Пестряков Б.В. Шумоподобные сигналы в системах передачи информации (1973) (1151884), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для смеси, содержащей только флюктуационную помеху в виде нормального гауссова шума, она имеет вид »н 1 — -- Ухз 2а 1 » ~ ш(х, х, ..»~п) =- ехр 1 (зля»)»н~» ! ехр (Зао»)»»Л (2.2.1) Р (Г„/з») — условная вероятность ошибочного решения о наличии сигнала з; (г) при условии передачи сигнала з» (1); Р (з;) — вероятность передачи с'-го сигнала з;((). Для каждого из ошибочных решений можно установить <цену» ошибки, характеризующую вредные последствия, связанные с определенной ошибкой. Можно назначить или выбрать цены пропуска сигнала г„р и ложного обнаружения г.„или цены переименования сигналов г; „и г„ь Произведение вероятности ошибочного решения на его цену принято называть риском. Сумма всех рисков, связанных с ошибочными решениями, будет обусловливать средний риск р.
Средний риск обычно достаточно полно характеризует работу системы, так как учитывает и вероятности ошибочных решений и «веса» вредных последствий, связанных с ними, поэтому, осуществляя оптимизацию распознавания или обнаружения, естественно стремиться к тому, чтобы средний риск был минимален. Рассмотрим теперь теорию оптимального обнаружения и распознавания сигналов при наличии флюктуационных помех. Выполним это кратко, поскольку эта теория не является специфической для ШПС и в литературе можно найти ее подробное изложение (например, в [2.1 — 2.4, 2.6]). Флюктуационные помехи практически всегда имеют место и являются наиболее общим видом помех, поэтому важно оптимизировать прием именно при их действии.
Полученные при этом алгоритмы (схемы) для других помех уже не будут оптимальными, но, как будет показано ниже, схемы, оптимальные при действии флюктуационных помех, при использовании ШПС позволяют получить высокую помехоустойчивость н при других видах помех. где й„= Тр(!ХА А = 2ТА(„„— объем выборки; ТА — время наблюдения; 7А, — высшая частота в спектре помехи; ((('„— плотность мощности помехи; о„* — дисперсия помехи; т„„— интервал корреляции помехи. Смесь сигнала и помехи можно записать в виде х (1) = з (1, ()„1„...) + и (1). (2.2.2) Смесь также является случайным процессом. Условная многомерная функция распределения значений смеси при условии, что параметры сигнала ~„~„..., имеют определенное значение, равна и((х,х, ... хх,((),'рх ..., п)= — — »р ~ — — ' ! (,(р( — *((, р,рр...(( рр~. (2.2 3( (2АА ~1~А( Х ) (УА, „) о Статистические характеристики случайных параметров сигнала описываются совместной функцией распределения (2.2.4) Тогда многомерная функция распределения для смеси при условии действия сигнала будет иметь вид ш(х,хз ...Хх (зп) =.
= )) ...~ ш((), ()А ... ) ш (х., х, ... хх,(р, (), ..., Хп) ((р(((рх ... (2.2.5) В частном случае сигнала с известными параметрами выражение для и( (х,,х,.../за) получается непосредственно п((х,х, ... Хх!ап)= тА 1 ехр — — ) [х(1) — з(1))А й . (2.2.6) 1 (2АА21ХАМ Л(А .( ) о ХР (Х( Хр...Хь /ЮЯ) Т(х) ''' А А((Х( ХА...ХХА/А) (2.2.7) где П = х,АР (ХУХ„Р (О) — порог; 1 (х) — отношение правдоподобия. 20 Интегрируя многомерные плотности вероятности по областям принятия решений о наличии илн отсутствии сигнала, подставив результат и выявив условия получения минимума среднего риска, получаем, что принятие гипотезы Г, или принятие решения о наличин сигнала сопровождается минимальным средним риском, если выполняются следующие действия (2.1 — 2.3!: Во многих случаях удобно перейти от отношения правдоподобия к его логарифму, тогда минимальный средний риск обеспечивается, если: при 1п 1 (х) ) 1п П принимается гипотеза Г,; (2.2.8) при !и 1(х) ( !п П принимается гипотеза Г,.
(2.2.9) Анализируя математические операции, предусмотренные выражением (2.2.7), можно синтезировать оптимальную схему обнаружителя дискретного радиосигнала. Для решения этой задачи нужно иметь конкретные математические выражения, описывающие функции распределения ш (х,х, ...х„„lз и) и ю (х,х, ...х„„!и). Получение выражения для ю (х,х, ...хь„!з п) связано с трудностями, так как радиосигнал имеет обычно случайные параметры и требуется провести интегрирование согласно (2.2.5).
Различие в математических выражениях для 1(х) нли !и 1(х), получающееся при принятии разных моделей сигнала, т. е. в предположении о наличии у сигнала разных случайных параметров, приводит к тому, что и схемы оптимальной обработки или оптимальных обнаружителей, синтезируемые на основе этих выражений, получаются разными. Порог П определяется априорными сведениями Р (О), Р (з), г р, г„, и не зависит от свойств сигнала. Зависимость порога П от априорных сведений играет важную роль в теории обнаружения.
Часто возникают трудности с выбором или вычислением Р (О), Р (з), г„г и г„, как это имеет место, например, при поиске. Тогда реализация оптймального обнаружителя, обеспечивающего минимум среднего риска, оказывается невыполнимой из-за невозможности установить оптимальный уровень порога. Схема оптимальной обработки смеси не зависит от указанных априорных сведений, она остается одной и той же для любых их значений, поэтому для реализации обнаружителя при отсутствии априорных сведений необходимо только выработать другие правила выбора порога. В указанных условиях широко используется правило выбора порога по допустимой вероятности ложных обнаружений (ложных тревог), известное как критерий Неймана — Пирсона.
Смысл этого критерия и его использование при анализе систем связи будут подробнее рассмотрены ниже. В некоторых случаях под термином «оптимальная обработка» понимают и вычисление 1 (х) или!п 1 (х) и сравнение с порогом. Однако, вероятно, удобнее разделить их на операцию оптимальной обработки смеси и операцию сравнения, или принятия решения. Их сочетание дает оптимальный прием. 2.2.3. Двоичное распознавание При распознавании также наблюдается реализация х ((). Предполагается, что сигнал обязательно есть и нужно принять решение, какой из сигналов а, (Г) или з, (Г) действует. 21 Выполнив преобразования, аналогичные использованным при получении выражения (2.2.7), можно получить следующие результаты. Если имеется реализация смеси х (1) или выборка из нее х,х, ...хвю то минимальный средний риск при принятии гипотезы Г„обеспечивается, если выполняется следующее условие [2.1 — 2.3): м (х~ х2» ° хХ ПЧ и) ~-~ т Р (3 ) в (х~ х....кь„й, и) и Р (з0 (2.2.10) Разделив и умножив (2.2.10) на ш (х,х, .../и), получим (х] ж (х! х2...хь ич и) м (х1 х2 ° ° хх ди и) — ) П (2.2.11) 1~ (х) м (х1 х2...хх 1и) м (х1 хы ..хх 1и) Выполнив логарифмирование, получим, что принятие гипотезы Г„ сопровождается минимальным средним риском, если выполняется следующее условие: 1п !г (х) — !и (з (х) ) !и П, (2.2.12) р =-: Р„„==- 0,5 !Р (Г„)з,) + Р (Г,2!з,)).
(2.2.13) где 1, (х) и 1, (х) — отношения правдоподобия для сигналов з, (1) и з, ((). Из (2.2.12) следует, что при оптимальном распознавании двух ненулевых сигналов нужно вычислить не одно отношение правдоподобия (или его логарифм), как это имело место при обнаружении, а два (для обоих используемых сигналов) и производить сравнение с порогом !п П разности логарифмов отношений правдоподобия этих сигналов. Важно заметить, что оптимальное распознавание, по сути, приводит к тем же оптимальным процедурам обработки смеси, что и оптимальное обнаружение. При решении задачи распознавания радиосигналов применительно к системам радиосвязи, когда рассматриваются их свойства по передаче полезной информации, обычно можно ввести некоторые упрощения в понятие среднего риска и перейти к более простому понятию полной вероятности ошибок н критерию идеального наблюдателя.
При передаче информации двоичным кодом сообщение отображается набором знаков: 0 и 1. Вероятности 0 и 1 обычно одинаковы. Тогда одинаковыми оказываются и вероятности Р (з,) и Р (з,) (или Р (з) и Р (0)!. В двоичном коде информационное содержание 0 и 1 одинаковое, т. е. цены ошибочных решений также должны быть одинаковыми. Тогда удобно положить, что г,„= г„р =--- 1 и г,, —.— г,, =- 1. Следовательно, при использовании критерия идеального наблюдателя П =- 1 или 1п П = О. При указанных условиях средний риск дает полную вероятность ошибок Р, и выражается следующим образом: При этом оптимальная процедура обработки и правило принятия решения будут следующими: принимается гипотеза Г, „если 1п 1, (х)— — !и 1, (х) ) О.
Критерий идеального наблюдателя очень широко используется при анализе систем радиосвязи. 2.2.4. Распознавание многих сигналов и (х~ хм ..хд 1ги и) — =- макс в (х~ х,... хи и 1ад п! (2.2.14) при всех й, причем й ~1. Однако нахождение максимума такого отношения требует большого количества каналов или (и) сложного алгоритма принятия решения. Поскольку распознавание всегда осуществляется в присутствии помех, то вместо нахождения максимума (2.2.14) можно вычислить отношение правдоподобия каждого из сигналов при их выделении из гауссовых помех и искать максимум этого отношения. Используя методику, аналогичную той, которая была применена при получении приведенных выше выражений, можно показать, что минимальный средний риск или минимальная вероятность ошибки обеспечиваются, если выбирается гипотеза Гм о действии 1-го сигнала, для'которого соблюдаются условия =1,(х)) 1д(х) ю (х,х ...хд !и! Н (2.2.15) или !п1; (х) )!и 1д (х) для всех й, кроме А = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
