Шебшаевич В.С. Сетевые спутниковые радионавигационные системы (2-е изд., 1993) (1151869), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Эти линии отстоят от начала координат на расстояния, равные разностям измеренных н расчетных значений параметров гь г, н гг, причем э случае безошибочных измерений есе они пересекались бы в одной точке — истинном месте П. Влияние ошибок приводит к тому, что пересечениями этих прямых образуется треугольная область або возможного нахождение обьекта. Оптимизация решении, предусматриваемая ме. годом наименьших квадратов, состоит в отыскании точни, наивыгоднейшим образом удаленной от всех трех касательных, чему соответствует минимальность суммы квалратов невязок е1, е1 н е1.

Эта точка лает оценки искомым поправкам б н бг. Геометрическое толкоааиие выражений (3.14), (3.14') удобно дать и про. странстае измерений. Для этого »»остроим координатный базис а осях разностей г„ г, и г» (рис. 3.2), ххля рассматриваемого случаи матрица (З.б), имея размерность (ЗХ2), может распасться на даа вектора д)г, пз, д)т, ах» ап, дХ д)г, о»рь бкз бт, зк» з'Ра иС,= дУ/дб~ =О, дУ/дбг=О и дУ/дбз=О ' (3 !7) Вычислим в соответствии с (3.!7) значения частных производных функционала У по поправкам бр Дифференцирование У по первой поправке б~ дает дб дб Р' д » з =2Х р» б Х л б) — Р,'З О вЂ” -О, 1 ) ! откуда следует, что , дл» ди, з дп» Х р~ — 'Х вЂ” 'б;=Х р~г,-б — '-.

»)Че~ ~Че~ » Чз~ ! » ! (3.18) Аналогично этому дифференцирование функционала У по поправкам бз и бз дает выражения, подобные (3.18), с той раз. ницей, что в повторяющемся в каждом члене сомножителе которые. можно истолкоаать как своеобразные базисные еекторы пространстиа частных пронзаодных д)г»/дпм, заданные а простраистае измерений. Сорнентнроааа по этим векторам произзедения С,б, и С,б», можно путем суммироаиния получить а данном базисе вектор матричного пронэзедения СЛ.

В то же время з базисе гь гь г» вектор измерений й фиксируется так, что разность СЛ вЂ” Й дает вектор Е, которыя и соотаетстаии с (ЗЛ 4') предста алиет собой вектор неаяэои. Можно показать, что нектар иезязок Е будет ортогоналеи любому вектору СЛ из базисного подпространстаа параметров подпространстаа, заданного векторами С, н Сь Значит, при оптимизации методом наимень. ших каадратоа проаодится ортогональное проекгирозание аектора измерений П на подпространстао параметров. дальнейшее разложение этой проекции Сй по базисным осям бр и 6» пространства определяемых параметров дает оценки искомых поправок бт и 6». Аналитически минимизация суммы квадратов невязок связана со следующими вычислениями. Условие (3.16) распадается иа три условия: а!! б! + ам бг + а!з бз = Ь|, ам б! + игг бг + агз бз = Ь»,1 аз! б! + ам бг + азз бз = Ьз,л (3.19) где чч дк; дй а»; =.~~ р! — —, (3.20) ддм дч»!' ! ! дй, Ь»=~ар! г; —. дя»» ' ! ! Выражения (3.19) — (3.21) представляют собой принципиальный алгоритм обработки результатов измерений гс! для определения поправок б; к априорно известным пространственным координатам де!ь Таким образом, при решении навигационных задач методом наименьших квадратов по существу решается система линейных нормальных уравнений (3.19), коэффициенты которой а»; на первом итерационном цикле вычисляются по априорным данным, а коэффициенты Ь» на том же цикле — как по априорным сведениям, так и по результатам измерений.

Начальными значениями координат для каждого последующего цикла принимают начальные значения предыдущего цикла, исправленные иа величины оцененных поправок. Для выражения козффнпнентов о, и Ь» в литературе часто применнется введенная Гауссом символика, избавляю!цая от необходимости пользоваться знаком суммирования по индексу числа измерений: Х Р, св с» [Р с» с![ (зло') ! ! 'ь Рг Пс!» [Р гс»[. (з.г!') ! ! Коэффициенты а»! системы нормальных уравнений используют при оценке точностных свойств навигационных методов.

Как было отмечено в $ 2.4, градиентная и фундаментальная матрицы отражают видовые и общие свойства методов измерений, а совокупность коэффициентов а»; выражается как раз через элементы этих матриц (см. гл. 16). производные будут браться соответственно по дог и даз. Совокупность всех полученных в результате дифференцирований выражений даст систему трех уравнений с тремя неизвестными б!, бг и бз. Если коэффициенты при неизвестных обозначить через а»г, а коэффициенты прн правых частях уравнений через Ьм то полученную систему, именуемую системой нормальных уравнений, можно записать в следующем виде: Образуем матричное произведение двух матриц: Рр (3.!3) и С (3.6), что для уточняемой системы координат дает дЯ, ))! -у— ая, Р2 (3.22) Рр С = дя„дл„дЯ„ л полученного произведения ( Рр С), в Проведем транспонирование результате получим (3.23) Оказывается, что совокупность коэффициентов ал; (3.20) является ни чем иным, как произведением транспонированной матрицы (3.23) на исходную (3.22).

Запишем это произведение в виде матрицы размерности (3 Х 3): ! ! ! ! ! ~=! (3.24) Обозначим матрицу коэффициентов системы нормальных уравнений через А= )) ар!)!. Тогда из сопоставления (3.20) и (3.24) следует матричное равенство А=С"Р"аРоС (3.25) Заметим, что весовая матрица Рр была определена как (3.!3) ради придания системе условных уравнений безразмерных свойств, Но поскольку Рр — диагональная матрица, ее вид при транспонировании не меняется, а следовательно, произведение РрРр дает также диагональную матрицу Р, элементы которой являются квадратами элементов матрицы Рр..

дЯ, Р! дф дЯ, Р!— ал дЯ, Р! — „' ая, р!— ал ая, ))р— дх ая! Рр д ая, Рр— дь дЯ! др дЯ, р! д!! ая, Рр —,„ дЯ„ Р л дЯ„ Рл д! дЯ, д й~( о) 0 Йр( ор) о 71„( а„) Ввиду этого (3.25 ) А = С' РС. Обратившись к правым частям системы Ьх, обнаружим, что их матрица получается в результате перемножения матриц С Р0 размерности (3 Х а) (3.23) и Рв В (и Х !); зх~ дя, Х рю' дв ! и да,. ~р'г' эх 1=! л ап, Х р~ г— да С'Р' Р В= Обозначив матрицу правых частей через В, запишем очевидное равенство В=С'РК. Таким образом, система нормальных уравнений в матричном виде С'РСЬ= С'Р(с, (3.26) или сокращенно 57 АЬ= В. (3.27) Полученная выше матрица коэффициентов ам имеет размерность (ЗХЗ), что связано с трехмерным характером решаемой навигационной задачи. В случае определения шестимериого вектора состояния П составляется система 6 нормальных уравнений и матрица А будет иметь размерность (6Х6). Вопросы решения системы нормальных уравнений, сходимости итерационных решений, а также особенности решений при использовании,иных критериев оптимальности рассмотрены подробно в гл.

)3 и !4. Эдссь жс уместно остановиться па том, кпк элементы матрицы А используются для оценки точности навигационных определений. Упомянем, что один из способов решения системы (3.26) связан с обращением матрицы А. Лело в том, что, умножая левую и правую части системы (3.27) слева на обратную матрицу А ', можно получить а явном виде решение для поправок: А=А 'В. Приняв для простоты число результатов измерений равным числу определяемых параметров п=т=З, будем иметь дело с квадратными матрицами С, С' и Р.

Тогда, применив правила обращения матриц к соотношению (3.25'), увидим, что матрица А выражается через обращенные матрицы А '=С 'Р '(С ')". Выясним, какой смысл имеет Р ', для чего вспомним, что матрица Р— диагональная. а при обращении таких матриц их элементы переходят в обратные величины. Стало быть, элементы матрицы Р ' с точностью до коэффициента представляют собой дисперсии измерений о~, (в частном случае равноточных измерений все диагональные элементы будут равны между собой и определятся дисперсией измерителя). С другой стороны, матрица А ' имеет смысл корреляционной матрицы погрешностей определения искомых параметров К,= = С 'Р ' (С ')', диагональные элементы которой суть дисперсии определяемых параметров.

Для наглядности сочтем, что определяемые параметры образуют ортогональный базис. Тогда результирующая погрешность пространственного местоопределения выразится через след корреляционной матрицы о =~Яр(Кр). 3.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФДКТОРЫ Очевидно, что элементы матрицы С (а значит, и диагональные элементы матрицы К,) будут зависеть от геометрических условий навигационных измерений — от относительного положения навигационных точек и наблюдателя., Этими условиями будет определяться и погрешность местоопределения ор которая такжЬ зависит от дисперсии погрешностей измерений о~»е Широко применяется прием, позволяющий погрешность местоопределения о, представить как произведение двух сомножителей: среднеквадратнческой погрешности измерений о„н некоторого коэффициента Г, характеризующего геометрические условия измерений, так называемого геомегрическозо фактора (ГФ) о„=Го„.

Нетрудно проследить, что выражение для ГФ в этих условиях имеет вид Г=о„'-~~бр(КГ). Хотя в предшествующих рассуждениях для наглядности полагалось и= т, выражение для Г справедливо и для избыточного числа измерений. Поскольку размерность матрицы С может быть различной, в понятие геометрического фактора можно вкладывать разный смысл. Так, если оценивается точность пространственного (трехкоординатного) местоопределения, речь может идти о простран-, ственном ГФ, обозначаемом Г„. При оценке точности двумерного планового (горизонтального) местоопределения оперируют с Г„'а прн оценках точности только высотной (вертикальной) коордйнаты — с Г.. Для оценок точности одномерного временного параметра переходят к Гь Чтобы обозначить принадлежность 58 ГФ к оценкам четырехмерного пространственно-временнбго вектора, употребляют Г .

Подробнее об этом см. гл. )8, )9. Очевидно, что между перечисленными ГФ существует простая связь: Г' = Гз + Г,' = Г, '-(- Г', -(- Г'. (3.28) Наряду с приведеииымп обозначениями достаточно широко распростраиеиы аббревиатуры англоязычного происхождеиия, из которык, впрочем, пе все несут прививки того, что имеется в виду геометрический вклад в погрешность. Нашему ГФ соответствует РОР (Ос|опоя о| ргес|з|оп — ухудшение точности). Для чегырехмериых определений ГФ обозначается ОООР (Оеогпе|~с ООР); Г. соответствует РООР (Роз|поп 00Р), горизоитальиому Г, — НООР (Ног|хоп(а! ООР), вертикальному Г, — гООР (Чсгпса! ООР), времеииому Г, — ТООР (т|ше 00Р). Между соответствующими ООР имеет место очевидное соотношение 000Р' = РООР'+ ТООР'= НООР'+ )ГООР'+ ТООР'.

(3.28') ГЛ А В А 4 СИГНАЛЫ В СПУТНИКОВЫХ РИС ал. Овщие тревОВАния к сиГнАлАм срнс Одной иэ главных задач при проектировании СРНС является выбор радионавигационного сигнала, поскольку его тнп в значительной степени определяет построение навигационной радиолннин, характеристики передающего устройства НИСЗ и измерительной части приемоиндикатора. ' Сигналы спутниковых пассивных РНС должны обеспечивать заданные точность измерения радионавигационных параметров (РНП) и вероятность ' декодирования служебной информации; минимальную мощность излучения передатчика НИСЗ прн ограниченной ширине полосы излучения (ШПИ); разделимость сигналов от различных НИСЗ в многоспутниковых системах; устойчивость к помехам многолучевостн, к помехам по радиодиапазоиу и к организованным помехам; ограниченность аппаратурных затрат на П и (для некоторых систем) возможность повышения точностных характеристик с развитием системы, в том числе элементной базы.

Характеристики

Список файлов книги