Раздел №11.4. Алгоритмы некогерентной первичной обработки (1151972), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для синтеза комплексного алгоритма ССЗ/ЧАПдостаточно задать следующий вектор состоянияλ    ,Tв котором связь компонент следующая:      ,    .При синтезе дискриминатора в таком алгоритме возникнет следующийвекторный дискриминатор, содержащий ДЗО и ЧД:u  uu0 .TДополнения к разделу 11Дополнение 11.1.

Анализ воздействия динамической составляющейна характеристики следящих системКак правило, различные следящие системы (ФАП, ЧАП, ССЗ)ориентированы (синтезируются) на динамику рывка в виде модели БГШ илигауссовского экспоненциально-коррелированного процесса. Однако напрактике движение объектов, как правило, носит несколько иной характер.Например, рывок во многих случаях можно описать в виде импульсаопределенной длительности (линейное нарастание или убывание ускоренияпри разгоне и торможении). Другими словами, реальные траектории могутзаметно отличаться от моделей, заложенных при синтезе следящих систем.Поэтому возникает задача анализа воздействия динамики, которая лучшеописывает движение реальных объектов (самолетов, ракет, автомобилей ит.д.), на характеристики (в первую очередь ПУ) следящих систем (вчастности ФАП, как наиболее слабого с точки зрения ПУ, звена).Анализ во временной областиЗапишем уравнения квазиоптимальой фильтрации алгоритма ФАП внепрерывном времени:dλˆ A  λˆ  K  D ,dt(Д.11.1)где λ      – вектор состояния;T0 1 0 A  0 0 1  – матрица перехода в непрерывном времени;0 0 0 K   KФАП;KK T– вектор коэффициентов усиления в схемеD    ˆ   n – сигнал дискриминатора (наблюдение) по фазе;n – эквивалентный шум наблюдения по фазе (БГШ).Если ввести вектор ошибок ε  λ  λˆ , то сигнал дискриминатораможно записать как:D    ˆ   n  H  ε  n ,(Д.11.1)где матрица H  1 0 0 .Пусть на схему ФАП поступает воздействие вида:dλ in A  λ in  g λ  t  ,dtгдеgλ t (Д.11.3)– векторная функция, описывающая динамическоевозмущение, действующее на схему слежения.Например, при синтезе алгоритма ФАП часто полагают, чтодинамическое возмущение описывается рывком в виде БГШ (ускорениезадается моделью винероского процесса): 0 gλ t    0  , n  t  n  t  – БГШ.(Д.11.4)Выше отмечалось, что во многих случаях динамическое возмущениеможно описать рывком в виде прямоугольного импульса: 0  J in , t   0, t J gλ t    0  , J t   .tt0,J J  t  (Д.1.5)Найдем уравнение, описывающее поведение ошибки ε  λ  λˆ .

Дляэтого вычтем из уравнения (Д.11.3) уравнение (Д.11.1):dλ in dλˆ A  λ in  A  λˆ  g λ  t   K  D dtdtdε A  ε  K  H  ε  K  n  g λ .dt(Д.11.6)Разделим далее полную ошибку на динамическую и флуктуационную(шумовую) составляющие:ε  λ  λˆ  ε d  ε n .Тогда уравнение (Д.3.28) запишется как:dε d dε n  A  K  H    ε d  ε n   K  n  g λ .dtdt(Д.11.7)В уравнении (Д.11.7) можно четко выделить два возмущения: шумовоеK  n (обусловленное наблюдением) и динамическое g λ  t  (обусловленноедвижением приемника).

Исходя из этого можно утверждать, что указанныесоставляющие(динамическаяишумовая)ошибкиописываютсяуравнениями:dε d  A  K  H  εd  gλ ,dt(Д.11.8)dε n  A  K  H   ε n  K  n .dt(Д.11.9)Полученные уравнения (Д.11.8) и (Д.11.9) позволяют проводитьраздельный анализ воздействия динамических возмущений и шумовнаблюдения на характеристики следящих систем.Используя уравнения (Д.11.7), (Д.11.8) и (Д.11.9) можно проводитьоптимизацию относительно коэффициентов усиления K в схеме слежения потому или иному критерию.Из уравнения (Д.11.9) для шумовой составляющей автоматическиследует уравнение для ковариационной матрицы ошибок:NdR nT  A  K  H   R n  R n   A  K  H   K  0  K T .dt2(Д.11.10)Приведем простой пример оптимизации для модели винеровской фазы,приводящий к известному результату из линейной фильтрации.Модель динамики фазы:  n , M n2   N 2 .Модель наблюдения фазы:    n0 , M n02   N 0 2 .Уравнения линейной фильтрации имеют вид:dˆ K  Ddt(Д.11.11)Пусть входное воздействие описывается винеровским процессом:in  n , M n2   N 2 .В этом случае динамическая и шумовая ошибки описываютсяуравнениями:d d  K   d  n ,dt(Д.11.12)d n  K   n  K n0 .dt(Д.11.13)Изуравнений(Д.11.12)и(Д.11.13)следует,чтодисперсиидинамической и шумовой ошибок описываются следующими уравнениями:NdRd 2 K  Rd   ,dt2(Д.11.14)NdRn 2 K  Rn  K2  0 .dt2(Д.11.15)Стационарные значения дисперсий динамической и шумовой ошибокиз уравнений (Д.11.14) и (Д.11.15) равны:Rd ,st N4 K,СоответственноRn ,st N 0 K4дисперсия.суммарнойошибкиописываетсяуравнением:NNdR 2 K  R  K2  0   .dt22(Д.11.16)Необходимо оптимизировать коэффициент усиления K по критериюминимума дисперсии R .

Последнее означает, что производная дисперсии покоэффициенту K равна нулю:dR0.dKПродифференцируем (Д.11.16) по K с учетом условия оптимизации:N 0d  dR dR222RKK2dK  dt dK0  2  R  2 K N 02 K 2R.N 0Таким образом, в рассматриваемой задаче для минимизации дисперсииошибки оценки фазы необходимо чтобы коэффициент усиления в ФАП былравен:K 2R.N 0(Д.11.17)Подставляя (Д.11.17) в (Д.11.16) получаем уравнение для дисперсииошибки фазы (приведено также выражение для стационарной дисперсии):dR N 2 R 21, Rst N  N 0 .dt2 N 02(Д.11.18)Уравнение (Д.11.18) полностью совпадает с таковым в алгоритмеоптимальной линейной фильтрации винеровской фазы.Анализ в частотной областиПолучим выражения для динамической и шумовой ошибок в частотнойобласти.Квазиоптимальные алгоритмы в непрерывном и дискретном времениимеют вид:dλˆ A  λˆ  K  D ,dt(Д.11.19)λˆ k  F  λˆ k  K  D .(Д.11.20)Из вида уравнений (Д.11.19) и (Д.11.20) следует их операторноепредставление:1pλˆ  A  λˆ  K  p   D  λˆ   pI  A   K  p   D  K 0  p   D , (Д.11.21)1λˆ  z 1F  λˆ  K  z   D  λˆ   I  z 1F   K  z   D  K 0  z   D .

(Д.11.22)В линейном приближении:D  1  ˆ1  n0,e    n0,e ,где 1 – первая компонента вектора λ (например, фаза  в ФАП 3-гопорядка); n0,e – эквивалентный шум (БГШ) наблюдения дискриминатора попервой компоненте со спектральной плотностью N 0,e .Тогда:1  K 0,1  p   1  ˆ1  n0,e .(Д.11.23)Относительно ошибки  1 в непрерывном времени получаем:  p  K 0,1  p 1 n0,e  1  p  .1  K 0,1  p 1  K 0,1  p (Д.11.24)Аналогично в дискретном времени получим:  z  K 0,1  z 1 n0,e  1  z  .1  K 0,1  z 1  K 0,1  z (Д.11.25)Первые слагаемые в выражениях (Д.11.24) и (Д.11.25) – шумоваясоставляющая  n полной ошибки  , обусловленная наличием шума внаблюдении.

Второе слагаемое – динамическая составляющая  d полнойошибки,обусловленнаяналичиемдинамическоговозмущениявфильтруемом процессе  . В общем случае:  n  d .Полная ошибка  совпадает с шумовой  n при отсутствии возмущенияв фильтруемом процессе  .Таким образом, можно записать КЧХ квазиоптимального фильтра дляшумовой и динамической ошибок соответственно:K n  if  K  if ,1  K  if K n  z  z exp  i 2 fh K d  if  (Д.11.26)K z.1  K  z  z exp  i 2 fh 1,1  K  if K d  z  z exp  i 2 fh (Д.11.27)1.1  K  z  z exp  i 2 fh Рассмотрим вновь пример с винеровской фазой.Модель динамики фазы:  n ,M n2   N , k   k 1  n ,kM n2 ,k D ..Модель наблюдения фазы:  t     t   n0  t  , M n02  t   N 0M n k   k  n0 ,k20 , k D.0Уравнения линейной фильтрации имеют вид:dˆ K  D  K     ˆ   n  ,dt.ˆk  ˆk 1  K  D  ˆk 1  K   k  ˆk 1   n ,k Для операторного коэффициента передачи имеем:K,pK1K  z    I  z 1F  K   .1 zK  p    pI  A  K 1Отсюда следует вид шумовой и динамической КЧХ для ФАП 1-гопорядка:K n  if  KK, K n  z  z exp  i 2 fh  j 2 f  KK  1  z 1 .z  exp  i 2  fh 1  z j 2 f, K d  z  z exp  i 2 fh  K d  if  j 2 f  KK  1  z 1 1Нарисунке(Д.11.1)схематично.z  exp  i 2  fh представленышумоваяидинамическая АЧХ ФАП 1-го порядка.

На этом же рисунке такжесхематично показаны АЧХ динамического воздействия.Рисунок Д.11.1При уменьшении коэффициента усиления K в петле ФАП полосапропускания шума наблюдения также уменьшается. При этом по шумунаблюдения АЧХ аналогичен ФНЧ (т.е. пропускает низкие частоты изадерживает высокие). Напротив, динамическая АЧХ аналогична ФВЧ, т.е.высокочастотные составляющие входного воздействия проходят на выходФАП. Увеличение коэффициента усиления K в петле ФАП сдвигает полосупропускания динамической АЧХ вправо, т.е. уменьшает динамическуюсоставляющую ошибки.

Таким образом, должно существовать наилучшеезначение коэффициента усиления K opt . По аналогии с анализом во временнойобласти получим K opt для винеровской фазы на входе ФАП.Дисперсия шумовой и динамической ошибок определяется как:2N0K n  f  df 2,2KN 0  KN0N 0 K1df dx 2  K2   2 f 22 2  1  x 24Dn   S n  f  K n  f  df 2Dd   Sd  f  K n  f  df 2NN21  2 f K d  f  df 22NN11dfdx2  K2   2 f 22 2 K  1  x 24 K1.Берем производную суммарной дисперсии по коэффициенту K иприравниваем к нулю:N  1 N dD 1 d NKN 0 00dK 4 dK K  4K2  K opt NN0При этом дисперсии шумовой и динамической ошибок равны:Dn 0  Dd 1N 0 N .4Дисперсия суммарной ошибки равна:D  Dn  Dd 1N 0 N .2Для демонстрации воздействия динамики на ошибку по фазе несущейбыло проведено моделирование ФАП 3-го порядка синтезированное длядинамики рывка в виде БГШ.При этом в качестве динамики движения была выбрана модель, котораяпо корреляционным свойствам (дисперсии) полностью аналогична модели,заложенной в синтез ФАП.Для моделиускорения в виде гауссовскогоэкспоненциально-коррелированного процесса «корреляционным» эквивалентом являетсяслучайный телеграфный сигнал (соответствует модели рывка в виде потокаинтенсивностью(пуассоновского) дельта-импульсов фиксированнойамплитуды и чередующимися знаками.).

Характеристики

Список файлов лекций