Байбородин Ю.В. Основы лазерной техники (1988) (1151949), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Максимальный коэффициент отражения системы, состоящей из ки пластин, Отметим, что толщины пластин, как и толщины воздушных промежутков, равны целому нечетному значению Х/4. Для получения расчетного значения коэффициента отражения при изготовлении резонансного отражателя необходимо, чтобы пластины отличались по толщине не более, чем на Х/8. Изменение толщины пластин, вызванное изменением температуры, приводит к смещению частоты.
Резонансные отражатели имеют высокую стойкость к световому излучению, определяемую порогом разрушения материала пластин. Призмы-крыши. В резонаторах лазера они позволяют отказаться от покрытий и использовать явление полного внутреннего отражения. Это дает ряд существенных преимуществ:. увеличивает допустимую плотность энергии в резонаторе, определяемую порогом разрушения материала призм, способствует выравниванию плотности лазерного излучения по сечению активного вещества. Потери при отражении зависят от материала призмы и составляют 4...9 %.
5.4. Матричный метод расчета резонатора Следуя рекомендации Н. Когельинка, применившего в 1966 г. матричный формализм преобразования излучения в резонаторе лазера при .описании параксиальных лучей 124), а также рекомендациям А. Джерралда и Дж. Берча 1101, которые распространили матричный метод на системы геометрической оптики, рассмотрим методику расчета резонаторов, принимая при этом некоторую идеализацию: допускается только стационарный режим генерации лазеров; волна излучения совершает «полный проход» от одного зеркала резонатора к другому и обратно без искажения амплитуды и фазы. Активная среда лазера эквивалентна плоскопараллельной пластинке, которая не изменяет форму волнового фронта и не вносит сферических аберраций.
В случае газовых и твердотельных лазеров импульсного режима работы принятая идеализация близка к действительности. В результате расчета мы должны достаточно быстро и с инженерной степенью точности получить: радиусы кривизны зеркал и длину резонатора; диаметр кювета; расходимость излучения; коэффициенты отражения зеркал; расстояния главных плоскостей от входной и выходной плоскостей; фокусные расстояния и размеры гауссова пучка. Вкратце опишем особенности расчета.
Принимается модель (рис. 5.6, а) — распространение семейства параксиальных лучей под малыми углами к главной оси оптической системы. Имеются также (1 Рис. 5.6. Модель распространения семейства параксиальных лучей (а), модель ти. нового оптического резонатора для газовых лазеров (б) и модель типового резонатора твердотельных лазеров (а) входная и выходная плоскости ОП!, ОП2, расположенные в фиксированном поперечном сечении г = сопз( на расстоянии /г, и й, от главных плоскостей оптической системы. Каждый параксиальный луч, пересекающий последовательно входную и выходную плоскости, однозначно определяется двумя параметрами: высотой у, и углом наклона О«к главной оптической оси ог системы. Каждый из семейства параксиальных лучей ортогонален к волновому фронту, поэтому приведенный радиус кривизны волнового фронта ггг = Я,/и, где и — показатель преломления.
Если проследить за траекторией луча, то сначала луч пересекает входную плоскость и имеет параметры у„О. Затем он проходит через оптические элементы и достигает выходной плоскости, на которой имеет параметры у,, у. Математическая связь между этими параметрами и свойствами оптического элемента может быть установлена посредством двух линейных уравнений; где Л, В, С, Π— матричные элементы, передаточные отношения оптических элементов системы; у„у„а, у — переменные входные и выходные величины. Отделив переменные величины от постоянных, запишем эти уравнения в матричной форме = С В , (5.22) ЬЛ )'уЛ где г1 1г, ~ 1! — матрицы-столбцы выходного и входного лучей соот- ~71 ~91 )ЛВ) ветственно; М = ~ ~ — передаточная матрица преобразования лучей ~С01 (матрица передачи АВС0 — важнейшая характеристика матричного метода).
Матричные элементы связаны с координатами главных плоскостей и фокусным расстоянием / оптической системы соотношениями 6~ — — ( — 1)/С; /г, = (А — 1)/С; / = — 1/С и удовлетворяют соотношению А0 — ВС = 1. (5.23) Оказывается, что для типовых, часто встречающихся в расчетах и на практике, оптических элементов уже определены передаточные матрицы преобразования [10, 24).
Для примера, поскольку это необходимо для расчета резонатора, воспользуемся двумя типовыми передаточными матрицами между главными плоскостями системы линз и свободным пространством: — !// 1 — р 1 где / — фокусное расстояние; р = 1// — оптическая сила системы. Кстати, такую же матрицу имеет оптическая схема отражения и преломления луча от одной поверхности, если входная плоскость совмещена с поверхностью оптического элемента. Вторая матрица т — матрица перемещения луча в свободном пространстве: =[' Л=[' '1 где Т = Вп — расстояние между входной и выходной плоскостями Разделив первое уравнение на второе в (5.21), применительно к расчету резонатора получим приведенный радиус кривизны выходного зеркала р у» лйг+ н = с.,+о = (5,24) ГДЕ /Гг = У,/9 — РадиУс кРивизны волнового фронта вхоДного луча.
Это очень важная зависимость, названная Н. Когельником «правилолг АВСЕЬ, которое позволяет вычислять радиус кривизны сферического фронта волны при переходе ее от одной опорной плоскости к другой, а следовательно, кривизну зеркала резонатора. 98 Примем для расчета модель типового оптического резонатора с активной средой длиной 1 и двумя зеркалами: одно «глухое» с коэффициентом отражения г, = 1 и выходное, частично отражающее зеркало (г, = г.„). Выходное зеркало предназначено для вывода части полезной энергии, запасенной в резонаторе, причем для рубинового лазера г,„, = 0,4...0,6, для неодимового лазера г,„, = 0,3...0,4 и для гелий-неонового лазера г„, ж 0,99.
Можно утверждать, что расчет резонаторов других типов будет в точности соответствовать рассматриваемому случаю. Этолюбознательный читатель может проверить в любое время, пользуясь рассмотренной методикой расчета. Передаточная матрица данной схемы резонатора эквивалентна т-матрице перемещения луча в свободном пространстве на длине 1. — 1 и в лазерном кристалле, который эквивалентен плоскопараллельной пластинке толщиной 1 с показателем преломления гг.
Соответствующая «приведенная» геометрическая длина между двумя зеркалами, где перемещается луч (рис. 5.6, в), (5.25) где и, = 1 — показатель преломления свободного пространства. Чтобы определить конфигурацию выходного поля излучения, желательно располагать входную и выходную плоскости на поверхности частично отражающего зеркала резонатора с г, = г„„т. е. совместить их. Часть энергии, которая отражается обратно, проходит вновь через активную среду, дополнительно возбуждает центры активатора, проходит к первому зеркалу с г, = 1, полностью отражается от него, вновь усиливает центры активной среды и частично выходит из второго зеркала. В целом это излучение совершает один «полный проход» в резонаторе.
Можно определить общую передаточную матрицу резонатора М, связывающую главные плоскости и определяющую один полный проход излучения в резонаторе. Помня о том, что произведение матриц некоммутатнвно, матрица-столбец выходного луча равна произведению последовательности матриц в четком порядке их распределения, описывающих оптические элементы от выхода ко входу резонатора, через которые проходит входной луч. Запишем передаточную матрицу преобразования 111=СО где А = 1 — ргТ вЂ” 2Р»Т + рг/г»Т», В = Т (2 — р»Т), С = — /гг— — р«+ ргр»Т, 1! = 1 — ргТ вЂ” постоянные оптических элементов модели резонатора (передаточные отношения оптических элементов); р, = 2Я„р» = 2//㻠— оптические силы зеркал; /1г = /гг/пг = уг/(зпг)' /г» = /г»/п« = у»/(уп«) — приведенные радиусы кривизны зеркал.
Мы рассматриваем две типовые модели резонаторов, наиболее часто встречающиеся в практике проектирования газовых и твердотельных лазеров (рис. 5.6, б, в). В том случае, когда вместо первого зеркала в резонаторе установлены призма полного внутреннего отражения и резонансный отражатель (стопа пластин), их передаточные 4* матрицы ! — 1 — 21(п ! 1 ТТ( п.з.а = 1 М,„= )о 11' ' о где 1 — высота призмы; Т, — приведенная толщина Рй пластины.
Передаточная матрица этого резонатора будет аналогична (5.26), но постоянные А, В, С, Р имеют уже другие значения. Проверку правильности вычисления передаточной матрицы резонатора проводят по равенству определителя матрицы единице: )А В! де11 1= АР— ВС= 1. 1С В1 Покажем, что передаточная матрица резонансного отражателя— стопы плоскопараллельных пластин, разделенных воздушным промежутком при условии, что все граничные плоскости перпендикулярны косил, -- =с.' сс' "сс' 'с-с' """с В общем случае передаточная матрица преобразования луча оптн П ТТ(1 ческой системы 1 составных слоев равна т( — — ~ =~о где Т, = = !зlпз! Т = Лупе; Тз —— !з!пз — приведенные длины слоев; !з, !з, Л— толщины слоев и воздушного промежутка; лз, п„пз — показатели преломления пластин и воздуха.
Окончательно передаточная матрица резонатора твердотельных лазеров с призмой полного внутреннего отражения н стопой пластин 1 Т вЂ” 1 — 211!п) 1 Т1 2Т, !Ть — 1 — (2Т, -!- Ть) — 2 (11!п1 -!- Т) 0 — 1 Параметры выходного луча ";с=с.":сс"'с где А= — 1; В= — (2Т,+Ть) — 2 (11!пх+Т); С=О; В= — 1; ТВ = Тз = Тз! гз = 1з', лз = лз. Обязательна проверка передаточной матрицы по равенству А1)— — ВС = 1. При многократных проходах излучения внутри резонатора 1А В необходимо передаточную матрицу резонатора М = ~ возвести 1С х! в степень, равную числу проходов. В этом случае можно определить изменение параметров при многократных проходах.
Для определения радиуса кривизны волнового фронта воспользуемся правилом АВСВч )сз = с ' с и )чх = )х„ так как радиуа АРВ+ В СИ, + 0 кривизны по условию прохождения волнового фронта в резонаторе АР1 -1- В должен быть неизменным. Решив уравнение гхх = ' о относи- 1+ тельно )т„ получим (А — В) ) (А — В') — (ВВ 2С Оказывается, чтобы фронт волны распространялся через резонатор без искажений и самовоспроизводился, необходимо соблюсти следующее соотношение 1101: (1 — Т(К,)(1 Т1Р,,) = 1. Это соотношение справедливо при Т = )тг + )сз, когда зеркала резонатора расположены на одной главной оси и радиусы кривизны могут описать концентрические окружности (случай конфокального резонатора), либо при )тх -ь оо и )тз -ь со (случай резонатора Фабри — Перо с плоскими зеркалами). Может быть решена обратная задача: при заданном угле расходи- мости умд определяются модель и параметры резонатора: И), гх)з, 1, л и т.
д. Заметим, что данный матричный метод рассмотрен только для двух типов резонаторов. Тем не менее этот метод расчета можно распространить на любые другие типы резонаторов: дисперсионные, кольцевые, с вращающейся призмой модулятора добротности и сизломом оси резонатора. В заключение приведем конкретный пример расчета резонатора матричным методом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
