Чекмарев А.А. - Инженерная графика. Машиностроительное черчение (2014) (1152764), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Это положение доказано теоремой К. Польке. Рассмотрим некоторые из них.Коэффициенты искажения. На рис. 6.2 изображена пространственная система ортогональных координат Ox, Oy, Oz, единичныеотрезки е на осях координат и их проекция в направлении s на некоторую плоскость π, являющуюся аксонометрической плоскостьюпроекций. Проекции ех, еу, ez отрезка е на соответствующих аксонометрических осях 0°x°, O°y°, O°z° в общем случае не равны отрезку е и не равны между собой. Отрезки еx, еу, ez являются единицами измерения по аксонометрическим осям — аксонометрическими единицами (аксонометрическими масштабами).Рис. 6.212Отношенияeyeex= k;= m; z = neeeназывают коэффициентами искажения по аксонометрическимосям.В частном случае положение картинной плоскости можно выбрать таким, что аксонометрические единицы — отрезки ех, еу,ez — будут все равны между собой или будет равна между собойпара этих отрезков.При ех = еу = ez (k = т = п) аксонометрическую проекцию называют изометрической; искажения по всем осям в ней одинаковы.При равенстве аксонометрических единиц по двум осям, обычнопри ех = ez ≠ еу (k = п ≠ т), имеем диметрическую проекцию.
Еслиех = ey ≠ еz, то проекцию называют триметрической.Картинная плоскость πна рис. 6.3 изображена так, что она пересекает все три координатные оси Oх, Oy, Oz в точках х, у, z соответственно. Рассмотрим прямоугольную аксонометрию. В этомслучае отрезок OO° перпендикулярен плоскости π. Отрезки О°х,О°у, O°z являются аксонометрическими проекциями отрезков Ох,Oу, Oz и представляют собой катеты прямоугольных треугольниковгипотенузы которых — отрезки Ox, Oy, Oz.
Обозначим углы междуосями координат и их проекциями на плоскости π через α, β, γ.ТогдаO° xO° yO° z= cos α;= cos β;= cos γ .OxOyOzРис. 6.312Эти отношения являются коэффициентами искажения, т.е.k = cos α; m = cos β; n = cos γ .Известно, что для отрезка OO° ⊥π сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:πππcos 2 ( - α) + cos 2 ( - β) + cos 2 ( - γ ) = 1.222Отсюдаsin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1или1 - cos 2 α + 1 - cos 2 β + 1 - cos 2 γ = 1.Тогдаcos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 2илиk2 + m2 + n2 = 2,т.е.
сумма квадратов коэффициентов искажения равна 2.6.2.изомЕтричЕскаяПроЕкцияВ изометрической проекции все коэффициенты равны между собой:k = m = n;тогда3k2 = 2,откудаk = 2 / 3 ≈ 0, 82.Следовательно, при построении изометрической проекции размеры предмета, откладываемые по аксонометрическим осям, умножают на 0,82. Такой перерасчет размеров неудобен. Поэтомуизометрическую проекцию для упрощения, как правило, выполняют без уменьшения размеров (искажения) по осям х, y, z,т.е. принимают приведенный коэффициент искажения равным12единице.
Получаемое при этом изображение предмета в изометрической проекции имеет несколько большие размеры, чем в действительности. Увеличение в этом случае составляет 22% (выражается числом 1,22 = 1 : 0,82).Каждый отрезок, направленный по осям х, у, z или параллельноим, сохраняет свою величину.Расположение осей изометрической проекции показано нарис. 6.4. На рис. 6.5 и 6.6 показаны ортогональные (а) и изометрические (б) проекции точки A и отрезка АВ.Рис.
6.4Рис. 6.5Рис. 6.6Шестигранная призма в изометрии. Построение шестиграннойпризмы по данному чертежу в системе ортогональных проекций(слева на рис. 6.7) приведено на рис. 6.7. На изометрической оси zоткладывают высоту H, проводят линии, параллельные осям х и у.Отмечают на линии, параллельной оси х, положение точек 1 и 4.Для построения точки 2 определяют координаты этой точки начертеже — х2 и у2 и, откладывая эти координаты на аксонометрическом изображении, строят точку 2. Таким же образом строятточки 3, 5 и 6.Построенные точки верхнего основания соединяют между собой, проводят ребро из точки 1 до пересечения с осью х, затем —12Рис. 6.7ребра из точек 2, 3, 6. Ребра нижнего основания проводят параллельно ребрам верхнего.
Построение точки А, расположенной набоковой грани, по координатам хА (или у А) и z A очевидно изрис. 6.7.Изометрия окружности. Окружности в изометрии изображаютсяв виде эллипсов (рис. 6.8) с указанием величин осей эллипсов дляприведенных коэффициентов искажения, равных единице.Большая ось эллипсов расположена под углом 90° для эллипсов,лежащих в плоскости xOz к оси y, в плоскости yOz к оси x, в плоскости xOy к оси z.Рис.
6.810При построении изометрического изображения от руки (какрисунка) эллипс выполняют по восьми точкам. Например, по точкам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 (см. рис. 6.8). Точки 1, 2, 3 и 4 находят насоответствующих аксонометрических осях, а точки 5, 6, 7 и 8 строят по величинам соответствующих большой и малой осей элипса.При вычерчивании эллипсы в изометрической проекции можнозаменять овалами и строить их следующим образом1.
Построениепоказано на рис. 6.8 на примере эллипса, лежащего в плоскостиxOz. Из точки 1 как из центра, делают засечку радиусом R = D напродолжении малой оси эллипса в точке О1 (строят также аналогичным образом и симметричную ей точку, которая на чертеже непоказана). Из точки O1 как из центра проводят дугу CGC радиуса D,которая является одной из дуг, составляющих контур эллипса.
Източки О2 как из центра проводят дугу радиуса O2G дo пересеченияс большой осью эллипса в точках О3. Проводя через точки О1, O3прямую, находят в пересечении с дугой CGC точку K, которая определяет O3K — величину радиуса замыкающей дуги овала. Точки Kявляются также точками сопряжения дуг, составляющих овал.Изометрия цилиндра.
Изометрическое изображение цилиндраопределяется изометрическими изображениями окружностей егооснования. Построение в изометрии цилиндра высотой Н по ортогональному чертежу (рис. 6.9, слева) и точки С на его боковойповерхности показано на рис. 6.9, справа.Рис. 6.91Предложено Ю.Б. Ивановым.11Пример построения в изометрической проекции круглого фланца с четырьмя цилиндрическими отверстиями и одним треугольным приведен на рис.
6.10. При построении осей цилиндрическихотверстий, а также ребер треугольного отверстия использованы ихкоординаты, например координаты x0 и y0.Рис. 6.106.3.димЕтричЕскаяПроЕкцияКоэффициенты искажения в диметрической проекции выбирают следующими:1k = n; m = k.2Тогда12k 2 + k 2 = 2; k = 8 / 9 ≈ 0, 94; m ≈ 0, 47.4В целях упрощения построений, как и в изометрических проекциях, коэффициент искажения по осям х и z принимают равным единице; по оси у коэффициент искажения равен 0,5.
По осямх и z или параллельно им все размеры откладывают в натуральнуювеличину, по оси у размеры уменьшают вдвое.Увеличение в этом случае составляет 6% (выражается числом1,06 = 1 : 0,94).12Расположение осей в диметрической проекции показано нарис. 6.11. С достаточной для практических целей точностью оси хи у строят по тангенсам углов:17tg7°10 ′ ≈ ; tg42°25′ ≈ .88Продолжение оси у за центр О является биссектрисой угла xOz,что также может быть использовано для построения оси у.Рис. 6.11Диметрия окружности. Изображение окружности в диметриидано на рис. 6.12. Там же указаны соответствующие значения осейэллипсов для приведенных коэффициентов искажения, равных единице.Рис. 6.1216.4.аксономЕтричЕскоЕизображЕниЕсФЕрыисПособВПисыВаниясФЕричЕскихПоВЕрхностЕйВ прямоугольной аксонометрии поверхность сферы проецируется на аксонометрическую плоскость проекций в виде круга.Это позволяет использовать сферу для построения аксонометрических проекций тех фигур, в которые могут быть вписаны сферические поверхности.
Так, например, аксонометрия поверхностивращения в этом случае может быть построена как огибающаясфер, вписанных в эту поверхность.6.5.кабинЕтнаяПроЕкцияКосоугольная фронтальная диметрическая проекция, известная как кабинетная проекция, широко используется в учебномпроцессе. Положение аксонометрических осей для нее приведенона рисунке 6.13.
Допускается применять фронтальные диметрические проекции с углом наклона оси у 30° и 60°. Коэффициентискажения по оси у равен 0,5, по осям х и z — единице.Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальнойплоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в окружность. Окружности, лежащие в плоскостях,параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций,— в эллипсы (рис. 6.14). Большая ось эллипсов 2 и 3 равна 1,07,малая ось — 0,33 диаметра окружности. Пример косоугольной фронтальной диметрической проекции детали приведен на рис. 6.15.Рис. 6.13Рис.
6.14Рис. 6.1516.6.ПостроЕниЕаксономЕтричЕскихизображЕнийдЕталЕйПоложение предмета в изометрической и диметрическойпроекциях выбирают в зависимости от его форм и соотношенияразмеров. Так, детали, имеющие продолговатую (удлиненную)форму, выполняют обычно в диметрии. При этом наибольший размер располагают вдоль осей х или z, по которым размеры не уменьшаются. В диметрии также предпочтительно выполнять детали,поверхности которых ограничены горизонтально-проецирующимиили фронтально-проецирующими плоскостями, расположеннымипод углом 45° к плоскостям π2 и π1 соответственно, так как этиплоскости в изометрической проекции изображаются в виде вертикальных прямых.Внутренние формы деталей в аксонометрических проекцияхвыявляют «вырезом» передней части детали.Рациональная последовательность построения аксонометрической проекции по имеющемуся эскизу или чертежу (например,рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
