Ответы (2) (1156692), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Нетрудно заметить, что при таком определении оператор рождения эрмитово сопряжен по отношению к оператору уничтожения, алгебра операторов рождения и уничтожения задается соотношениями

,

а оператор числа частиц имеет вид

.

Все наблюдаемые в методе вторичного квантования можно определить в пространстве Фока, построив их из операторов рождения и уничтожения. Например, наблюдаемые, определенные для заданного числа частиц и имеющие вид суммы слагаемых, зависящих от переменных одной, двух и т.д. частиц

,

будут иметь вид

Наблюдаемые, содержащие слагаемые с разным числом операторов рождения и уничтожения, не коммутируют с оператором числа частиц.

1. Вторично-квантованный гамильтониан системы частиц. Метод квазичастиц.

Гамильтониан системы частиц с парным взаимодействием, записанный через операторы рождения и уничтожения, отвечающие базису из собственных векторов одночастичного гамильтониана, имеет вид:

.

В общем случае исследование спектра такого гамильтониана и динамики системы является сложной задачей. Ее решение можно существенно упростить, если найти такое каноническое (т.е. сохраняющее алгебраические свойства) преобразование операторов рождения и уничтожения

,

чтобы гамильтониан принял вид

(по крайней мере, с точностью до слагаемых, учитываемых по теории возмущений). Новые операторы называют операторами рождения и уничтожения квазичастиц. Видно, что основное состояние системы частиц является вакуумом для квазичастиц, а спектр энергий возбуждения легко определяется по числам заполнения квазичастичных состояний. Соотношение , задающее связь энергии квазичастицы с квантовыми числами, определяющими одноквазичастичное состояние, называют дисперсионным соотношением для квазичастиц.

1. Структура основного состояния бозе- и ферми-газа. Частично-дырочное представление.

В основном состоянии Бозе-газа все частицы находятся в одночастичном состоянии с наинизшей энергией:

.

Для ферми-частиц это запрещено принципом Паули, поэтому в основном состоянии Ферми-газа частицы занимают одночастичные состояния в порядке роста их энергии – от минимальной до энергии Ферми. Положение уровня Ферми определяется таким образом, чтобы число состояний с более низкими энергиями равнялось числу частиц в системе. Для N невзаимодействующих фермионов со спином s в объеме V

.

Поэтому основное состояние

.

Энергия основного состояния Бозе-газа

растет при увеличении числа частиц существенно медленнее, чем у Ферми-газа

.

При описании динамики низковозбужденных состояний Ферми-газа удобно использовать метод квазичастиц. В частично-дырочном представлении квазичастицами считаются частицы над уровнем Ферми и дырки (вакантные состояния) под уровнем Ферми. Например, для частиц со спином ½

Здесь

.

1. Квантование электромагнитного поля. Электромагнитный вакуум.

Квантование полевых теорий, в том числе теории Максвелла, удобно производить в рамках метода вторичного квантования. При этом постулируется возможность описания результатов измерений в рамках представлений о частицах (квантах возбуждения поля – фотонах) и существование электромагнитного вакуума (состояния квантового э/м поля, в котором число фотонов равно нулю). Базисные однофотонные состояния можно нумеровать квантовыми числами, совпадающими по смыслу с характеристиками классических волн – волновым вектором и индексом поляризации:

.

Тогда наблюдаемые, описывающие э/м поле, выражаются через операторы рождения и уничтожения фотонов. Например, векторный потенциал поля в кулоновской калибровке

,

гамильтониан

.

Фотоны – частицы со спином 1 и нулевой массой покоя, и в гамильтониане нет слагаемых, описывающих их непосредственной взаимодействие. Таким образом, свободное квантованное э/м поле – это векторный безмассовый Бозе-газ. Следует обратить внимание, что в гамильтониане содержится слагаемое, отвечающее энергии вакуума, причем при формальном ее вычислении результат получается бесконечно большим, т.е. имеет место расходимость вакуумной энергии. Эта расходимость устраняется из теории посредством перенормировки (например, можно ограничить сумму, вводя обрезание фотонного спектра при некотором значении длины волны, причем предсказания в отношении результатов измерений при «обычных» энергиях не будут зависеть от параметра обрезания , если он будет достаточно мал). Существуют наблюдаемые эффекты, связанные с присутствием в реальных физических системах электромагнитного вакуума. Например, эффект Казимира (притяжение нейтральных проводящих тел, возникающее благодаря уменьшению плотности энергии вакуума между ними за счет подавления части вакуумных мод, экранируемых проводниками) и лэмбовский сдвиг в атомных спектрах (сдвиг подуровней, отвечающих s-состояниям из-за флуктуаций энергии электрона в поле ядра под действием вакуумных мод).

1. Взаимодействие фотонов с заряженными частицами. Вероятность излучения и поглощения фотона. Мультипольное разложение. Е1-излучение.

Оператор взаимодействия квантованного электромагнитного поля с нерелятивистской заряженной частицей (масса т, заряд е):

не коммутирует с оператором числа фотонов, и поэтому при учете такого взаимодействия возможны переходы между состояниями с разными числами фотонов – процессы излучения и поглощения. Вероятность радиационного перехода с рождением фотона с заданными и

.

Здесь - начальное число фотонов (переходы с = 0 называют спонтанными и отличают от индуцированных при ≠ 0), - начальное и конечное состояния заряженной частицы, - элемент телесного угла, в который направлен волновой вектор . Для нерелятивистской частицы экспоненту в этом выражении можно разложить в быстро сходящийся ряд, слагаемые которого соответствуют слагаемым разложения по мультиполям. Например, в Е1-приближении полная интенсивность излучения

.

1. Переходы в дискретном спектре: применимость ТВ, внезапные и резонансные переходы.

В общем случае вероятность перехода из заданного начального состояния дискретного спектра некоторого стационарного гамильтониана в заданное конечное под действием нестационарного возмущения равна квадрату модуля амплитуды перехода. Амплитуды определяются из системы уравнений:

с начальными условиями . Решение этой системы существенно упрощается , если возмущение является малым и в спектре возмущения нет частот, близких к частотам переходов ω_km (отсутствуют резонансы - |ω - ω_km| >~ ω_km). В этом случае можно использовать Теорию Возмущений. В частности, в 1-ом порядке получим для задач о локализованном во времени слабом возмущении :

,

а для задач о включении постоянного слабого возмущения

.

Существенное упрощение вычислений возможно также в задачах о «внезапном» включении постоянного (пусть и не малого) возмущения (время включения ). В этом случае система не успевает за время τ изменить свое состояние, и амплитуды переходов просто равны коэффициентам разложения «старого» стационарного состояния по «новым» стационарным состояниям:

.

При наличии резонанса (одного или нескольких) для достаточно больших (по сравнению с периодом возмущения) времен можно пренебрегать вероятностями нерезонансных переходов по сравнению с резонансными. В этом случае следует решать систему уравнений для амплитуд только резонансных переходов (в этом случае размерность системы невелика, и к тому же в правой части присутствуют слагаемые с сильно различающимися скоростями изменения, так что можно эффективно использовать метод усреднения).

1. Выражение для вероятности перехода в единицу времени в состояния непрерывного спектра под действием периодического возмущения.

Для описания переходов в состояния непрерывного спектра приходится одновременно использовать ТВ и выделение резонансных переходов (это означает, что изучаемый интервал времени считается одновременно достаточно большим для доминирования резонансных переходов над нерезонансными и достаточно малым для того, чтобы полная вероятность перехода была мала). В первом порядке ТВ можно изучать переходы под действием одной из гармоник в спектре возмущения

.

Тогда скорость перехода (вероятность в единицу времени) примерно постоянна и определяется «золотым правилом» теории переходов:

в котором dn_k – число состояний в элементе непрерывного спектра (если СФ нормированы на δ-функцию по квантовому числу k, то dn_k=dk. Условием применимости этого результата является существование требуемого интервала времени:

.

1. Борновский ряд. Дифференциальное сечение рассеяния в первом борновском приближении.

Одним из способов решения задач стационарной теории рассеяния является использование решения уравнения Липпмана-Швингера для оператора рассеяния на энергетической поверхности в форме борновского ряда. При заданном операторе взаимодействия частица-мишень и гамильтониане свободной эволюции (в асимптотических областях, где взаимодействием между частицей и мишенью можно пренебречь)

.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)