Автореферат (1155095), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Погрешность оптимального восстановления будет значением экстре- мальной задачи Е(12,6(К), К, 0) = 1ПГ е(22.6Д), К~ 8, ф, р: п2 ~,(е))"-~12 ~,(к) а метод Д на котором достигается нижняя грань — оптимальный метод. Пусть й, й~, г;2,..., И„Е Е+, О < Й~ < Й2 < .
< И„, 0 > О. Положим ЛХ = со~Я,1п1/д,.),1 < ~ < п)+ ~(1,11п-'): 1 > О), 6 Рассмотрим задачу оптимального восстановления оператора г;-той разделешюй разности,Ь~,х (Й е Ж+) последовательности х е 12~(К). В качестве метода восстановления рассмотрим всевозможные отображе- где со А обозначает выпуксгую оболочку множества А. Пусть функция 0( ) на промежутке (О, +ес) задана равенством В(к) = игах(х: (к,х) Е М'1, к„, Й„,...
к, — ее точки излома, ггго ЯШ— 2 2 ~(го) = ТЕОРЕМА 3.1. Для любого й > О погрешность оптимального восстановления равна Е(Ь„,(К),К,8) = е ®. (1) Если йг > О, О < й < йг, то лгобой метод является оптимаггь- ным; (2) если й = й...
1 < г < х, то метод р такой, гто является оппгимальным; (3) если и > 2, й Е (йч, йи,,), 1 < г < г — 1, то любой метод вида ДУ) = Д... э у,, + Д,, ж у,, „является, оптимальньглг, где Д,,„Д,. „- последовательности, преобразоваггие Фурье которых 16 удовлеигворяет условиям: (ГД,, )(го) = — о...(аг), являепгся оптимальньгм, (4) если Й > Й,, то метод р такой, что ДУ) = Ь„' "'у... является оггтггмальным. В четвертой главе изучается задача одновременного восстановления производных функций кг-го и к2-го порядков в среднеквадратичной норме по неточно заданным производным пг-го и п2-го порядков и самой функции.
Решение приводится при некоторых условиях на погрешности, с которыми заданы производные и сама функция. Полностью задача решена для случая йг = й, пг = 2й, Й2 = Зй, п2 = 4й, й Е И. Этот случай показался интересен тем, что в задачах восстановления производных при задании погрешности в среднеквадратичной норме не встречался случай, когда более двух множителей Лагранжа отличны от нуля. Рассмотрим соболевское пространство функций Иг~ (К) = ~х( ) е Л~(К): х~' ц(.) — локально абсолютно непрерывна, х~"~( ) Е г 2(К)~, и Е И.
Пусть и» = О, пг, п2, Й~, й2 Е И, О < Йг < пг < йа < п2. Предположим, .что для каждой функции х( ) Е Иг,"'(К) приближенно известны ее 17 производныс п1-го и и2-го порядков и сама функция, то есть известны функции р11(.), р1( ) и у2(.) Е 2 2(К) такие, что ~~х1"')() — у (.)~~т„~н) < о,, ) = 0,1,2. Задача состоит в одновременном оптимальном восстановлении производных >»1-го и >»2-го порядков функции У(.) Е И>2~(К)> О < >»1 < п1 < >»'2 < П2. Любой метод метод (отображение ) 1р: (Ь2(К))а — + (Х2(К))2 объявляется методом восстановления и его погрешность вычисляется по формуле е(И~'" (К), К, о, ~р) = впр ~яви,'(н), уе(ь о>1))' !/хв'> Я вЂ” д б)! о <~1<>> .
7'=0>1,2 ГДЕ Л = (Й1>А,2)> Π— (ОО>О1>О2)> У = (УО()>01(.)>У2())> (р1(У), >2>2(У)). Здесь р = (р1,р2), р>,р2 ) Π— весовые коэффициенты, варьируя которые можно отдавать предпочтение более точному восстановлению производной какого-либо порядка. Погрешностью оптимального восстановления называется величина Е(И2 '(К)> К, о) = 1пГ е(И1 '(К), К, о, ~р). л> (т 1н))'->11~(и))' Методы р> па которых достигается нижняя грань, будем называть оптимальными методами. >> » >> ТЕОРЕМА 4.1.
Если д1 > 62'6е "', погрешность оптимального восстановления равна Ло = Р1 — 1 — — +р2 — 1 —— 18 2Я1(и2 — 1) ~ б 2Я2(тих — 1) Л2 = р1— + Р2 П2 оо П2 А) ЛХетод р = (1о)(У), Д(У)) такой, что его преобразование Фурье. Р;р,(У) = Я)"''(1 — а,,®) Куо®+ Я) '' "а,,(~)Ку2®,з = 1,2, где Л ~2п2 + д (~) )~)л~ Ло + Л2~2"'-' является оптил1альным. Положим о2 о2 ~)) — ЗР1+ Р2 — 01 > ъ'%02> 4~)) д 2д 2И' ' о1 Ъ ~Оо2 Ло= А > ъ~доА, О, Л = р2И' + 2Р1РА 1~Ъ' 02 2дд И' 1 Яо/ А) ~ Р1 + ЗР2; о1 ' Ъ''ооо2, 4~) д ~, д Л2 = Р2д1 2И' ' 01 ~ ~Л002 а 0,,( ) — произвольные функции из Ь (К), удовлетворяющие условию р,~а"' В7® + р,~а" О2(~) < 1, 19 ТЕОРЕМА 4.2.
Пусть й Е И., Й1 = й, п1 — — 2Й, Й2 = ЗЙ, п2 = 4Й. Тогда Ло~г ГР~~ю РР~дг Р~ Р ъ'~ю~ь ~-. ( И24й (Р ) о1 ~ Л0о2. Метод р = (Д(У), Д(У)) такой, ч1по его преобразование Фурье Тг~р,Я = ~ ~а'ЯРу, Я. з = 1,2, где а'( ) — любые функции из Х (К), удовлетворяющие в случае б1 > ~Я~З~ условиям Л вЂ” В,(~)~4" О~',® = (2~)~ ' Ло + Л2~81' а1(~) = О., Л с "~ + 0 ®~~~ Р(~) ( ~)(2Р— 5)й ЛО+ Л24 з=1,2, а д,( ) — произвольные функции из Т (В), удовлетворяющие условию р ~2~у2® р ~6~у2(~) < 1 в случае о1 ( ~/3~3~ условиям Я)2~2а (~) ~ф(2'-1)1 в 1 2 р 2.'~=0 '- + р2 Е,,=0 '- < 1 является оптимальным Автор выражает глубокую благодарность научным руководителям Магарил-Ильяеву Георгию Георгиевичу и Осипенко Константину Юрье- вичу за постоянную поддержку и тлоглезные замечания.
Работы автора по теме диссертации 1 Унучек С. А. " Оптимальное восстановление разделенных разностей по неточно заданной последовательности ", Дифференциальные уравнения,(2015), 51: 7, 951 †9. 2 Упучек С. А. " Оптимальное восстановление оператора разделенной разности по неточно заданным разностям ", Порядковый анализ и смеэ(оные вопросы математического моделирования, Х11 Межд. научная конф., с. Цей, (2015), 110 — 111. 3 Унучек С. А. " О восстановлении оператора разделенной разности по неточно заданному преобразованию Фурье ", Владикавказский мат. экурн., (2015), 17: 3, 84-92.
4 Упучек С. А. " Оптимальное восстановление производной фупк- ции по неточно заданным ллроизводным других порядков и самой функции "., Владикавказский мат. журн., (2016), 18: 3, 60 — 71. 5 Унучек С. А. " Оптимальное восстановление оператора разделенной разности по неточно заданньлм разпостяъл " ., Математический форум (Итоги науки. Юг России), Владикавказ, ЮМИ ВН11 РАН, (2016) 10: 1, 215 — 225.
6 Унучек С. А. " Оптимальное восстановление оператора разделенной разности по двум неточно заданным разностям ", ХП Белорусская Математическая Конференция, Межд. научная конф., Матерллалы конференцлли, Минск, (2016), часть 1, 27 — 28 . 7 Унучек С. А. " Восстановление производной функции по производным других порядков", 1еория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование.
Межд, научная конф., пос. Дивноморское, тезисы докладов Х1П Международной научной конференции, (2016), 78 — 80. 8 Унучск С. А. " Одновременное восстановление операторов разделенной разности неточно заданной последовательности по преобразованию Фурье в среднеквадратичной норме', Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования, Х1Ч Межд. научная конф., с.
Цей, (2017), 82 — 83. 22 Унучек С. А. Восстановление операторов разделенной разности последовательности по неточно заданной информации Аннотация В работе получены оптимальные методы одновременного восстановления преобразования Фурье операторов всех разностей приближенно заданной на отрезке последовательности в среднеквадратичной и рав- номерной нормах на классе последовательностей с ограниченной и-ой разделенной разностью. Исследована задача одновременного восстановления производных функций Йд-го и Й2-го порядков в средпеквадратич- ной норме по неточно заданным производным других порядков и самой функции. 13ппсЬе1с Я. А. ОрГ1гпа1 гесочегу оГ ЖчЫед ЖКегепсея яеппепсе Ггогп Кя 1пассигаСе с1ага АЬяггасг 1п СЬ1я жогж ~е оЫаш орСппа1 шеГ1юс1я Гог я1пш1Фапеопя гесо~егу оГ орега$огя' гопг1ег ГгапяГогтп Гог а11 1Ье ЙГГегепсея оГ 1Ье арргох1ша|е1у фчеп ш1егча1 ярес16ес1 яес1пепсе ш 1Ье гоо1 шеап яс1пагс апс1 пшГопп погшя Гог с1аяя оГ яеопепсея жЫЬ 1пшГес1 иГЬ ЙчЫес1 с11ГГегепсе.
М7е а1яо я1ийес1 ГЬе ргоЫсш оГ я1шп11апсопя гесс~ сгу оГ ЙгГЬ апс1 Й21Ь огс1сг Гппс11оп с1егтагЫся ш гооГ, шеап яс1паге попп Ьаяес1 оп шасспга1е1у фчеп ог1гег оЫегя с1ег1чай~ея апг1 ГЬе Гппсйоп 11яс1Г. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
