Автореферат (1155080), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Дляэтого развивается другой общий метод построения оптимальных оболочек с помощьюспециально подобранных нестягивающих операторов. Рассматриваемая здесь аксиоматика ИП соответствует подходу, развитому С. Г. Крейном, Ю. И. Петуниным и Е. М.Семеновым. При этом мы включаем в рассмотрение квазинормированный случай. В отличие от С. Г. Крейна, Ю. И. Петунина и Е. М. Семенова мы не постулируем полнотупространства, а доказываем ее с использованием свойства Фату. Отметим также, чтоэта аксиоматика обобщает систему аксиом банаховых функциональных пространств К.Беннетта и Р. Шарпли. Термин ”оптимальная оболочка” понимается здесь как минимальное банахово (в общем случае, квазибанахово) ИП, принадлежащее данному классуи содержащее заданный конус.Основные положения, выносимые на защиту.1.

Для конуса K функций со свойствами монотонности построено ассоциированное кнему обобщенное банахово функциональное пространство (ОБФП) K 0 и доказано,что ассоциированное к нему ОБФП X0 = K 00 является оптимальным ОБФП длявложения K 7→ X.2. Рассмотрены различные конкретизации общей схемы построения оптимальногоОБФП для разных конусов со свойствами монотонности и получены явные описания оптимальных ОБФП.

В рассмотрение включены конусы убывающих неотрицательных функций в весовых пространствах Лебега и пространствах, заданныхс помощью двухвесовых интегральных квазинорм.3. Развит метод построения квазинормированных идеальных оболочек для конусов5неотрицательных измеримых функций со свойствами монотонности с помощьюнестягивающих операторов.4. Рассмотрены различные конкретизации общего метода нестягивающих операторов и построены в ряде случаев явные конструкции таких операторов и определяемых с их помощью оптимальных квазинорм. В рассмотрение включены различныеконусы убывающих, обобщенно убывающих и двояко монотонных функций.5. Метод построения идеальных оболочек для конусов реализован также в классахидеальных пространств с введенными в них отношениями порядка.

Получены явные конструкции нестягивающих операторов и идеальных оболочек для различных вариантов конусов и отношений порядка.Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обусловлена строгостью доказательств, применением известных методов исследования. Полученные результаты опубликованы введущих рецензируемых журналах.Основные результаты диссертации докладывались на кафедральном семинаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации Российского университета дружбы народов;на семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениямк задачам математической физики (семинаре Никольского) в Математическом институте им. В.А.

Стеклова Российской академии наук, г. Москва; на международных научныхконференциях ”Современные методы и проблемы теории операторов и гармоническогоанализа и их приложения-IV”, 2014 г., г. Ростов-на-Дону; ” XXV Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам”, г. Судак,2014 г.; ”Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новыезадачи и методы”, 15-18 декабря 2014г., Российский университет дружбы народов, г.Москва; ”Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения-V”, 26 апреля - 1 мая 2015 г., г. Ростов-на-Дону; ”Функциональныепространства и теория приближения функций”, 25–29 мая 2015 г., МИАН, г. Москва;”Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и ихприложения-VI”, 24 - 29 апреля 2016 г., г.

Ростов-на-Дону; ”Modern Methods, Problemsand Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis VII”, г. Ростов-на-Дону, 23 28 апреля 2017.Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано пятнадцать работ [1]-[15]:5 научных статей ( [1], [2], [3], [4], [5]) изданы в журналах, которые входят в международные наукометрические базы, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ: [4] и [5]индексированы в Scopus и WoS; [2] и [3] - в Scopus; [1] рекомендован ВАК МинобрнаукиРФ.10 тезисов докладов международных научных конференций [6]-[15].Из совместных работ в диссертацию вошли результаты, полученные автором самостоятельно.

Работа [1] опубликована в соавторстве с М. Л. Гольдманом и П П. Забрейко.6Работы [3] и [4] опубликованы в соавторстве с М. Л. Гольдманом. В этих работах авторупринадлежат такие результаты: в [1] результаты разделов 3 и 4; в [3] Теоремы 1.2, 1.4,1.6, результаты раздела 2.2; в [4] результаты разделов 3 и 4. М. Л. Гольдману принадлежит постановка задач, указание методов исследования, а также общее руководство.Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав,разбитых на разделы, заключения и списка цитированной литературы. Объем работысоставляет 101 страницу, библиография - 70 источников.КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИВо введении обоснована актуальность темы диссертации, представлена история вопроса, дается короткий обзор диссертации по главам и разделам.В первой главе диссертации изучен вопрос о построении оптимальных банаховых оболочек для конусов неотрицательных функций методом ассоциированной двойственности. Получена теорема, в которой в явном виде описана оптимальная банаховаоболочка для конуса. Также представлена модификация этой теоремы для конуса, заданного интегральным представлением.Для формулировки результатов приведем некоторые необходимые обозначения иопределения. Через (S, Σ, µ) (кратко: (S; µ)) обозначим пространство с σ-алгеброй Σподмножеств множества S и мерой, которую считаем неотрицательной и σ-конечной.Через M = M (S; µ) обозначим множество µ-измеримых функций, далее M0 = M0 (S; µ)есть множество µ-измеримых конечных почти всюду функций,M + (S; µ) = {f ∈ M (S; µ) , f ≥ 0}; M0+ (S; µ) = M0 (S; µ) ∩ M + (S; µ).Определение 1.1.1 Отображение ρ : M + → [0, ∞] есть идеальная квазинорма(кратко: ИКН), если для всех f, g, fn (n ∈ N) из M + выполнены следующие условия:(P 1) ρ(f ) = 0 ⇒ f = 0 µ − почти всюду (кратко: µ − п.в.)ρ(αf ) = αρ(f ),α ≥ 0,ρ(f + g) ≤ C [ρ(f ) + ρ(g)] ,f, g ∈ M + ; C ≥ 1(свойства квазинормы);(P 2) f ≤ gµ − п.в.

⇒ ρ(f ) ≤ ρ(g) (монотонность);(P 3) fn ∈ M + , fn ↑ f ⇒ ρ(fn ) ↑ ρ(f ) (свойство Фату);(P 4) ρ(f ) < ∞ ⇒ f < ∞ µ − п.в.Здесь fn ↑ f означает, что fn ≤ fn+1 ,lim fn = fn→∞7µ − п.в.Определение 1.1.2. Пусть ρ есть ИКН. Множество X = X(ρ) всех функцийиз M, для которых ρ(|f |) < ∞, называется идеальным пространством (кратко: ИП),порожденным ИКН ρ; при этом для f полагаемkf kX = ρ(|f |).В терминологии книги Крейна-Петунина-Семенова это есть идеальное квазибанахово пространство со свойством Фату.

В Теореме 1.1.1 мы доказываем, что пространствоX, порожденное ИКН ρ, удовлетворяющей аксиомам (P 1) − (P 4), обладает свойствомполноты. Понятие ИП шире понятия банахова функционального пространства (кратко:БФП), введенного Беннеттом и Шарпли, а также его обобщения (ОБФП), введенного внашей работе [1]. Обобщенная функциональная норма, порождающая ОБФП, являетсячастным случаем ИКН ( с C = 1 в неравенстве треугольника). Поэтому из Теоремы1.1.1 следует полнота ОБФП X.Теорема 1.1.1 Пусть X есть ИП, порожденное ИКН ρ, и C ≥ 1- постоянная изусловия (P 1). Пусть p ∈ (0, 1] таково, что (2C)p = 2.1.

Тогда, из сходимости ряда∞X! p1kfn kpX<∞n=1дляпричемfn ∈ X, n ∈ N, следует сходимость в X ряда∞Pfn к функции f ∈ X,n=1∞ X 1fn ≤ 2 pn=1X∞X! p1kfn kpXn=1(аналог свойства Рисса-Фишера)2. X есть полное пространство.Замечание 1.1.1. При C = 1 в (P 1), т.е. при p = 1 последняя оценка справедлива1с постоянной 1 вместо 2 p . Это же верно при p ∈ (0, 1), если функционал k·kX обла1дает свойством p-нормы, т.е. kf + gkX ≤ (kf kpX + kgkpX ) p . Например, это неравенствосправедливо при X = Lp (S, µ), 0 < p < 1.В разделе 1.2. представлена аксиоматика обобщенных банаховых функциональныхпространств и приведены их общие свойства.

Введем необходимые определения.Определение 1.2.3. Отображение ρ : M + → [0, ∞] есть обобщенная функциональная норма (кратко: ОФН), если сли для всех f, g, fn (n ∈ N) из M + , всех константa ≥ 0 и всех µ-измеримых подмножеств E ⊂ S выполнены следующие условия:(P̃ 1) ρ(f ) = 0 ⇔ f = 0 µ -п.в.; ρ(αf ) = αρ(f ); ρ(f + g) ≤ ρ(f ) + ρ(g);(P 2) 0 ≤ g ≤ fµ-п.в. ⇒ ρ(g) ≤ ρ(f )(монотонность);8(P 3) 0 ≤ fn ↑ fµ-п.в. ⇒ ρ(fn ) ↑ ρ(f )(свойство Фату);(P 4)0µ(E) < ∞ ⇒ ∃hE ∈ M + , hE > 0 µ-п.в.

на E, такая чтоZf hE dµ ≤ ρ(f ).EЗдесь функция hE зависит от E и ρ, но не отf ∈ M + .(P 5)0µ(E) < ∞ ⇒ ∃fE ∈ M + , fE > 0 µ-п.в. на E; ρ(fE ) < ∞.Определение 1.2.4. Пусть ρ есть ОФН. Множество X = X(ρ) всех функцийиз M, для которых ρ(|f |) < ∞, называется обобщенным банаховым функциональнымпространством (кратко: ОБФП), порожденным ОФН ρ; при этом для f полагаемkf kX = ρ(|f |).Определение 1.2.5 Для ОФН ρ введем ρ0 на M + формулой: для g ∈ M +Z+0f gdµ : f ∈ M , ρ(f ) ≤ 1 .ρ (g) = supSТеорема 1.2.1 Пусть ρ есть ОФН. Тогда ассоциированная норма ρ0 также естьОФН; порожденное ею пространство X 0 = X(ρ0 ) есть ОБФП.Замечание 1.2.4.

ОБФП представляют собой идеальные структуры со свойствомФату ( в терминологии книги С. Г. Крейна, Ю. И. Петунина и Е. М. Семенова). Для нихсправедлив принцип двойственности: (X 0 )0 = X.В разделе 1.3. описан метод ассоциированных норм и приведен его основной результат (Теорема 1.3.1), позволяющий строить оптимальные банаховы оболочки длязаданного конуса неотрицательных функций. Здесь мы пользуемся принципом двойственности. Мы рассматриваем конус K в ОБФП X, поэтому дважды ассоциированноек нему пространство не совпадет с K, а будет его оптимальной банаховой оболочкой.Пусть (S; µ) - пространство с мерой, которую считаем неотрицательной и σ-конечной.Через = (S; µ) = {K = K (S; µ)} обозначим множество конусов, K = K (S; µ) ⊂ M0+ (S; µ),снабженных положительно однородными функционалами ρK : K → [0, ∞) со свойствами:i) h ∈ K,α>0ii) ρK (h) = 0⇒⇒αh ∈ K,ρK (αh) = αρK (h) ;h = 0 почти всюду на S.Рассмотрим проблему построения оптимального (т.е.

минимального) ОБФП X0 ≡ X0 (S; µ)для вложения конуса K ∈ = (S; µ) в ОБФП X ≡ X (S; µ):K 7→ X.9Определение 1.3.1. Вложение K 7→ X означает, что K ⊂ X и существуетпостоянная cK ∈ R+ , такая чтоkhkX 6 cK ρK (h) ,h ∈ K.Определение 1.3.2. ОБФП X0 = X0 (S; µ) называется оптимальным (минимальным) для вложения K 7→ X , если1) K 7→ X0 ;X = X (S; µ) справедливо вложение K 7→ X , то2) если для некоторого ОБФПX0 ⊂ X.Теорема 1.3.1. Пусть K ∈ = (S; µ), причем выполнены условия: для любого подмножества B ⊂ S с µ (B) < ∞, существуют функции fB ∈ M + (S; µ), hB ∈ K, такиечтоfB , hB > 0 µ − п.в. на B; K 7→ L1 (B, fB ), т.е.ZhfB dµ ≤ cB ρK (h), ∀h ∈ K.∃cB ∈ R+ :BТогда, пространствоK 0 ≡ K 0 (S; µ) = {g ∈ M (S; µ) :kgkK 0 < ∞} ,с нормойkgkK 0 = supZ|g|hdµ :h ∈ K,SρK (h) 6 1есть ОБФП, а ассоциированное с ним ОБФП X0 = X0 (S; µ) = [K 0 (S; µ)]0 являетсяоптимальным для вложения K 7→ X .В разделе 1.4.

рассмотрена конкретизация теоремы 1.3.1, когда конус K описывается действием интегрального оператора с неотрицательным ядром на функции изнекоторого конуса E0 неотрицательных функций.Пусть заданы два пространства с мерами (S; µ) , (D; ν) . Меры мы считаем неотрицательными и σ — конечными. Пусть E = E (D; ν) — ОБФП, E0 = E0 (D; ν)— некоторыйконус неотрицательных функций из E = E (D; ν).Далее, пусть ядро Ω (t, τ ) неотрицательно и измеримо на пространстве (S; µ) ×(D; ν).

Характеристики

Список файлов диссертации