если протокол КРК может обеспечить Алису и Боба ЭПР парами со степенью совпадения, по меньшей мере, 1 — 2 ' (с большой вероятностью), то он надежен. Упражнение 12.30.
Упростите (12.199), чтобы получить выражение для о(р), приведенное в утверждении леммы. Упражнение 12.31. Может быть неясно, почему Я(р) ограничивает взаимную информацию Евы с результатами измерений Алисы и Боба. Покажите, что это следует из наихудшего допущения, состоящего в том, что Ева имеет полный контроль над каналом. 12.6. Квантовая криптография 723 (с точностью до несущественного общего фазового множителя). Обычное измерение, которое обнаруживает классическую ошибку, описывается проектоРами Пы = ~Ро~)(Ре~! + ~А~)(Рп! и 1 — Пьь и аналогично измерение, которое описывается проекторами Прг = ййс)(Де(+ )Д~)(~Зп( и 1 — Прп обнаруживает переворачивание фазы. Поскольку оба эти измерения не изменяют базис Белла, данные, полученные в результате этих измерений, можно описывать в терминах классической теории вероятностей.
В самом деле, любые измерения, которые не изменяют базис Белла, можно также описывать классически. Более точно, Алиса и Боб могут ограничить степень совпадения своих ЭПР пар посредством случайной выборки подмножества таких пар. Предположим, что Алиса посылает Бобу половины 2п ЭПР пар. Потом они случайно выбирают из них и пар кубитов и проверяют их, измеряя Пы или Пр~ (также случайно выбранные).
Из классических рассуждений, которые были использованы в тестах случайной выборки в протоколе ВВ84 (упр. 12.27), следует, что если обнаружено бп классических ошибок или переворачиваний фазы, то остальные и ЭПР пар с экспоненциэльной вероятностью будут содержать такое же количество ошибок при измерении в базисе Белла. Состояния Белла нелокальны, и, как правило, измерения в базисе Белла требуют нелокальных операций, которые могут быть трудно реализуемы. Однако, к счастью, без них можно обойтись в данной процедуре, поскольку Пы = (1® 1 — 2 З Я)/2 и Пр~ = (1 ® 1 — Х Э Х)/2.
Таким образом, Алиса и Боб могут провести необходимые проверки с локальными измерениями операторов Паули, измеряя либо Я, либо Х. 'Упражнение 12.32. Отметим, что локальные измерения, которые производят Алиса и Боб, как, например, 1 З Х и Х чс 1, не коммутируют с базисом Велла. Покажите, что, несмотря на это, статистика, которую Алиса и Боб получают из своих измерений, такая же, какую они могли бы получить, измеряя Пы и Прь Модифицированный щюшоксл Ло-Чу Случайная выборка в базисе Белла обеспечивает Алису и Боба ЭПР парами р с степенью совпадения с идеальным состоянием ~Дю)~", и, как отмечалось ранее, это ограничивает взаимную информацию Евы с результатами любых измерений над состоянием р. Однако, чтобы р можно было использовать для генерации ключа, Алиса и Боб должны уменьшать взаимную информацию Евы с их состояниями до экспоненциально малой величины.
Это может быть достигнуто путем применения классического усиления конфиденциальности к результатам измерения Алисы и Боба или, что эквивалентно, Алиса и Боб могут сначала осуществить очищение запутанности, как это делалось в подразд. 12.5.2, чтобы получить р', очень близкое к (фее)н для некоторого тп ( и, а затем измерить конечное состояние. Этот вид «квантового усиления конфиденциальности» будет нам полезен. Приблизительная аргументация такова. Очищение запутанности можно осуществить, выполнив исправление квантовых ошибок. Поскольку р с большой 724 Глава 12. Квантовая теория информации вероятностью должно иметь 6п ошибок, кодирование этих кубитов квантовым кодом, исправляющим 6и ошибок, позволяет исправить эти ошибки. Как мы убедились в подразделах 10.5.5 и 10.5.8, если используется стабилизирующий [и, т]-код, то кодирование, измерение синдрома и исправление ошибок можно осуществить, измерив операторы Паули, определенные строками проверочной матрицы для данного кода.
Алиса и Боб просто выполняют одинаковые измерения и операции восстановления на своих п кубитах †половин р,получая состояние с исправленной ошибкой, степень совпадения с ]До)®"' порядка «единица минус вероятность того, что происходит больше, чем 6п ошибок». При этом оказывается, что измерения синдрома не изменяют базис Белла, так как Алиса и Боб выполняют одинаковые действия. Сочетание случайной выборки и очищения запутанности дает модифицированный протокол Ло-Чу, представленный на рис. 12.14.
Сделаем несколько замечаний по поводу этого протокола. Благодаря случайным преобразованиям Адамара, которые выполняются на этапах 3 и 7 протокола, не имеет значения, в каком базисе, Х или Я, Ева измеряет каждый доступный ей кубит (что приводит к ошибкам Х или л). Эти преобразования определяют, какой из проекторов Пы или Пр«нужно измерять на контрольных кубитах. Процедура этапа 9 может быть выполнена для любого стабилизирующего кода, как в упр.
12.34. Граница Варшамова-1'ильберта для СЯЯ кодов (10.74) показывает, что существуют хорошие квантовые коды для блоков большой длины, так что если выбрать п достаточно большим, то для квантового [п, т]-кода, исправляющего 6п ошибок, критерии надежности будут выполнены. Упражнение 12.33. Пусть (Мм Мю..., М„) — множество наблюдаемых, которые принимают значения Х; при измерении над состоянием р. Докажите, что случайные величины Х; можно описывать в терминах классической теории вероятностей, если [Ми М ] = О, т. е.
если они попарно коммутируют. Упражнение 12.34 (очищение запутанности посредством исправления ошибок) . В подрэзд. 10.5.8 мы показали, что кодовые слова стабилизирующего [и, т]-кода можно получить, измеряя его образующие дм..., д„„, нвд произволен»«и п-кубитовым квантовым состоянием и применяя затем операторы Паули, чтобы получить собственное состояние всех образующих с собственным значением +1. Используя эту идею, покажите, что, если мы начинаем с п ЭПР паР в состоЯнии ]17оо) З" и выполнЯем измеРениЯ одинаковых обРазУющих на двух п-кубитовых половинах этих пар, а затем применяем операторы Паули для исправления разницы в результатах этих измерений, то получаем закодированное состояние фоо) 8 . Покажите также, что если стабилизирующий код исправляет до бп ошибок, то даже когда в п-кубитовой половине допускается 6п ошибок, мы полУчим ]17оо)эь'.
Квантовьий протокол исправления ои«ибоя В модифицированном протоколе Ло — Чу используется исправление квантовых ошибок для выполнения очищения запутанности; этот протокол, по существу, 12.6. Квантовая криптография 725 Модифицированный протокол Ло-Чу 1. Алиса создает 2п ЭПР паР в состоЯнии ~асс)®з". 2. Алиса случайным образом выбирает и из 2п ЭПР пар, чтобы использовать их в качестве контрольных для проверки вмешательства Евы.
Пока Алиса ничего не делает с ними. 3. Алиса выбирает произвольную 2п-битовую строку Ь и применяет преобразование Адамара к второму кубиту каждой пары, для которой Ь = 1. 4. Алиса посылает Бобу второй кубит каждой пары. 5. Боб получает кубиты и публично объявляет об этом. 6. Алиса объявляет Ь и те и кубитов, которые являются контрольными. 7. Боб применяет преобразования Адамара к кубвтам, для которых Ь = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
