Ответы (2) (1156692)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ОТВЕТЫ на вопросы ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МИНИМУМА

по КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ (7 семестр)

1. Принцип неразличимости тождественных частиц. Симметричные и антисимметричные состояния. Обменное расщепление уровней энергии.

В квантовой теории неразличимыми считаются частицы с одинаковыми пространственно-временными и внутренними свойствами, т.е. с одинаковыми массами, спинами и зарядами по отношению ко всем фундаментальным взаимодействиям. Состояния систем таких частиц могут быть идентифицированы только посредством измерений значений наблюдаемых некоторого полного набора (соответствующая ВФ есть общая СФ операторов наблюдаемых). Поскольку при «одинаковости» частиц операторы допустимых наблюдаемых симметричны по отношению к перестановкам операторов координат, импульсов и спинов частиц, то состояния, отличающиеся только перестановкой двух тождественных частиц, отвечают одинаковым значениям всех наблюдаемых. В этом состоит утверждение принципа неразличимости тождественных частиц:

Не существует измерительной процедуры, посредством которой можно было бы различить состояния квантовой системы, различающиеся только перестановкой двух частиц с одинаковыми массами, спинами и зарядами по отношению к фундаментальным взаимодействиям.

Если определить оператор парной перестановки

то следствием тождественности будет требование , из которого следует, что СФ любого полного набора наблюдаемых являются одновременно СФ перестановочного оператора . В частности, для системы двух тождественных частиц СФ должны быть либо симметричны, либо антисимметричны по отношению к перестановке переменных частиц. Такие функции могут быть построены из произведений одночастичных ВФ:

В квантовой теории справедлива теорема о связи спина со статистикой, которая утверждает, что знак «+» (статистика Бозе-Эйнштейна) отвечает частицам с целым спином, а знак «-» (статистика Ферми-Дирака) – с полуцелым. Требование определенной симметрии ВФ приводит к тому, что уровни энергии системы взаимодействующих тождественных частиц зависят от полного спина системы даже в том случае, когда гамильтониан системы не содержит спиновых операторов. Это и называется обменным расщеплением уровней энергии. Например, для двух частиц спина ½ со слабым взаимодействием такая зависимость появляется в первом порядке по взаимодействию:

В общем случае построение ВФ систем тождественных частиц осуществляется с помощью схем Юнга.

1. Приближение самосогласованного поля и принцип Паули. Прямой вариационный метод.

Для системы тождественных частиц при наличии взаимодействия построение ВФ с учетом требования принципа неразличимости удобно осуществлять с помощью схем Юнга, т.е. удобно строить их как произведения одночастичных ВФ. Однако этот метод применим только в том случае, если взаимодействие достаточно слабое, чтобы учитывать его по теории возмущений. В противном случае действенность этого рецепта можно сохранить при использовании приближения самосогласованного поля:

В этом выражении самосогласованный потенциал должен быть выбран так, чтобы остаточное взаимодействие W было малым возмущением гамильтониана в приближении самосогласованного поля Н₀. С физической точки зрения это означает переход от рассмотрения системы взаимодействующих частиц к рассмотрению системы невзаимодействующих частиц в самосогласованном поле. Выбор самосогласованного потенциала следует осуществлять с учетом симметрии гамильтониана системы. Например, в атомной физике самосогласованнное поле должно быть центральным. Тогда одноэлектронные состояния можно нумеровать квантовыми числами n,l,m,m_s (или n,l,j,m_j), причем у двух электронов эти квантовые числа не могут полностью совпадать (принцип Паули). Одним из методов построения самосогласованного поля является прямой вариационный метод, в котором находится из условия минимизации энергии системы в классе нормированных ВФ, составленных из одночастичных ВФ, отвечающих стационарным состояниям в «пробном» поле , зависящем от некоторого вариационного параметра α.

1. Метод Хартри-Фока.

Метод ХФ – разновидность вариационного метода, в котором минимум энергии системы ищется в классе всех ВФ многочастичной квантовой системы, представимых в виде произведений одночастичных ВФ. Поэтому он позволяет найти наилучшее из всех возможных приближений самосогласованного поля. С другой стороны, минимум энергии приходится искать при варьировании вида произвольной нормированной одночастичной ВФ, т.е. решать вариационную задачу на поиск условного экстремума функционала. К тому же при наличии взаимодействия для многочастичной системы функционал энергии нелинеен по одночастичным ВФ, и в общем случае уравнения метода ХФ – это система нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.

Например, в атомной физике в рамках приближения самосогласованного центрального поля «хартри-фоковская» ВФ строится по следующему рецепту:

,

где спиновая часть ВФ строится из произведений одночастичных спиноров по схеме Юнга, отвечающей заданному значению полного спина электронной оболочки (т.е. из двух строк, причем верхняя строка на 2S клеток длиннее нижней), а координатная часть – по сопряженной транспонированной схеме Юнга из ВФ вида

,

в котором R_nl – неизвестные радиальные части одночастичных ВФ. Поэтому ХФ энергия

есть функционал от R_nl. Система уравнений ХФ получается из условия

1. Статистический метод и модель Томаса-Ферми.

Статистический метод исследования многочастичных квантовых систем опирается на предположение о существовании приближения самосогласованного поля, дополненное предположениями о том, что:

а) число частиц в системе очень велико и движение большинства из них квазиклассично;

б) создаваемые системой частиц физические поля можно считать классическими и статическими.

Таким образом, поведение системы моделируется поведением квантового (Бозе- или Ферми-) газа в самосогласованном поле, определяемом из классического статического полевого уравнения. В атомной физике этот метод позволяет построить модель электронной оболочки, называемую моделью Томаса-Ферми. В соответствии со сделанными предположениями, в этой модели потенциал самосогласованного электростатического поля атома и электронная плотность должны определяться из соотношений:

Вне атома (при r>r₀) поле должно быть кулоновским полем, создаваемом полным зарядом атома Z*e, а электронная плотность обращается в ноль.

В рамках этой модели потенциал самосогласованного поля находится в виде:

где функция Томаса-Ферми и радиус атома определяются из решения задачи:

.

Решение, описывающее все нейтральные атомы (Z*=0), отвечает бесконечному радиусу (электронная плотность на больших расстояниях убывает ). Конечному радиусу отвечают решения, описывающие положительно заряженные ионы.

1. Тонкая и сверхтонкая структура атомных уровней. LS- и jj-связь.

Тонкой структурой атомного уровня называют картину расщепления уровней в приближении самосогласованного поля под действием операторов остаточного и спин-орбитального взаимодействий:

.

Поскольку эти операторы обладают разной симметрией и не могут быть в общем случае диагонализованы в одном базисе, а атомные уровни в приближении самосогласованного поля обладают высокой кратностью вырождения, то для расчета поправок удобно (там, где это возможно) применять иерархический подход к учету возмущений. В результате возникают приближения LS- и jj- связи:

.

В первом случае при учете остаточного взаимодействия уровень энергии расщепляется на подуровни, отвечающие отдельным термам (группам состояний с заданными полными L и S), а при последующем подключении спин-орбитального – по значениям J в каждом терме.

Во втором – при подключении спин-орбитального взаимодействия происходит расщепление по группам состояний с определенными значениями одночастичных моментов j, а затем – по значениям J.

Сверхтонким называют расщепление подуровней тонкой структуры, обусловленное высшими мультипольными моментами поля ядра (электрическим квадрупольным, магнитным дипольным). Так как соответствующие слагаемые нарушают сферическую симметрию задачи, то в этом случае действительно происходит дальнейшее расщепление при J≠0.

1. Пространство Фока. Метод вторичного квантования.

Для систем, в которых число частиц не является фиксированным, а должно рассматриваться как одна из динамических переменных, удобно построение квантового описания в терминах вторичного квантования. В этом подходе чистым состояниям квантовой системы соответствуют нормированные на 1 вектора пространства Фока. Последнее определяется следующим образом:

Следует обратить внимание на существование в пространстве Фока вектора, отвечающего состоянию с числом частиц, равным нулю (вакуума), и на возможность задания состояний с неопределенным числом частиц. Пусть - некий базис в Н⁽¹⁾. Тогда состояния многочастичной квантовой системы можно задавать, указывая число частиц в каждом из таких одночастичных состояний (числа заполнения). Вектора состояний с определенными числами заполнения образуют базис в пространстве Фока (базис представления чисел заполнения). Определим в этом базисе операторы рождения и уничтожения частиц в заданных одночастичных состояниях:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)