Диссертация (1154395), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Принятая заявка занимает это числоприборов на случайное время, распределенное по экспоненциальному закону спараметром  k и также не зависящее ни от длительности обслуживания заявокдругих потоков, ни от процессов поступления, после чего заявка покидаетсистему, освобождая d k приборов. Если на момент поступления заявкидостаточного количества свободных приборов не оказывается, заявка теряется.Интенсивностиинтенсивностями1,..., Kвходящихсоответствующихпотоковпотоковэтоготипазапросовсовпадаютспользователей,ak   k /  k .Положим C   , в этом случае все поступившие в систему заявкипринимаются на обслуживание и потери отсутствуют.

Пусть м.п. {Ym (t ), t  0} ,m  1,..., M , находится в состоянии 1, если в момент времени t  0 в системеобслуживается хотя бы одна (I, m)-заявка, и в состоянии 0 в противном случае.- 75 -Как показано ранее, м.п. {Ym (t ), t  0} является обратимым со стационарнымраспределением m ( ym )  P{Ym (t )  ym } mym, ym {0,1} .1  m(2.32)Введем также м.п., описывающий II-потоки. ПустьN k (t ) – число(II, k)-заявок в системе в момент времени t  0 , k  1,..., K .

М.п. {Nk (t ), t  0}также обратим, а его стационарное распределение имеет видaknk  akpk (nk )  P{N k (t )  nk } e , nk {0,1, 2,...} .nk !(2.33)Рассмотрим многомерный м.п. Z (t )  Y1 (t ),..., YM (t ), N1 (t ),..., N K (t )  , t  0 ,которыйпопостроениюявляетсяо.м.п.намножествеZ  Y  N  {0,1}M {0,1, 2,...}K и имеет распределениеM (z)  G ( Z )1m1Нетрудноmymaknk n ! , z  ( y , n)  Z ,k 1 kKубедиться,что(2.34)нормирующаяконстантаG(Z )равнаK akG ( Z )  ek 1M (1  m ) .m1М.п. {Z (t ), t  0} с пространством состояний Z и распределением (2.34)описывает состояние рассматриваемой системы для случая C   .Обозначим c(z ) число занятых приборов системы в состоянии z  Z изаметим,чтоэтавеличинаMпредставимаприборов,занятыхвсостояниивидеKc(z )  c(y, n)  b(y )  d (n)   bm ym   d k nk , гдеm1вb( y )иd (n)– числоиII-потоковk 1z  ( y , n)заявкамиI-соответственно.

Пусть теперь C   и, следовательно, возможны потери заявок.Будем считать, что потерянные заявки обоих типов не оказывают влияние наинтенсивность соответствующего входящего потока. Тогда функционированиесистемы описывает м.п. {Z (t ), t  0} , являющийся сужением м.п. {Z (t ), t  0} намножествоZ  {z  Z : c(z)  C} .(2.35)- 76 -Как сужение обратимого м.п., он также обратим, и, следовательно, справедливаследующая теорема.Теорема 2.5. Стационарноем.п. {Z (t ), t  0}распределениеимеетмультипликативный видaknk, zZ ,n!k 1 kMK (z)  G 1 ( Z ) mym m1(2.36)гдеG(Z ) Maknk.k 1 nk !K  mym zZ m1(2.37)Для расчета макрохарактеристик отдельного звена с двумя типамисоединений, как и для отдельного звена и для сети в целом в разделе 2.2, можноиспользоватьсоотношениесоответствующего(2.10),подмножествагдеG()функцияпространствазависитсостояний.отТакимихарактеристиками являются вероятности потерь заявок потоков обоих типов,вероятность наличия в системе (I, m)-заявки и вероятность приема наобслуживание (I, m)-заявки при условии отсутствия в системе заявок этогопотока.

Согласно свойству мультивещания условием потери заявки I-потокакроме недостаточного числа свободных приборов является отсутствие в системезаявок этого потока. Введем подмножества пространства состояний, которыепозволят рассчитать эти характеристики.Множество потерь (I, m)-заявок имеет видBmI  {z  Z : c(z)  bm  C, ym  0} .(2.38)Заявки II-потоков теряются в том случае, если в системе недостаточносвободных приборов для их обслуживания. Таким образом,Множество потерь (II, k)-заявок включает состояния системы, в которыхнедостаточно свободных приборов для обслуживания заявки (II, k)- заявки:BkII  {z  Z : c(z)  dk  C} .(2.39)Множество состояний, в которых в системе обслуживается хотя бы одна(I, m)-заявка, имеет видFm  z  Z : ym  1 .(2.40)Множество состояний, в которых в системе нет (I, m)-заявок, но ресурсовхватает для приема (I, m)-заявки на обслуживание:- 77 -Hm  z  Z : c(z)  bm  C, ym  0 .(2.41)Как и для модели сети произвольной топологии, для рассматриваемоймодели верны соотношение (2.42) и утверждения леммы 2.3 и следствия из нее:BmI  Fm  H m  1 .(2.42)Лемма 2.3.

Вероятности Fm и H m связаны следующим соотношением:Fm  m H m , m  1,..., M .(2.43)Следствие 2.2. Для любого m  1,..., M верно соотношениеFm m1  BmI .1  m(2.44)Для случаев, когда в систему поступают заявки только одного типа,эффективные вычислительные алгоритмы для расчета распределения (2.36) инам уже известны.

Так, если M  0 , то для вычисления P(n) можноиспользовать алгоритм Кауфмана – Робертса, если же K  0 , то P(n) и PM (n)можно найти с помощью алгоритма, полученного автором и представленного вразделе 2.2. Для вычисления P(n) в общем случае ( M  0 , K  0 ) естественновоспользоваться сочетанием этих двух алгоритмов на основе соотношенияnZ ( n)  Y (i)  C (n  i) ,n  0,..., C ,i 0где Y (n)  y  Y : b(y)  n , C (n)  n  N : d (n)  n .Нетруднопоказать,чтодлялюбыхмножествYиNG      G    G    . Тогда в вероятностной форме для n  0,..., C получимP ( n) nG  Z ( n)  G 1  Z   G  Y (i)  G  C (n  i )  .GZ i 0АналогичноеZm (n) ni 0соотношение Ym (i)  C ( n  i) ,имеетn  0,..., C ,(2.45)местодляPm (n) :гдеYm (n)  y  Y : b(y)  n, ym  0 , n  0,..., C , или в вероятностной форме дляm  1,..., M и n  0,..., CPm (n) G  Zm (n) GZ n G 1  Z   G  Ym (i)  G  C (n  i)  .i 0(2.46)- 78 -Лемма 2.4.

Значение функции f m (i, n) , удовлетворяющей для любого n  0,..., CсоотношениямG  Z (n)   f0 (M , n) ,G  Zm (n)   f m (M , n), m  1,..., M ,вычисляется по формуле0, i  0,..., M , n  0;h(n), i  0, n  0,..., C;f m (i, n)   f m (i  1, n)  (1   im ) i f m (i  1, n  bi ),i  1,..., M , n  0,..., C(2.47)где  ij – символ Кронекера, а функция h(n) имеет следующий вид:0, n  0;1, n  0;h( n)   K 1 d a h(n  d ), n  1,..., C. kkk n k 1Доказательство леммы приведено в [91].Следующие формулы определяют для отдельного звена сети с двумятипами соединений метод расчета вероятностных характеристик.Нормирующая константа (2.37) вычисляется по формулеCG ( Z )   f 0 ( M , n) .(2.48)n 0Вероятность потери (I, m)-заявки вычисляется по формулеCBmI n C bm 1Cf m ( M , n) f 0 ( M , n), m  1,..., M .(2.49)n 0Вероятность потери (II, k)-заявки вычисляется по формулеCBkIIn C  dk 1Cf 0 ( M , n) f 0 ( M , n), k  1,..., K .(2.50)n 0Алгоритм свертки для эрланговской модели мультивещанияВыше в данной главе, а также в главе 1, рассматривалась модельмультивещания с дисциплиной «прозрачного» обслуживания П1 , где периодзанятости прибора начинается в момент поступления в пустую систему первойиз заявок, а заканчивается в момент окончания ее обслуживания, когда вместе с- 79 -нею систему одновременно покидают все заявки, поступившие за время ееобслуживания, незамедлительно освобождая занятые ресурсы.

Введем еще однудисциплину П2 , при которой заявки, обсуживаясь одновременно на одномприборе, покидают систему независимо друг от друга. Такую модельмультивещания будем называть эрланговской, поскольку распределение числазаявок в соответствующей СМО Mm M m 1 0 с «прозрачными» заявкамиимеет вид: k22p0   e m , pk   m e m , k  1 .k!(2.51)Длительность обслуживания каждой заявки при дисциплину П2 также имеетэкспоненциальное распределение с тем же, что и при дисциплине П1параметромmps  0 .

Эта дисциплина описывает сценарий подключенияпользователей к просмотру канала вещательного телевидения. Как и в главе 1,м.п. X mps (t ) описывает поведение (m, p, s)-пути на множестве0,1 .Длявведенных обозначений справедлива [91] следующая теорема, обобщающаятеорему 1.1.Теорема 2.6.Стационарноераспределением.п. X mps (t ), t  0имеетмультипликативный видxmps (x)   (0)      mps, xX ,sS pPs mMsгде    0  1  xXsS pPs mMs mps ,mps mps,  mps  xempsдля дисциплины П1 , 1, для дисциплины П2 .Далее в этом разделе на основании работ [106, 146] получен алгоритмсвертки для модели сети с двумя типами соединений для случая эрланговскоймодели мультивещания, поскольку для модели с «прозрачным» обслуживаниемэтот результат был получен в работах других авторов [93].

Как и ранее,функционированиемоделизвенасетиописываетсям.п. Z (t )  Y1 (t ),..., YM (t ), N1 (t ),..., N K (t )  , t  0 , который является о.м.п. намножестве Z  {z  Z : c(z)  C} , и, как следует из [106], имеет распределение- 80 -M (z)  G 1 ( Z ) e m  1m1aknk n ! , z  ( y , n)  Z ,k 1 kym KM(2.52)где нормирующая константа равна G( Z )    e m  1zZ m1aknkn !.k 1 kym KОтметим, что в [106] доказана нечувствительность вероятностногораспределения состояний услуг мультивещания от закона распределениядлительности их обслуживания.

В [106, 146] для двух разных моделейповедения пользователей услуг мультивещания были предложены рекурсивныеалгоритмы для расчета основных вероятностных характеристик системы. Вданном разделе, в отличие от [106], предложен алгоритм, снижающийвычислительнуюсложностьрасчетовпривычислениивероятностейблокировок.Введемследующиеобозначения,необходимыедляразработкирекурсивного алгоритма: f  c, m  – с точностью до константы вероятность того, что услугами (1,…, m )мультивещания и одноадресными соединениями занято c единиц емкостизвена;f  c, M   f  c  ;f  m  c  – с точностью до константы вероятность того, что услугамимультивещания и одноадресными соединениями занято c единиц емкостизвена и m -услуга отключена.В [106] показано, что нормирующая константа G( Z ) и вероятностиIIIблокировок многоадресных Bm и одноадресных Bk соединений определеныформуламиCG  Z    f c ,(2.53)c 0BmI  G 1  Z Cc C bm 1BkII  G 1  Z Cf  m  c  , mM ,(2.54)f c , k  K ,(2.55)c C dk 1а функции f  c, m  и f  m  c  вычисляются рекурсивно:- 81 0,1,f  c, m    1 K c  ak d k f  c  d k , 0 , k 1 f  c, m  1  m f  c  bm , m  1 ,c  0,c  0,m  0,1,m  0,1,c  1,, C , m  0,c  1,, C , m  1,,M ,,M ,(2.56),M ,c0,0,f  m  c   1,c 0,, f  c    f  c  b  , c  1, , C ,m mm(2.57)где m  e m  1 .Формулы (2.53) – (2.57) задают эффективный рекурсивный алгоритм длярасчета вероятностных характеристик для модели мультисервисной сети содноадресными и многоадресными соединениями.2.4.Модель обслуживания трафика межмашинных взаимодействийв сети LTEВ данном разделе диссертации проводится построение математическоймодели соты сети LTE, где радиоресурсы для обслуживания запросов M2Mустройств выделяются последовательно диапазонами фиксированного размера.Перед тем как перейти к построению математической модели, сделаем рядупрощающихпредположенийотносительнофункционированиярассматриваемой соты сети LTE.

Как отмечено в разделе 1.1 диссертации, блокиM2M-данных имеют крайне малый размер и поступают от большого количестваразличных технологических устройств [156, 166, 258]. В этой связи нецелесообразно для передачи данных от одного M2M-устройства выделять одинресурсный блок, который используется в качестве минимального ресурсногоэлемента, выделяемого планировщиком базовой станции eNB.

Характеристики

Список файлов диссертации