Автореферат (1155104), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Лидси в работе [19] указывает, что уравнение, связывающеепараметр Хаббла H(φ) и спектральный индекс спектра возмущений плотностиns в приближении медленного скатыванияH ′′H ′28π4− 8 2 = 2 (1 − ns ) ,HHMPгде штрих обзначает производную d/dφ , путем определенных преобразований может приведено к виду( )′ ( )′′′( )′38π−λ2 H 2 + H 2 + 2 H 2 H 2 = 0, λ2 = 2 (1 − ns ) ,H0MPкоторый по форме в точности совпадает с уравнением КдФ3ut + u3x + uux = 0,u0где нижний индекс обозначает частную производную по соответвующей переменной, если положить u(x, t) = H 2 (φ) , φ = x − λ2 t .Связь двух уравнений может быть расширена на всю иерархию уравнений КдФ∂vt −Ln+1 [v] = 0,∂xгде Ln+1 [v] — оператор Ленарда [15].Уравнения иерархии можно представить в виде условия совместности парыЛакса{ψxx = (v − ϑ)ψ,ψt = aψx − bψ,где v = v(x, t) , a = a(x, t) , b = b(x, t) , ϑ = const .

Первое уравнение в пареимеет вид ЛСУШ по переменной x . Это означает, что к нему можно применитьпреобразование Дарбу, а значит, можно конструировать решения всех уравненийиерархии КдФ посредством преобразования Дарбу.В частности, в данном разделе показывается, что солитонные решения всехуравнений из иерархии КдФ также оказываются решениями уравнения, связывающего параметр Хаббла и спектральный индекс в приближении медленного скатывания.13В разделе 3.2 уравнение для спектрального индекса в приближении медленногоскатывания сводится к ЛСУШd2 ψ− 2 + U (x)ψ = −ψdxпосредством подстановкиMPeφ = √ φ,8πe = Hc ψ(φ),eH(φ)Hc = const,e = 2x,φns (x) = −U (x).Далее, применяя преобразование Дарбу, можно строить новые решения ЛСУШ исоответствующие им потенциалы U (φ) , таким образом получая новые выражениядля параметра Хаббла, соответствующего инфляционного потенциала и спектрального индекса.В качестве начальных спектральных индексов выбраны ns = 0 , ns = 1 иns = 1 − µ2 , 0 < µ2 < 1 .

На основе первого из них посредством двукратного преобразования Дарбу получены решения, описывающие вечную инфляцию вовселенной с начальной сингулярностью a → +∞ . Модель Харрисона–Зельдовичас ns = 1 после однократного преобразования Дарбу дает решение, описывающеебесконечную во времени вселенную без сингулярностей, в которой масштабныйфактор вначале монотонно растет, а затем монотонно убывает, причем имеетсяэтап укоренного расширения. В модели с ns = 1 − µ2 , 0 < µ2 < 1 однократноепреобразование Дарбу определяет вселенную, имеющую начальную и конечнуюсингулярности. При этом также наличествует этап ускоренного расширения.

Вовсех указанных случаях в период выполнения приближения медленного скатывания спектральный индекс может принимать значения, укладывающиеся в наблюдаемый диапазон [26].В разделе 3.3 подводятся итоги главы 3.В заключении формулируются главные выводы из работы и перспективы дальнейшего исследования ее тем.14ЗАКЛЮЧЕНИЕОсновные выводы диссертационной работы заключаются в следующем:– уравнения Эйнштейна–Фридмана для пространственно-плоской вселенной Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера, заполненной единственным действительнымскалярным полем φ , могут быть путем несложных математических преобразований сведены к уравнению Абеля первого рода; анализ решений этого уравнения, аналитических или численных, позволяет выявить тонкую структуруинфляции, вызываемой скалярным полем, оценить роль медленного скатывания в ней, а также определить начальные условия, необходимые и достаточныедля ее начала;– исследование инфляции, генерируемой каждым скалярным полем с одним трехполиномиальных потенциалов m2 φ2 /2 , λφ4 /4 , m2 φ2 /2 + λφ4 /4 , показывает, что при «сильной» инфляции условие медленного скатывания возникает вдинамике скалярного поля естественным образом; препятствовать его возникновению может крайняя малость начального соотношения между потенциальным и кинетическим членами плотности энергии поля 2 |V (φ0 )| /φ̇20 ; в частности, для потенциала m2 φ2 /2+λφ/4 и начального значения поля φ0 = 8,05 MPмедленное скатывание не реализуется при 2 |V (φ0 )| /φ̇20 .

10−18 ; более 70%времени инфляции и более 97% числа е-расширений приходится на периодвыполнения условия медленного скатывания, однако инфляции прекращаетсяпозже, чем перестает работать медленное скатывание;– при выборе в потенциалах поля λ = 10−14 и m2 = λM2P минимальные начальные условия, достаточные для начала «сильной» инфляции (число е-расширений ∼ 100 , время ∼ 10−35 с ) — это φ0 = 5,6 MP , φ̇0 = −1,3 · 10−7 M2P вслучае потенциала V (φ) = m2 φ2 /2 , φ0 = 4,0 MP , φ̇0 = 1,8 · 10−8 M2P в случае потенциала V (φ) = λφ4 /4 , φ0 = 5,3 MP , φ̇0 = −1,2 · 10−7 M2P в случаепотенциала V (φ) = m2 φ2 /2 + λφ4 /4 ;– определяющее значение для возникновения инфляции в ходе эволюции вселенной имеет начальное значение скалярного поля и начальное значение соотношения между потенциальным и кинетическим членами его плотности энергии; благоприятными оказываются бо́льшие начальные значение для обеих величин, причем увеличение начального значения поля ослабляет влияние начального соотношения между потенциальным и кинетическим членами плотности энергии;– посредством сведения уравнений Эйнштейна–Фридмана к уравнению Абеляпервого рода получены их общие точные аналитические решения для скалярного поля экспоненциальным потенциалом как в случае положительного, так ив случае отрицательного потенциала; исследовано поведение всех возможныхтипов решений, выделенных в зависимости от знака постоянной интегрирования в соответствующих решениях уравнения Аблея;15– нулевая постоянная интегрирования соответствует двум случаям: один отвечает нулевому потенциалу поля; решение описывает замедленно расширяющуюся вселенную с сингулярностью типа «Большой Взрыв» в прошлом и безсингулярностей в будущем; другой — положительному потенциалу и фиксированному абсолютному значению начальной скорости изменения поля; решение описывает ускоренно расширяющуюся вселенную с сингулярностью типа«Большой Взрыв» в прошлом и без сингулярностей в будущем;– отрицательная постоянная интегрирования в случае также отрицательного потенциала определяет вселенную, вначале замедленно расширяющуюся, а затемускоренно сжимающуюся, с сингулярностями типа «Большой Взрыв» в прошлом и «Большой Хруст» в будущем; в случае положительного потенциала мыимеем вселенную, расширяющуюся вначале замедленно, а затем ускоренно, ссингулярностью типа «Большой Взрыв» в прошлом и без сингулярностей вбудущем;– положительная постоянная интегрирования возможна только в случае положительного потенциала поля; вселенная также расширяется вначале замедленно,а затем ускоренно, обладает сингулярностью типа «Большой Взрыв» в прошлом и не имеет сингулярностей в будущем, однако в отличие от остальныхвариантов скалярное поле изменяется не в диапазоне φ ∈ (−∞; +∞) , а оказывается ограничено сверху или снизу единственным максимумом или минимумом;– для отрицательного потенциала в момент смены расширения вселенной сжатием, а также для положительного потенциала в момент достижения максимумаили минимума скалярного поля производная давления поля по его плотности энергии расходится, что может сказываться на устойчивости флуктуацийметрики и поля; нами показано, что и в том и в другом случае скалярныефлуктуации метрики и поля остаются малыми;– предложен новый способ построения инфляционных потенциалов путем сведения уравнения для спектрального индекса спектра возмущений плотностии параметра Хаббла в приближении медленного скатывания к стационарномулинейному уравнению Шредингера; выбрав исходный спектральный индекс,составив соответствующее уравнение Шредингра и решив его, затем можно спомощью преобразования Дарбу построить новые выражения для спектрального индекса и параметра Хаббла, из которых сразу же находится новый потенциал скалярного поля; масштабный фактор и зависимость скалярного поля отвремени получаются непосредственно интегрированием уравнения Эйнштейна–Фридмана;– в качестве исходных спектральных индексов были выбраны ns = 0 , спектральный индекс спектра Харрисона–Зельдовича ns = 1 и спектральный индекс возмущенного спектра Харрисона–Зельдовича ns = 1 − µ2 , µ = const <1;16– в случае ns = 0 преобразование Дарбу использовано дважды, получены решения, описывающие ускоренно расширяющиеся вселенные с единственнойначальной сингулярностью;– в случае ns = 1 преобразование Дарбу использовано однократно, полученорешение, описывающее вселенную, бесконечную во времени и не имеющуюсингулярностей; при положительный значениях поля масштабный фактор, вначале ускоренно, а затем замедленно, растет, а при отрицательных, вначалеускоренно, а затем замедленно, убывает; таким образом, мы имеем инфляциюс последующим естественным выходом из нее и сменой расширения сжатием;– в случае ns = 1 − µ2 преобразование Дарбу также использовано однократно,получено решение, описывающее вселенную, имеющую сингулярности типа«Большой Взрыв» в прошлом и «Большой Хруст» в будущем; при этом онарасширяется, вначале ускоренно, а затем замедленно, а затем так же сжимается; то есть такой потенциал обеспечивает естественный выход из инфляции;– во всех этих решениях существуют такие временные интервалы, когда одновременно выполняется условие медленного скатывания и спектральный индекс приближается к наблюдаемым значениям.Итак, уравнение Абеля оказывается ценным инструментом для анализа динамики вселенной, заполненной скалярным полем, но также его можно применятьи для построения новых инфляционных потенциалов.

Действительно, задавая решение уравнения Абеля, описывающее вселенную с требуемым поведением, мыполучаем дифференциальное уравнение первого порядка для потенциала скалярного поля. Таким образом, можно без особых затруднений получать потенциалы,при которых происходит естественный выход из инфляции.Методика построения новых потенциалов посредством преобразования Дарбутакже оказывается весьма полезной, поскольку позволяет получить не только сампотенциал, но и соответствующие ему спектральный индекс спектра возмущенийплотности в приближении медленного скатывания и параметр Хаббла, а значит, иотыскать зависимость масштабного фактора и скалярного поля от времени.Очевидно, что обе методики заслуживают дальнейшего рассмотрения и развития.17СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ АВТОРОМ ПО ТЕМЕДИССЕРТАЦИИСтатьи в журналах, включенных в перечень ВАК Министерства образования и науки РФ:1Yaparova, A.V.

Характеристики

Список файлов диссертации