Автореферат (1155104), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Впервые выполнен подробный анализ эволюции вселенной,заполненной скалярным полем с полиномиальным потенциалом, при помощи уравнения Абеля первого рода. Выявлена тонкая структура инфляции, а именно, инфляция начинается до того как вселенная входит в режим медленного скатывания, изаканчивается уже после выхода из него.
Доказано, что условие медленного скатывания реализуется в ходе динамики поля естественным образом, если начальное отношение потенциального члена плотности энергии поля к кинетическому неслишком мало. Установлено, что большая часть е-расширений и времени инфляции приходится на фазу медленного скатывания. Аналитически показан переходот режима инфляции к режиму осцилляции поля. Впервые общее решение уравнений Эйнштейна–Фридмана в плоской вселенной, заполненной единственным действительным скалярным полем с положительным и отрицательным экспоненциальными потенциалами, найдено с помощью уравнения Абеля. Выявлены точки,в которых расходится отношение давления к плотности ( w -сингулярность) и/илипроизводная давления по плотности.
Показано, что решение устойчиво относительно малых возмущений метрики и самого поля в этих точках.Продемонстрировано, что получение решений космологических уравнений методом преобразования Дарбу может существенно упростить решение проблемыестественного выхода из инфляционной стадии эволюции Вселенной.
Найденыновые инфляционные потенциалы, обладающие упомянутым свойством. Анализрешений показал, что значение спектрального индекса в период выполнения условия медленного скатывания может приближаться к наблюдаемым значениям.Научная и практическая ценность. Основные результаты диссертации могутиметь значение для изучения космологических моделей, описывающих инфляцию(глава 1). Основное достоинство метода сведения уравнений Эйнштейна–Фридмана к уравнению Абеля 1-го рода, состоит в том, что он облегчает исследованиеинфляционных моделей с единственным скалярным полем и позволяет достаточно просто определить, в частности, будет ли в некоторой модели реализовыватьсяинфляция, при каких условиях, происходит ли выход из инфляции.
Комбинацияметода суперпотенциала и метода U (φ) (глава 2) может быть полезной при поиске аналитических решений космологических уравнений. Наконец, изученная связьмежду уравнением для спектрального индекса спектра возмущений плотности сиерархией уравнений Кортевега–де Фриза и линейным стационарным уравнениемШредингера (глава 3) может быть использована для построения новых инфляционных потенциалов и получения решений космологических уравнений.Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались наМеждународной научной конференции «Фридмановские чтения» (Пермь, 2013), IIРоссийско-Испанском конгрессе по физике ядра и элементарных частиц на любыхрасстояниях и космологии (Санкт-Петербург, 2013), Российской школе «Математи-8ческое и компьютерное моделирование фундаментальных объектов и явлений» иМеждународном семинаре «Нелинейные поля в теории гравитации и космологии»(Казань, 2013).Публикации.
Основное содержание работы изложено в четырех публикациях,список которых приведен в конце автореферата.Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, спискацитируемой литературы (127 наименований) и приложения, содержит 23 рисункаи 16 таблиц. Общий объем диссертации — 152 страницы.9СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВо введении показывается актуальность работы, цели и задачи исследования,основные результаты и положения выносимые на защиту, отражена их научнаяновизна и практическая значимость.Глава 1 посвящена исследованию метода решения уравнений Эйнштейна–Фридмана путем сведения их к уравнению Абеля первого рода и применению методадля анализа космологической инфляции в случае трех полиномиальных потенциалов скалярного поля.В разделе 1.1 главы 1 рассматривается метод суперпотенциала и процедураредукции уравнений Эйнштейна–Фридмана к уравнению Абеля, а также исследование некоторых его свойств.Вводя суперпотенциал как функцию, описывающую зависимость плотностиэнергии поля от самого поля,1W (φ) ≡ ρ(φ) = φ̇2 + V (φ)2и используя подстановку√x = 3 3π/MP φ,χ = V ′ (x)/V (x),(W (x; C) = V (x) 1 +)1,y2 − 1C = constможно показать, что φ(t) и H(φ) удовлетворяют уравнениям динамики действительного скалярного поля в плоской вселенной ФЛРУφ̈ + 3H φ̇ + V ′ (φ) = 0,1H 2 = φ̇2 + V (φ),2где штрих обозначает производную d/dφ , если функция y(x; C) является решение уравнения Абеля первого рода)1(y ′ = − y 2 − 1 (σ − χ ′ y) , σ = ±1,2где штрих обозначает производную d/dx .
При этом знание решения данного уравнения позволяет однозначно определить поведение масштабного фактора и скалярного поля во времени. Его точное решение может быть получено, например, в томслучае, когда потенциал поля имеет вид()−x/32x/3V (x) = A1 ee+ A2 , A1 , A2 = const.Особый интерес представляет потенциал(x),V (x) = sh310поскольку в точке x = 0 ( φ = 0 ), он меняет знак. Оказывается, что в этомслучае существует единственное решение уравнения Абеля, которое в точке x = 0также обращается в ноль, причем для скалярного поля такая точка будет точкоймаксимума.Исследование решений уравнения Абеля y(x) позволяет сделать выводы√ о динамике скалярного поля и масштабного фактора.
В частности, если y ≥ √11 , товыполняется условие медленного скатывания 2 |V (φ)| /φ̈ ≥ 10 , если y > 3 , товселенная расширяется ускоренно. Кроме того, |y| < 1 при V < 0 и |y| > 1 приV > 0 , и при смене знака потенциала решение уравнения Абеля естественнымобразом переходит из одной области значений в другую.Раздел 1.2 посвящен исследованию динамики инфляционной вселенной дляскалярных полей с потенциалами V (φ) = m2 φ2 /2 , V (φ) = λφ4 /4 и V (φ) =m2 φ2 /2 + λφ4 /2 . Такие потенциалы не позволяют получить точное решение соответствующих уравнений Абеля, однако анализ их численных решений показывает,что существует минимальное значение скалярного поля, при котором в ходе динамики вселенной может начаться ее ускоренное расширение.
Для начала же «сильной» инфляции с числом е-расширений не менее 100, произошедших за время порядка 10−35 с , минимальное начальное значение поля составляет φ0 = 4,0−5,3 MP(в зависимости от модели). Также на число е-расширений оказывает влияние начальное соотношение между потенциальным и кинетическим членами плотностиэнергии поля, причем это влияние быстро уменьшается с ростом начального значения поля.Значительная доля времени инфляции (в среднем 80%) и е-расширений (в среднем 98%) приходится на период выполнения условия медленного скатывания, однако инфляция может начинаться до выполнения этого условия и оканчиватьсячерез некоторое время после того, как оно перестало работать.
Впрочем, в ходе «сильной инфляции» условие медленного скатывания возникает естественнымобразом в ходе динамики поля.В разделе 1.3 подводятся итоги главы 1.В главе 2 метод U (φ) в комбинации с методом суперпотенциала дают инойподход к сведению уравнений Эйнштейна–Фридмана к уравнению Абеля первого рода. Далее с использованием уравнения Абеля получаются общие решениядля масштабного фактора и действительного скалярного поля с положительными отрицательным экспоненциальными потенциалами в пространственно-плоскойвселенной.В разделе 2.1 рассматривается метод U (φ) . Скорость изменения скалярногополя при этом определяется как некоторая функция самого поляφ̇ ≡ U (φ).Предполагая, что U (φ) является производной некоторой функции g(φ) по φ , ивыражая суперпотенциал W (φ) , потенциал поля V (φ) и параметр Хаббла H(φ)через g(φ) , а также масштабируя g и φ , подстановкой в уравнения Эйнштейна–11Фридмана в формеH2 =8πρ,3M2Pρ̇ + 3H (ρ + p) = 0,можно вновь свести их к в точности такому же уравнению Абеля первого рода,что и в главе 1.
При этом сохраняются все соотношения между независимой переменной x , решением уравнения Абеля y(x) , скалярным полем φ и скоростьюего изменения φ̇ .Раздел 2.2 посвящен получению и анализу общего решения уравнений Эйнштейна–Фридмана для скалярного поля с экспоненциальным потенциалом посредством уравнения Абеля. Для потенциала видаV (φ) = Vc eκφ/φc ,κ = ±1, Vc , φc = constсоответствующее уравнение Абеля)(1( 2κ )y =− y −1 1− y ,23′где штрих обзначает производную d/dx , может быть решено в элементарныхфункциях. Все его решения в зависимости от начальных условий y(x0 ) = y0 изначения κ разделяются на три класса, а общее решение имеет вид2ς,y(x) = κ + √1 − Ce4κx/3C=e− κ )2 − 4,(y0 − κ )2−4κ x0 /3 (y0ς = ±1.При C = 0 решения постоянны: y = ±1 и y = ±3 . При C < 0 решенияне имеют особенностей и монотонно возрастают или убывают в зависимости отзнаков κ и ς ; при C > 0 каждое решение имеет одну особенность в точке[](y0 − κ )23κxs = x0 +ln,4(y0 − κ )2 − 4в целом же они также монотонно растут или убывают.Решениям уравнения Абеля с C = 0 отвечает частный случай нулевого потенциала поля Vc = 0 .
Соответствующие решения уравнений Эйнштейна–Фридманаописывают замедленно расширяющуюся вселенную с сингулярностью типа «Большой взрыв» в прошлом и без сингулярностей в будущем.При C < 0 и y0 ∈ (−1; 1) космологические решения описывают вначалезамедленно расширяющуюся, а затем ускоренно сжимающуюся вселенную с начальной и конечной сингулярностями. При этом в тот момент времени, когда расширение сменяется сжатием наблюдается w -сингулярность, а также расходитсяпроизводная dp/dρ , однако решение остается устойчивым относительно малыхскалярных возмущений метрики и поля. Если же C < 0 , а y0 ∈ (−3; −1) илиy0 ∈ (1; 3) , то вселенная вначале расширяется замедленно, а затем ускоренно,имеет сингулярность в прошлом и не имеет сингулярностей в будущем.12При C > 0 решение описывает вселенную, расширяющуюся вначале замедленно, а затем ускоренно, имеющую сингулярность в прошлом и не имеющуюсингулярностей в будущем.
В отличие от случаев C ≤ 0 скалярное поле изменяется не монотонно, а имеет один максимум или минимум. В точке максимума(минимума) поля расходится производная dp/dρ , однако решение также устойчиво относительно малых скалярных флуктуаций метрики и поля.В разделе 2.3 подводятся итоги главы 2.Глава 3 посвящена исследованию связи уравнения для спектрального индексаспектра возмущений плотности в приближении медленного скатывания с иерархией уравнений Кортевега–де Фриза и построению новых инфляционных потенциалов и соответствующих им спектральных индексов.В разделе 3.1 приводятся истоки самой идеи связи между двумя указаннымиуравнениями. Дж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
