Меркулов В.И., Дрогалин В.В. Авиационные системы радиоуправления. Том 3 (2004) (1151999), страница 52
Текст из файла (страница 52)
$-+Ф Смысл ограничений (27.3), (27.4) заключается в следующем. При нахождении объекта управления на некоторой гиперповерхности г,(х,у,1)=0 он будет находиться на ней при любом 1>Г«. С другой стороны, если в начальный момент обьект расположен либо «ниже», либо «выше» гиперповерхности, т е. р,(х,у, 1) а О, то за счет и(1) объект асимптотически будет к ней стремиться.
Следует заметить, что закон стремления функции Р,() к нулю определяется условиями самой задачи, например, требованиями апериодического харакгера изменения ошибки, либо условиями физической реализуемости управления в(1). Решение задачи. Рассмотрим случай„когда система является нелинейной по уравнению х(1) = р~(х)+ грг(х, и), (27.5) где ф~(х), ~рз(х,п) — известные векгорозначные функции. Функционал качества (27.2) запишем в интеграпьной форме ц 1= )Ф,(х,у,п)ц1, (27.б) ц в которой Ф,(х,у,в) — неотрицательная функция.
Не нарушая общность рассуждений, выберем ограничения (27.3) в виде разности между вектором у и соответствующими компонентами вектора х(1) [84] я,(х,у )=(х„, — у, х„з — у з ... х„„-у ~'. (27.7) Заметим, что в (27.7) индексы и, у компонентов вектора х(г) удовлетворяютусловиям 0<п„<п, пап» еслирй. 262 Предположим, что любая из управляемых координат хкь 1= 1,ш связана с соответствующим управлением о„1= 1,т г-мерным дифференциальным уравнением, где г=пlш. Тогда ограничение (27.4) может быть представлено в виде векторного линейного дифференциального уравнения порядка г (27.8) где Л), 1=0,(г-1) — любые матрицы размерности шкш, обеспечивающие устойчивость решения (27.8).
Задачу поиска оптимального управления будем решать в два этапа. На первом этапе синтезируется управление в виде параметрической функции векторов х(1) и у (Г) в предположении, что матрица параметров Р=[Ло Л, Л, ... Лг,)' известна точно. Второй этап связан с параметрической оптимизацией управления в(у,х,р) исходя из минимума функционала (27.6). Первый этан. Учитывая вид объекта управления (27.5), ограничение (27.8) можно записать в виде 1841 г Вг+Лг 1))г 1+...+Л101+Ло$т((гуж)= Х)г), (279) где 1), =1,(Р,(*,у )); 1)з ж1е(14(Р,(х у )))=1в(1) )' 1зг =14(1а(1а-(14(Рг(х Уж))-)))=16(1гг-1)г 1г — оператор дифференцирования, определяемый соотношениями 14(Ф,(х,у ))= ' * = — 'Ь(х,()+грз(х,и)), дР,(х,у.) дР, 14(1) ) = — '~ — (р (*,1)+ЧЛ*,н))+ — (р (, )+р (*,и))+ шгг дгр< дгрг з(*,и).1 дх дя дх ди 71 = Л Уж, ) = 1, г, пРичем Л, = Е . ()) Разрешая (27.9) относительно неизвестного вектора п(1) и его производных, получаем п ' ' (1)+В, зв ' (1)+...+Во!рз(х,в)=г)(х,у ), (27.10) х(1) = ср, (х)+ С (х)в(1), то уравнение (27.11) преобразуется к виду (27.12) — Сг(х)в(1) = ЛоВ(х у ) (!рв(х) — уа(1)1 (27 13) дР дР дР Матрица — С (х) имеет свой полный ранг, так как система (27.!2) дх является управляемой, следовательно, матрица Я(х) = С'(х~ — ~ — С(х), ! дВ11 дВ дх дх представляющая собой матрицу Грама, имеет обратную матрицу.
где: Вл ) = 1,(г — 2) — матрицы порядка тхш, полученные из (27.9); Ве — матрица порядка шхш; п(х,у ) — вектор размерности ш. Матрицы В„и вектор п(х,у ) получены приведением подобных членов при преобразовании (27.9). Уравнение (27.10) представляет собой векторное нелинейное дифференциальное уравнение порядка г относительно искомого управления а(1). Если вектор ~рз(х,в) линейный по управлению, то уравнение (27.10) можно записать в виде системы Коши в(1) = Вв(1)+ С,,г((х,у ), (27.11) где В(1) = ~г~ (1) п~(1) ... и,',(1)~ — вектор размерности шхгх1, первые т компонент которого и представляют искомый вектор уравнения и(1)=а,(1);  — матрица, имеющая форму матрицы Фробениуса, причем ненулевые элементы последних ш — строк составлены из матриц В;; ф— матрица; г((х,у ) — правая часть исходного вектора управления.
Заметим, что для некоторого класса задач функцию р(х,у ) можно выбрать так, что аналитическая связь между регулируемой координатой и управлением обеспечивается уже при решении уравнения й(х,у )+Лай(х,у )=О. Если управление в(1) входит линейно в правую часть уравнения состояния, т. е.
Тогда уравнение (27.13) можно разрешить относительно искомого управления н(!)=(2 (х)С'(х~ — ~ ~-Ар(х,у )- — [гр,(х)-у ] . (27.14) х(1) = Ахх(!)+ Ьу ., (27.15) где Аь — матрица Фробениуса, у которой элементы последней строки определяются параметрами 3~,) = О,п -1; Ь вЂ” вектор-столбец, все элементы которого равны нулю, кроме последнего. Решение (27.15) можно записать в виде и1!( !.11,! х, = ~ ч ~1с)1 ! е ' +со), )=!1=! (27.1б) где 11 — величина кратности )-го корня, 1с, — корни характеристического уравнения и-ой степени. Заметим, что величины 1; удовлетворяют условию ~,!! = п, В общем случае коэффициенты сь 1с; — функции параметр! ров Хт, р = О, и -1 и начальных условий. При определении параметров Хт подставим решение (27.16) в (27.6).
В этом случае функциональное уравнение преобразуется в параметрическое, оптимизация которого не представляет трудности. Неизвестные коэффициенты находятся из решения системы нелинейных уравнений — =О, )=012,... Л(2.) дХ) 266 Управление (27.11) является функцией неизвестных Л, )' = О,г-2, которые определяются в результате оптимизации функционала качества (27.2). Следует заметить, что оно определяет только структуру закона управления. Получение конкретных значений сигналов управления (27.11), (27.14) осуществляется на втором этапе, на котором решается задача параметрической оптимизации. Второй этол.
Не нарушая общности рассуждений, рассмотрим систему, у которой управляемая выходная координата определяется только одним управлением. Другими словами, рассматривается система, число степеней которой совпадает с числом управляемых координат. Тогда произвольную выходную координату х(!) при условии, что у =сопя!, можно описать линейным дифференциальным уравнением вида В вычислительном плане реализация закона управления нелинейными системами сушественно проще, чем, например, для метода динамического программирования. Основным достоинством метода обратных задач динамики является то, что управление в(1) можно получить в виде явной функции, зависящей и от вектора состояния х(1) и от параметров системы.
Если управление ц(1) представляет собой векторную функцию, то его оптимальное значение в общем случае определяется решением уравнения (27.11). 27.2. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТА Синтез управлении на основе концепции обратных задач динамики базируется на том, что обьекг управления описывается системой обыкновенных дифференциальных управлений. Задача уклонения от УСП предопределяет необходимость выполнения самолетом достаточно энергичных маневров в процессе полета. Это обстоятельство диктуег потребность, вопервых, достаточно полного описания движения самолета, во-вторых, учета реальных ограничений на фазовые координаты и управление.
Кроме того, специфика режимов уклонения предопределяет необходимость использования модели силовой установки самолета и наводимой ракеты. В дальнейшем считается, что самолет представляет собой твердое тело, а ракета алпроксимируется некоторой передаточной функцией. 27.2.1 МОДель кннемАтнческОГО звенА «сАмОлет-РАкетА» При определении матема- Е> тической модели движения сися, ч, ч, темы самолет-ракета принимают следующие допущения: маневры уклонения совершаются в горияь зонтальной плоскости; масса самолета изменяется в зависимости только от режима работы 'Р двигателя; управление ЛА осу- ществляется через угол крена Ч, Р, Ч, самолета и тягу силовой уста- новки или ручку управления а х двигателем.
Рис. 27.1 Геометрия взаимного по- ложения самолета и ракеты, определяющего связь их координат абсолютного и относительного движения, показана на рис. 27.1. Тогда в замкнутом виде уравнения движения самолета и ракеты определяются следующей системой 266 Чс соз(ер з)/с ) Чр сОБ(ер т)l р ) Ч, = )(пас - езп О,), Ч =Я(пхр-Я1НО ), Йр —— шр гор = ~-2ДОэр + ~Чр з1п(6 — ~7р)- Чр з)п)6 — зрр)] + + ~Ч, соя (е — у,)ф, — Ч сов (е — рр„)ф „] )Д (27.17) 'рс Ц п„,япу,, Ч, сояО, Я фр =- пурв)пу, Ч сояО Ф, =оз,-Ф„ Рр= р-Фр, где Ч„Ч, — скорости полета самолета и ракеты.
Соответственно; Чр„црр — путевые углы самолета и ракеты; п„„п, — продольные перегрузки, действующие на самолет и ракету; у„ур — углы крена самолета и ракеты; ер — угол линии визирования «самолет-ракета»; срр — угловая скорость линии визирования; Д вЂ” относительная дальность; п=9,81 мlс* — ускорение свободного падения. Отметим, что вектор состояния системы (27.17) может быть полностью измерен либо восстановлен. Действительно, если измеряются Д, Д, рр, н рр„то угол визирования е, может быть вычислен по результатам косвенных измерений. Кроме того, считаем, что координаты движениа самолета Ч„ЧР„п„„У„бР, — измеРЯютсЯ, а Ракеты Ч, чРр, и, Ур— восстанавливаются (оцениваются). 27.2.2.
МОДель силовой Ус"ГАИОВки В задачах уклонения самолета от УСП возникает необходимость управления скоростью полета в широком диапазоне ее изменения. При решении задачи управления скоростью полета уже недостаточно иметь модели силовой установки в виде (15.1) из-за приближенного представления ей динамических и статических характеристик. Модель (15.1) адекватно отражает реальные свойства объекта в достаточно малом диапазоне изменения тяги силовой установки. Одним из основных тре- 267 бований, предъявляемых к моделям силовой установки, является точное описание взаимосвязи тяги и положения ручки управления Ь, (дроссельных характеристик) н динамических характеристик.
Для задач динамики полета, сопровождающихся интенсивнь>м изменением скорости„в качестве модели силовой установки используют соотношение[85[ Рд 1<1) = а 1<[<6, (1) Рд (1))+ Ь1<[<Ь (1) Рд (1)) (27 1 8) где Р, — эффективная тяга, полностью используемая для создания ускорения самолета; 1<=1<(Н,М,Ь,) — коэффициент усиления, зависящий от высоты Н, числа М полета и положения ручки управления двигателем Ь,; а, Ь вЂ” коэффициенты, значения которых отражают динамические свойства объекта. Уравнение (27.18) имеет смысл только при выполнении условия [ Ьт Рд — Рдтдх Рд«г где Р, — тяга полетного малого газа; Р— максимальное значение тяги двигателя.
Ошибки в определении тяти на динамических режимах определяются точностью представлений коэффициентов а(Н,М) и Ь(Н,М), а на статических режимах — коэффициентом 1<=1<(Н,М,Ь,). 27.2.3. МОДЕЛЬ СОСТОЯНИЯ РАКЕТЫ <<ВОЗДУХ-ВОЗДУХ>> Ниже будет рассмотрена упрощенная модель ракеты «в-в», адаптированная под решение задач уклонения самолета от управляемых средств поражения. Для наведения ракет «в-в» чаще всего используют разновидности метода пропорционального наведения [46). Достоинствами МПН, предопределяющими его широкое использование, являются всеракурсность н всевысотность применения, а также практически прямолинейная траектория наведения [46). При использовании классической разновидности этого метода параметр рассогласования для одной плоскости управления формируется по правилу (7.32) <з=)Т )Р =)~ОЧсбо>Р )Р ~ в котором:);)р — соответственно требуемое и фактическое поперечное ускорение в плоскости управления; 1>1» — навигационный параметр; Ч,«в скорость сближения ракеты с целью; е>р — угловая скорость линии визирования цели в плоскости управления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
