Диссертация (1152184), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Этим самым взаимное влияние измененийпараметров в контуре управления учитывается само собой, при грамотномприменении метода нет необходимости в дополнительной коррекции.Для задачи оптимальной стабилизации Н.Н. Красовский на основе синтезаметода динамического программирования и метода функций Ляпунова доказалтеорему об оптимальной стабилизации (теорема IV, [51], с. 485-488), согласнокоторой функция Ляпунова ° = ′, решающая задачу об асимптотическойустойчивостидолжнаудовлетворятьуравнениюБеллманаизметодадинамического программирования (это уравнение следует называть уравнениемЛяпунова-Беллмана). Как отмечено Летовым А.М. ([54], с.
140), на связь функцийЛяпунова с природой оптимальных систем Красовский Н.Н. обратил его вниманиев частной беседе с ним в 1960 году после первых работ Летова А.М. поаналитическому конструированию регуляторов. Эту же связь Красовский Н.Н. ещеранее отметил в своих работах [49,46]. Р. Калман обратил на это вниманиепозже [120].Простейшим случаем асимптотической устойчивости является устойчивостьпо первому приближению. В таких случаях, как известно, действительные частивсех корней характеристического уравнения системы первого приближениядолжныбытьотрицательны.Длярешениязадачистабилизациидоасимптотической в силу первого приближения устойчивости, Н.Н. Красовский на106основе своей теоремы об оптимальной стабилизации разработал практическийспособ определения линейного стабилизирующего воздействияПрименяя этот метод к рассматриваемой системе и выделяя из уравнения (6)первое приближение, получим̇ = + + (2) (, )(7)где (2) (x, u) – нелинейные члены, а матрицы коэффициентов линейных членов Aи B соответственно равны = � � = �� ; , = ������1, 15(8)0����� = ‖ ‖ = �� ; = 1, , = ������1, 10 0(9)В результате анализа взаимного влияния параметров в описаниях патентов,изучения математических моделей автономных подсистем [79] и консультаций сведущим технологом были определены следующие структуры матриц:11⎛ 210⎜⎜ 41⎜ 0⎜ 61⎜ 71А=⎜ 0⎜ 0⎜ 0⎜⎜ 0⎜12 1⎜ 00⎝ 0122200000000012 2000132333430630000012 3000140044546400000000011⎛ 21⎜ 31⎜ 0⎜ 0⎜ 0⎜ 0В=⎜ 0⎜0⎜⎜0⎜0⎜0⎜ 00⎝ 000005565000000014 515 500042000000000000000066000000014 6000005363730000000000005707700000014 70000000084010 4000000000000889810 8000000000000095000000000000009900000000000000010 60000000000000000000008 11010 1111 11000010 1000000000000000011 70000000000000011 8000000000079000000000000000000012 1213 120000000000000013 1314 130000000000000014 14000000000000000⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟15 15 ⎠0000000⎞⎟⎟⎟⎟⎟8 10 ⎟⎟9 10⎟10 10 ⎟11 10 ⎟0 ⎟0 ⎟00 ⎠Необходимые для компьютерного моделирования численные значениякомпонент матриц первого приближения были получены с учетом коэффициентов107передаточных функций соответствующих устройств при их автономной работе иэкспертных оценок технологов ООО «РИФ», для существующей на предприятииустановки для горячего копчения рыбы.−0,9−1,2⎛0⎜0,59⎜0⎜1,48⎜⎜ 1,27А=⎜ 0⎜ 0⎜ 0⎜ 0⎜ 1,34⎜ 00⎝ 0−1,49−0,80000000001,62000−1,46−1,65−2,50,5301,35000001,260001,3400−1,51,041,710000000000000−0,91,2900000001,251,461,72,4⎛4,1⎜0⎜⎜0⎜0⎜0В=⎜ 0⎜0⎜0⎜0⎜0⎜00⎝000000−0,7500000001,700000−1,460−50000001,3400000003,0 00 3,10 3,40 5,0000000000000000000000006,005,700000000000005,80000000000000−1,10,80,95000000000000001,10000000000000−1,100000000000000003,20000000000000−1,50000000000000003,400000000001,10000000000000000,8600,98−5000000⎞0⎟0⎟0⎟0⎟0⎟1,1⎟1,1⎟1,3⎟5,0⎟0⎟0⎟00⎠00000000000−0,831,2000000000000000,761,200000000000000−0,8000⎞0⎟0⎟0⎟0 ⎟0 ⎟0 ⎟0 ⎟0 ⎟0 ⎟0 ⎟0 ⎟0−0,9⎠(10)(11)Далее для однозначного определения коэффициентов стабилизирующегоуправления вводим критерий качества∞ = � [ ′ + ′] → 0(12)Как известно, целесообразность выбора критерия качества в таком видеопределяется тем, что интеграл∞ 15�� (13)0 ,=1известным образом характеризует качество переходного процесса, оцениваямалость величин (), а интеграл∞ 10�� 0 ,=1(14)не только оценивает затраты ресурсов на формирование управления, но и, вотличие от более, казалось бы, подходящего для этой цели интеграла108∞ 10� � | |(15)0 =1где – весовые коэффициенты, позволяет не только оценить с несущественнымиотличиями затраты ресурсов, но и найти оптимальное управление в замкнутойформе и простое по своей структуре.Неаналитичность подынтегральной функции в интеграле (15), во-первых,приводит к трудоемким вычислениям, а во-вторых, структура алгоритмауправления очень сложна и технически трудно осуществима.
Поэтому критерийкачества взят в виде суммы (13) и (14).Причем, согласно методу функций Ляпунова, в случае асимптотическойустойчивости по первому приближению и функция Ляпунова, и подынтегральнаяфункция должны быть знакоопределенными квадратичными формами. В общемслучаеqиr–определенно-положительныесимметричныематрицысоответствующих размерностей. Для простоты можно брать в качестве q и rединичные матрицы. Изменяя значения компонент этих матриц, можносущественноменятьзначимостьвкладаповедениятогоилииноготехнологического параметра во время переходного процесса на общее значениекритерия качества. Например, на первой стадии технологического процесса, приподсушке рыбы, температура воздуха является более значимым параметром, чемвлажность. Задача∞̇ = + ; = ∫ [ ′ + ′] → 0называется линейно-квадратичной задачей стабилизации, поскольку функцияЛяпунова ° = ′ , подынтегральная функция – квадратичные формы, аасимптотическая устойчивость определяется по линейному приближению.Из теоремы Красовского Н.
Н. об оптимальной стабилизации следует, чтовыражениеƁ[°, , , ] =на оптимальном управлении+ ѡ(16)109Ɓ [V°, u°[t], t , x°[t]] = 0(17)а для любого другого стабилизирующего управленияƁ[°, , , ] =+ ѡ ≥0Следовательно, Ɓ, как функция управления на u° достигает минимума – отсюдаКрасовский Н.Н.
предложил следующий практический способ решения линейноквадратичной задачи:1.Ɓ= 0 следовательно u° – оптимальное линейное управление, выраженноечерез частные производные0и матрицы A, B, q, r, имеет вид1015=1=1∆1 0= − ��2∆ (18)∆ – алгебраическое дополнение элемента k-й строки и j-ого столбцаматрицы r, а определитель1121∆= � ⋮10 112 ⋯22 ⋯⋮10 2 ⋯1 102 10⋮ �10 102.
Ɓ[°, [], , []]=0 ≡ 0 – квадратичная форма, которая получается из Ɓпри подстановке оптимального управления (18), в силу (17) должнаобращаться в 0 для любого x, откуда все коэффициенты квадратичной формыдолжны обращаться в 0.3. Отсюда для определения матрицы коэффициентов функции ЛяпуноваV° = x' Cx получается матричное уравнение Ляпунова-Беллмана-Риккати′ + ′ − −1 ′ + = 0(19)Достаточным условием однозначной разрешимости этого уравнения в задачестабилизации заданного режима работы линии горячего копчения рыбы являетсявыполнение условия управляемости = [ 2 … 14 ] = 15(20)110Для нашей системы матрица W имеет размерность 15×150 и для выполненияусловия (20) среди этих 150 столбцов достаточно выделить 15 линейнонезависимых.
Отметим, что в нашей задаче это условие выполнено.Метод однозначного определения коэффициентов стабилизирующегоуправлениярешениемлинейно-квадратичнойзадачинастолькоширокоприменяется в инженерной практике, что в пакете прикладных программ длярешения задач технических вычислений MatLab имеется соответствующийпрограммный модуль [x,l,g] = care (a,b,q,r), который вычисляет единственноеопределенно-положительное решение C алгебраического уравнения Риккати.Рассмотримприменениеэтогомодулякразрабатываемойсистемеуправления процессом горячего копчения рыбы. В качестве матриц a и b берутсяматрицы соответственно (10), (11). Матрицы q и r – единичные матрицыразмерности 15×15 и 10×10 (как уже отмечалось, в общем случае это могут бытьлюбые положительно определенные симметричные матрицы).Подставляя эти параметры в модуль care, получим в качестве решенияалгебраического уравнения Риккати матрицу коэффициентов оптимальнойфункции Ляпунова K (21).
Очевидно, что для найденной матрицы условиясимметричности и определенной положительности выполняются.2.4256 −1.8781 0.22880.6595 −0.3408 0.08850.15440.00000.0000 −0.0000 0.00000.62580.99340.0662 −0.1363⎛−1.8781 3.2697 −0.7919 −0.5591 0.3182 −0.1213 −0.1134 0.0000 0.0000 −0.0000 −0.0000 1.0635 1.3690 −0.0104 0.1398 ⎞⎜⎟⎜ 0.2288 −0.7919 0.4424 0.0892 −0.0322 0.0592 0.0024 −0.0000 −0.0000 0.0000 0.0000 −0.3222 −0.3811 0.0042 −0.0284⎟⎜ 0.6595 −0.5591 0.0892⎜⎜−0.3408 0.3182 −0.0322⎜ 0.0885 −0.1213 0.0592⎜⎜ 0.1544 −0.1134 0.0024⎜ = ⎜ 0.0000 0.0000 −0.0000⎜ 0.0000 0.0000 −0.0000⎜⎜ −0.0000 −0.0000 0.0000⎜⎜ 0.0000 −0.0000 0.0000⎜ 0.6258 1.0635 −0.3222⎜⎜ 0.9934 1.3690 −0.3811⎜0.0662 −0.0104 0.00420.0183 −0.0135⎟⎟−0.0073 0.6276 −0.1006 −0.1787 0.0000 0.0000 −0.0000 −0.0000 0.0855 0.1225 0.0461 0.2808 ⎟0.0650 −0.1006 0.3177 0.0152 −0.0000 −0.0000 0.0000 0.0000 −0.1346 −0.1471 0.0699 −0.0990⎟⎟0.0024 −0.1787 0.0152 0.1544 −0.0000 −0.0000 0.0000 0.0000 0.0121 0.0439 0.0463 −0.0817⎟⎟0.0000 0.0000 −0.0000 −0.0000 0.1862 0.0102 −0.0816 0.0020 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 ⎟0.0000 0.0000 −0.0000 −0.0000 0.0102 0.1410 −0.0055 −0.0040 0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000 ⎟⎟−0.0000 −0.0000 0.0000 0.0000 −0.0816 −0.0055 0.1903 0.0038 −0.0000 −0.0000 0.0000 −0.0000⎟⎟0.0000 −0.0000 0.0000 0.0000 0.0020 −0.0040 0.0038 0.0746 0.0000 0.0000 0.0000 −0.0000⎟0.0941 0.0855 −0.1346 0.0121 0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000 2.3324 3.4323 0.0837 0.0599 ⎟⎟0.1560 0.1225 −0.1471 0.0439 0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000 3.4323 6.7426 0.2602 0.0380 ⎟⎟0.0183 0.0461 0.0699 0.0463 0.0000 −0.0000 0.0000 0.0000 0.0837 0.2602 0.3806 −0.04030.4258 −0.0073 0.06500.00240.0000⎝−0.1363 0.1398 −0.0284 −0.0135 0.2808 −0.0990 −0.0817 0.00000.0000 −0.0000 0.00000.09410.0000 −0.0000 −0.0000 0.05990.1560(21)0.0380 −0.0403 0.5414 ⎠Кроме матрицы (21) модуль care также формирует матрицу коэффициентовусиления G (22) – коэффициентов линейного оптимального в смысле критерия (12)стабилизирующего воздействия.1110.55421.9786⎛0.0164⎜⎜−0.00000.0000 = ⎜⎜−0.0000⎜ 0.0000⎜ 0.00000.1698⎝ 0.00001.4078−1.67730.0069−0.00000.0000−0.0000−0.0000−0.0000−0.1248−0.00000.30220.26750.11380.0000−0.00000.00000.00000.00000.00270.00000.14491.27750.21050.00000.0000−0.00000.00000.00000.00260.00000.0523−0.02200.70990.00000.0000−0.0000−0.0000−0.0000−0.1966−0.00000.10220.19510.84400.0000−0.00000.00000.00000.00000.01670.00000.00030.00720.2698−0.0000−0.00000.00000.00000.00000.1699−0.00000.00000.0000−0.00000.65240.0592−0.08970.00640.0068−0.00000.12000.00000.00000.00000.03010.8180−0.0060−0.0128−0.0136−0.00000.1393−0.0000−0.0000−0.00000.5956−0.03170.20940.01210.01280.00000.17060.00000.00000.00000.0335−0.02320.00420.23880.25380.00000.37592.29530.2822−0.1321−0.00000.0000−0.00000.00000.00000.01340.00003.41200.46810.0991−0.00000.0000−0.00000.00000.00000.0483−0.00000.10480.05480.61190.0000−0.00000.00000.00000.00000.05090.0000−0.0125−0.0406⎞0.1252⎟−0.0000⎟0.0000 ⎟−0.0000⎟−0.0000⎟−0.0000⎟−0.0899−0.0000⎠(22)Вектор собственных значений замкнутой управлением = системыприведен в таблице 6.Таблица 6 – Корни характеристического уравнения, полученные в MatLab-7.7287 + 0.0000i-4.8328 + 0.0000i-4.1805 + 0.0000i-2.9091 + 0.9958i-2.9091 - 0.9958i-2.0950 + 0.0000i-1.4856 + 0.0000i-1.3369 + 0.0000i-0.9449 + 0.3193i-0.9449 - 0.3193i-0.7506 + 0.0000i-8.5016 + 0.5904i-8.5016 - 0.5904i-6.0107 + 0.0000i-1.9834 + 0.0000iДействительные части всех корней характеристического уравнения, как идолжно быть, отрицательны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
