Автореферат (1155095), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Осипенко и проф. В. М. Тихомирова; научных семинарах Московского государственного технического университета МИРЭА; научном семинаре «Экстремальные задачи и нелинейный анализ» в РУДН под руководством проф. А.В. Арутюнова, проф. В.
И. Буренкова; научном семинаре кафедры прикладной математики РУДН по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством проф. АЛ. Скубачевского:, научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики РАНХиГС; 64 Научно-технической конференции МИРЭА (МГТУ МИРЭА, май 2015); ХП международной научной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования" (с.
Цей, 12-18 июля 2015 года):, ХП1 международной научной конференции "Теория операторов,комплексный анализ и математическое моделирование" (пос. Дивноморское, 7-14 сентября 2016 года); ХП Белорусской математической конференции (Минск, 2016); Х1Ч международной научной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования" (с. Цей, 3-8 июля 2017 года). Исследование проведено при финансовой поддержке Минобрнауки России, проект М'- 1.962.2017('4.6.
Публикации По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ. Структура диссертации Работа состоит из введения, предварительных сведений, четырех глав и списка литературы. Общий об ьсм диссертации составляет 106 страниц. Список литературы содержит 28 наименований. Содержание работы В диссертации рассматриваются задачи оптимального восстановлс- ния операторов разделенной разности последовательности по неточной информации об этой последовательности. Введение содержит краткий исторический обзор тематики диссертации, формулировки основных ее результатов и комментарии к ним. В разделе Предварительные сведения собраны необходимые для доказательства утверждений диссертации сведения об операторах разделенной разности, свойствах преобразования Фурье, соболевских пространствах функций на К и методах выпуклой оптимизации.
В первой главе рассматриваются две задачи одновременного восста- новления операторов всех разностей последовательности в среднеквадратичной норме на классе последовательностей с ограниченной и-ой раз- деленной разностью. В первой задаче преобразование Фурье последовательности приближенно задано на отрезке. Приведем точную постанов- ку. Пусть 4а(К), 6 > Π— пространство последовательностей х = (хД е~ таких, что ~, [х.
~~ < оо, с нормой ~ЕЕ 1/2 1И!~,,д = Оператор разделенных разностей определяется равенством: Ь~х = Ььх = Ь~х = Л (Ь'„" ' ). (Гх)(ы) = 6~ х,е " Е А2([ — ~г/6, л./6]), а оператора разделенной разности — функция Ж~~х)( )=6,'~„" 'е "' = Жх)(~) ,1ЕЯ (егьа 1)т (ЕЬа х)(ы) = (Гх)(ы). Пусть и Е М. Рассмотрим класс последовательностей и7, = ( е ~2.,(ж): 11ьИ Й,,„~ ~ < Ц Ставится задача одновременного оптимального восстановления операторов всех разностей (Ь~х, Ь~,х, ..., Ь,", х) последовательности х Е И~~ ~, при условии, что ее преобразование Фурье на отрезке [ — о; с], О < о < я/6 нам известно с точностью до 0: Преобразованием Фурье последовательности т = (х~) ек Е 4 а(Х) является функция В качестве методов восстановления рассмотрим вссвозможныс отображения 1Р(Д) (1Р11Д)~ ~021,'Д)~ ° ~ оп — 1(Д))~ 1р1;19): хх2(~ — Р; Р~) — ~ 12 6(К), 1 ( Й ( П вЂ” 1.
Положим (~1; ~2~ ° ° ° ~ ~п — 1) ° Погрешностью метода 1р называется величина е(И12 л, ~~, о, 1р) впр хеИ'2 у, уеь гД вЂ” и;а)) ,'ГХМ вЂ” у(~ ) ~С П х..п«1 Здесь р = 1'р1,р2,..., р,„, 1), р1, ) О, 1 < й < и — 1, — весовые коэффи11иепты, варьируя которые можно отдавать предпочтение более точному восстановлению оператора какой-либо разности. Погрешностью оптимального восстановления называется величина Е(И71„2,. д) = 1пГ е(И7~, 21., О., р). Р'~'2(~ — с~хх3) — х112 6Д)) Метод 1р, на котором достигается нижняя грань, назовем оптимальным методом.
Пусть х -положительный корень уравнения и 1 П 1 1 62 „у 2 ххх =2 ху — ( ) х, У;1 У.=1 1 2, 6хВ, 2 — агсаш Х 77 ( 6 2 ' 6 ТЕОРЕМА 1.1. Пусть и, Е И, О ) О. Тогда -~7(~ 7 2,177 ~ 7 '-~7 ) 2'р1~ф — — +со ", сг(ст, 2.Р— '> Ь~~Е 1(о~((л))у((л))), (лВ Е ( — сг:, о) Все методы Д(у) = ОВ со ф ( — 0-:о) где (лл (= ( — о"7 .о) Л7 ( Л21 ('В) 7 7 о, (о ф ( — о„сг) о(1(со) = а 01( ) для почти всех со 7=. ( — о; о) удовлетворяют условию 77 — 1 77 — 1 2 Р77 (77)Ц(В7(77)('< Л7Л77"(7) Л,В-Л77"'(77) — 2,Р77 (77)), 1=1 1=1 4 с(со) = 2 ЯШ 2 2 х2л ) 6 !о в котором '~'"ф '( -в и,— 1 »,->.
Е Р~~п — (1 — -), и » — » ,'.Ря,-" —, о > о-, о. > о.> л„= и-1 ~;Р1~4' ", 1=! являются оптималы сыми. Затем рассматривается задача одновременного оптимального восстаповления операторов всех разностей (Ь1,х, Ь~!х, ...., .Л„т) последовательности х Е И>2'я, при условии, что последовательность т задана неточно> то есть известна последовательность д >= 72 ~(к) такая, 1то р,(д): г,,„д -+ 12 „® 1 < Ю, <, — 1. Положим '-» ('-"1> '>-~2» >-»и — 1) Погрешностью метода р назовем величину с(И7ь>АА Р) = внр хеИ>~ >„Ус!2 6(Х) >:"-У >и >их~~>! 12!еР = (Р1,Р2,,Р„-!)> Р!- > О, 1 < Й < и — 1, — весовые коэффициенты. //х — д!/р„,д < о, о > О.
В качестве методов восстановления снова рассмотрим всевозможные отображения '> (У) ( > 1(д) > >!22(д) > ' ' ' '. ~>'и — 1(д)) > н Погрешностью оптимального восстановления назовем величину Е(И~2'~, Ь, о) = 1п1 е(И2'ь, Ь, о, (р). (-":(2.й Д) — >((2,6%) Метод (р, на котором достигается нижняя грань, назовем оптимальным методом. ТеОРЕмА 1.2.
Пусть Й, и Е И, 1 < к < и — 1 и 6 ) О. Тогда Х,в ~' ( ~ 1 2. 6 ~ '(-" ~ " ) Г6~" При д < ~ — ) метод Ду) = Ь~~у является оптимальным. При о ) с в все методы (р(,.1д) = Ь~~Г '(ал.((о)г'у((о)), где 2,/ 4 ' 4е1п 2 Л1+ 0~((о) а(„.((о) = Л + Л~~" ((о) тс — 1 и — 1 ~р,ж'( ~(в,( )('< л,Хж"(и~ Х,~-Х~'() — ~р„~"(ш)), 1=1 1=1 в котором и — 1 и — 1 — 2~ ~~ 2" Л,=~М- =~1 — -), Л,=~р,.-д ., 'и и й=л 1=1 являются оптимальными. Во второй главе рассматривается задача, аналогичная тем, которые рассматриваются в первой главе. Разница.
в том, что здесь преобразование Фурье последовательности известно приближенно в равномерной норме. а 0~(.) для почти всех (о удовлетворяют условию 6> А б< Н 12 Снова рассмотрим пространство последовательностей 12 а(Е), 6 > О. Обозначим класс последовательностей И22у~~(Ж) (х Е И~2'у, .
(Гх)() Е Асс(( 7Г/6,7г/Ц)). Пусть для каждой последовательности х Е И/2л (К) приближенно ) известно ее преобразование Фурье на множестве ( — о; о'), о < 7г/6, в метрике Л,( — 0; 0), то есть известна некоторая функция д Е .ь ( — о; о) такая, что ()(Кх)(.) — д(.)()т (-,. ) < а, 0 > О. Задача состоит в оптимальном восстановлении либо самой последова- тельности, либо оператора разделенной разности й — го порядка последовательности х е И~"~, (К). Любое отображение ~(д): Ь,( —; ) -+г2а(К) объявляем методом восстановления и погрешностью этого метода назы- ваем величину апр Ц(Ь~х) — р(д(.)) Ц4„д. хеИ~,„"„(К) 'уеА ( — ст,'о) ~Ие' )() — тЮ ~ ы-, ~~д Нас интересует величина Е(И4'ь (У),~,й = 1п~ е(Ю~, (У),1с,а., й, Ф: А ( — 0-,~) -~1г ь% которая называется погрепгностью оптимального восстановления, и метод р, на котором достигается нижняя грань, называемый оптимальным методом восстановления.
Положим 6ат 2ян 2 2тг гт — решение уравнения ~ Г'(м)й.о = —, ае = тгп(гт, ~т). ТЕОРЕМА 2.1. Погрешность оптимального восстановления равна о'о < тг/6, оа = тг/6., где д2 д2 М)дго + 'оо 1 ~ (~4сбо 2тг оа 6гтО 2яи 2 При ое < тг/6 метод Ду) такой, что где является оптимальным. При гт» — — тг/6 метпод Дд) такой, что является оптимальным.
В третьей главе изучается задача восстановления оператора й-ой разделенной разности последовательности в среднеквадратичной норме по неточно заданным разделенным разностям Йм Й~,... Й,„порядков. Пусть и е М. Предположим, что для каждой последовательности х Е 12д(К) неточно известны разделенные разности й~, Ц,..., й„, порядков (О < й~ < г;2 < ... < й„), то есть известны последовательности д~, д2,..., д„такие, что й, ))Ь„'х — д,()~„,д < 0„~ = 1,...,п. ния Ф (12,ЬД)) ~ 12,6® Погрешностью этого метода называется величина 1!А ч(У)1Ь,д е(12 л(Е), К, 3., х ) = впр хе4 ),(К) Уй12,ь.(~И" ~,ь„'х — у,.~~~ „~я(б„,~'=п...,п где К = (Й~,Й2,...,Й„,),0 = (4,02,...,0,„),У = (д~,д2,...,д„).