Автореферат (1155080), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В силу аксиомы (P 2), любая ИКН согласована со следующимотношением порядка для измеримых функций:f ≺ g ⇔ |f | ≤ |g| ⇒ ρ(f ) ≤ ρ(g).16Во многих случаях ИКН оказываются согласованными с менее жесткими отношениями порядка, например, такими как неравенства для убывающих перестановок или длямаксимальных функций Харди-Литтлвудаf ≺ g ⇔ f ∗ ≤ g∗;f ≺ g ⇔ f ∗∗ ≤ g ∗∗ ;f ≺ g ⇔ M f ≤ M g.Общая теория таких пространств, в которых (квази)норма согласована с введеннымотношением порядка (нормированных решеток) создавалась в исследованиях ряда известных специалистов в нашей стране, связанных со школами Л.
В. Канторовича, М. Г.Крейна, С. Г. Крейна, М. А. Красносельского, таких как Г. П. Акилов, А. В. Бухвалов,Б. З. Вулих, П. П. Забрейко, Г. Я. Лозановский , В. И. Овчинников, А. Г. Пинскер,Е. М. Семенов, А. И. Юдин и др., а также за рубежом, в работах авторов, таких какАмемия, Бирхгоф, Бохнер, Дьедоне, Заанен, Иосида, Люксембург, Л.
Малигранда и др.Развитие теории операторов в нормированных решетках до середины 80-х годов представлено в монографии Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова. Современные достиженияи состояние этой теории отражены в работах А. Г. Кусраева и С. С. Кутателадзе, М.Ф. Сухинина.В теореме 3.1.2 приведена модификация общей теоремы 3.1.1 в случае, когда исходная квазинорма согласована с некоторым отношением порядка. Она дает конструкциюоптимальной оболочки в классе всех ИП, у которых их квазинормы согласованы с этимотношением порядка. Рассмотрены различные отношения порядка и различные конусыфункций со свойствами монотонности. Приведем конкретную реализацию этой теоремы.Пусть T0 ∈ (0, ∞], Y = Y (0, T0 ) есть ИП, порожденное ИКН ρ, причем считаем,что ρ согласована со следующим отношением порядка:для f, g ∈ M + (0, T0 )ZtZtf ≺ g ⇔ f dτ ≤ gdτ, t ∈ (0, T0 ).(9)00Зафиксируем β ∈ (0, 1) и рассмотрим конусZtK0 = h ∈ Y : h ≥ 0; t−1 hdτ ↓,t−β0Zt0hdτ ↑ ,(10)снабженный функционалом ρ :ρK0 (h) = ρ(h), h ∈ K0 .(11)Наша цель - найти оптимальное ИП X0 , порожденное ИКН, которая согласованас отношением порядка (9), для конуса K0 .Рассмотрим оператор A0 : M (0, T0 ) → M + (0, T0 )Zτ −ββ−1(A0 f )(t) = τ(t+τ)|f|dξ, t ∈ (0, T0 )(12)017L∞ (0,T0 )(норма в L∞ (0, T0 ) берется по τ ).
Функция под знаком нормы является непрерывной попеременной τ ∈ (0, T0 ), если f ∈ Lloc1 (0, T0 ) (иначе, норма бесконечна), так чтоZτ(A0 f )(t) = sup τ −β (t + τ )β−1 |f |dξ , t ∈ (0, T0 ).τ ∈(0,T0 )0В этом случае выполняются все условия Теоремы 3.1.2 и основной результат формулируется следующим образом.Теорема 3.2.3.Пусть Y = Y (0, T0 ) есть ИП, порожденное ИКН ρ, которая согласована с отношением порядка (9). Пусть K0 есть конус (10).
Для f ∈ M + (0, T0 ) введем функционалρ0 (f ) = ρ(A0 f ), где A0 f -оператор (12).Тогда, ρ0 есть ИКН, согласованная с отношением порядка (9), а порожденное ею пространствоX0 = X0 (0, T0 ) = {f ∈ M (0, T0 ) : ρ0 (|f |) < ∞}есть ИП, причем X0 ⊂ Y и X0 является оптимальным ИП с нормой, согласованной сотношением порядка (9), для вложения K0 7−→ X среди всех ИП X с ИКН, котораясогласована с отношением порядка (9).Результаты третьей главы опубликованы в [4],[5],[11]-[15].В заключении диссертационной работы приведены основные результаты работы,которые состоят в следующем:1. Для конуса K функций со свойствами монотонности построено ассоциированное кнему обобщенное банахово функциональное пространство (ОБФП) K 0 и доказано,что ассоциированное к нему ОБФП X0 = K 00 является оптимальным ОБФП длявложения K 7→ X.2.
Рассмотрены различные конкретизации общей схемы построения оптимальногоОБФП для разных конусов со свойствами монотонности и получены явные описания оптимальных ОБФП. В рассмотрение включены конусы убывающих неотрицательных функций в весовых пространствах Лебега и пространствах, заданныхс помощью двухвесовых интегральных квазинорм.3.
Развит метод построения квазинормированных идеальных оболочек для конусовнеотрицательных измеримых функций со свойствами монотонности с помощьюнестягивающих операторов.4. Рассмотрены различные конкретизации общего метода нестягивающих операторов и построены в ряде случаев явные конструкции таких операторов и определяемых с их помощью оптимальных квазинорм. В рассмотрение включены различныеконусы убывающих, обобщенно убывающих и двояко монотонных функций.5.
Метод построения идеальных оболочек для конусов реализован также в классахидеальных пространств с введенными в них отношениями порядка. Получены явные конструкции нестягивающих операторов и идеальных оболочек для различных вариантов конусов и отношений порядка.18Автор выражает признательность научному руководителю д. ф.–м. н., проф. М. Л.Гольдману за постановку задач, руководство в подготовке и постоянное внимание кработе.19ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ[1] Бахтигареева Э. Г., Гольдман М. Л., Забрейко П.
П. Оптимальное восстановлениеобобщенного банахова функционального пространства по конусу неотрицательных функций // Вестник ТГУ. 2014. Т. 19, №2. С. 316-330.[2] Bakhtigareeva E. Optimal Banach function space for a cone of decreasing functions ina weighted Lp - space // Eurasian mathematical journal, Vol.6, Num. 1 (2015), 6 - 25.[3] Bakhtigareeva E.G., Goldman M. L. Associate Norms and Optimal Embeddings for aClass of Two-Weight Integral Quasi-Norms// Journal of Mathematical Sciences.
2016,Volume 218, Issue 5, pp 549-571).[4] Гольдман М.Л., Бахтигареева Э.Г. Построение оптимальной оболочки для конуса неотрицательных функций со свойствами монотонности // Труды Математического института им. В.А. Стеклова, т. 293, 2016, с. 43 - 61 (англ. версия: E.G.Bakhtigareeva, M. L. Goldman. // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics,2016, Vol. 293, pp.
37-55. Pleiades Publishing Ltd., 2016).[5] Бахтигареева Э.Г. Построение оптимальных идеальных пространств для конусовнеотрицательных функций // Математические заметки, т. 99, вып. 6, 2016, 820- 831 (англ. версия: E.G. Bakhtigareeva. Construction of Optimal Ideal Spaces forCones of Nonnegative Functions // Mathematical Notes, 2016, Vol. 99, No. 6, pp.810-820).[6] Бахтигареева Э. Г., Гольдман М. Л.
Ассоциированная норма для ОБФП // Тезисыдокладов международной конференции ”Современные методы и проблемы теорииоператоров и гармонического анализа и их приложения-IV”, г. Ростов-на-Дону,2014 г., стр. 12.[7] Бахтигареева Э. Г. Оптимальное ОБФП для конуса убывающих функций // Тезисы докладов международной конференции ”Современные методы и проблемытеории операторов и гармонического анализа и их приложения-IV”, г. Ростов-наДону, 2014 г., стр. 11.[8] Бахтигареева Э.
Г., Гольдман М. Л. Optimal GBFS containing a given quasi-Banachspace // Тезисы докладов международной конференции ” XXV Крымская ОсенняяМатематическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам”,г. Судак, 2014 г., стр. 12-13.[9] Бахтигареева Э. Г. Optimal GBFS for the cone constructed on characteristicfunctions of finite measure sets // Тезисы докладов международной конференции ”20XXV Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным иэволюционным задачам”, г. Судак, 2014 г., стр. 11-12.[10] Бахтигареева Э. Г.
Оптимальное ОБФП, содержащее заданный конус двоякомонотонных функций // Тезисы докладов международной конференции ”Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи иметоды”, г. Москва, 2014г., стр.116.[11] Бахтигареева Э. Г. Минимальное перестановочно-инвариантное пространство, содержащее конус двояко-монотонных функций // Тезисы докладов международной конференции ”Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-V”, г. Ростов-на-Дону, 2015 г., стр. 19 - 20.[12] Бахтигареева Э. Г., Гольдман М. Л.
Оптимальное идеальное пространство, содержащее заданный конус , согласованный с отношением порядка // Тезисы докладовмеждународной конференции ”Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-V”, г. Ростов-на-Дону, 2015 г., стр.20 - 21.[13] Бахтигареева Э. Г. Минимальное идеальное пространство для конуса обобщенно двояко монотонных функций // Тезисы докладов международной конференции ”Функциональные пространства и теория приближения функций”, МИАН, г.Москва, 2015 г.
стр. 89.[14] Бахтигареева Э. Г., Гольдман М. Л. Минимальное идеальное пространство, содержащее конус неотрицательных измеримых функций // Тезисы докладов международной конференции ”Функциональные пространства и теория приближенияфункций”, МИАН, г. Москва, 2015 г. стр. 90.[15] Бахтигареева Э. Г. An optimal ideal space for a cone of generalized doublymonotonic functions. Тезисы докладов международной конференции ”ModernMethods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis VI”, Rostov-on-Don, 2016, pp.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
