Шебшаевич В.С. Сетевые спутниковые радионавигационные системы (2-е изд., 1993) (1151869), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ф. Гауссом,— метод наименьших квадратов, который успешно применяется тогда, когда измерения можно считать независимыми, а их погрешности нормально распределенными. В $3.2 па примере этого метода будут рассмотрены осповныс понятии н приемы, применяемые при статистической обработке результатов измерений. При использовании метода наименьших квадратов резуль. таты измерения обрабатывают по полной их выборке. Однако при этом на каждом последующем итерационном цикле полезно используется не вся априорная информация, так как учитываются только приближения определяемых параметров, относящиеся к предшествующим циклам.
4а Другой оптимальный метод, применение которого особенно выгодно на борту подвижных объектов, относится к методам обработки по выборке нарастающего объема. Особенности этого метода, именуемого рекуррентным (или методом динамической фильтрации), состоят в том, что допускается наращивание массива результатов измерений любыми порциями, вплоть до единичного измерения, а для перехода от некоторого А-го итерационного цикла к (й+ !)-му применяются однотипные рекуррентные соотношения. Данное свойство метода предопределяет применение его для обработки информации в СРНС с последовательными измерениями. Следует отметить, что в задачах уточнения параметров движения допустимо применять линеаризацию навигационных уравнений в окрестности расчетных значений оцениваемых параметров. В системах решаемых уравнений оцениваемые величины и результат измерения связываются линейными зависимостями, что не может, однако, не привести к погрешностям решений.
В этих условиях важно обеспечить сходимость итерационного процесса, т. е. последовательное уменьшение погрешностей определяемых параметров от одной итерации к другой. Сходнмость выступает как важная характеристика вычислительного процесса. Для каждого из применяемых методов заранее определяют те предельные погрешности априорных значений параметров, при которых навигационное решение будет быстро и надежно сходиться. здь математические основы оге едеяения ПО ПОЯНОЯ ВЫЕОРКЕ ИЗМЕРЕНИЯ Рассмотрим основы статистической обработки полной выборки результатов измерений применительно к процедуре метода наименьших квадратов.
Ради упрощения будем считать, что определяются всего три параметра — сферические координаты у, Х н р неподвижного П. Навигационные параметры, измеряемые по сигналам НИСЗ, обозначим )г„их расчетные значения )гм„а общее число измерений л. Пространственное положение НИСЗ задается геоцентрическими координатами х„у, и г,. Координаты П н НИСЗ обозначим соответственно д; (1=1, 2, 3) и 1',1; (1=1, 2, 3).
Общее выражение навигационной функции для измерений в момент й имеет вид И~ 1Цуь дь Чх,' Ян, Яя, 9ц) (3.1) Конкретное выражение определяется, естественно, аидом НП и, например, для дальномерного метода измерений будет записываться в виде (2.2) П =[(х„— х) +(Ун — У) +(хв — х) 1 Если имеются результаты и измерений: Яь )ть...,)г„, то может быть составлена система уравнений Рэ Я;=й(;(дь дз, дз', Ян, Язь 11з;), 1=1, 2, ..., л, (3.2) в которой различные строки могут относиться как к измерениям по одному и тому же НИСЗ, но в разные моменты времени, так н к измерениям по различным НИСЗ (одновременным илн разновременным).
Для линеаризации системы (3.2) в окрестностях расчетных значений. определяемых параметров вычисляют значения до; либо с помощью априорной информации, либо с помощью решения каких-то трех совместных уравнений системы (3.2), что позволяет рассчитывать значения измеряемых параметров г(з Тогда получаетея система уравнений для расчетных значений: Йо =В(с>оь Чоз, 4оз', Я», Язь Ям), 1=1, 2,...,л. (3.3) Разность измеренных и расчетных параметров можно выразить через поправки 6; (/=1, 2, 3) к приближенным значениям координат дз; и далее обработку вести до получения наилучшей оценки этих поправок с использованием всей наличной измерительной информации.
Тогда можно записать й — йм=/(з(зрю+бр,' Хо+бз; ро+бр, '(Зи, 9з„(Ь) — Рз(<ро,'Хо, ро', Ф' Язь С/з). 1=1, 2, ..., л. (3.4) Лннеариэация проводится путем разложения системы уравнений (3.4) в ряд Тейлора по степеням поправок 6; с удержанием первых членов разложения. После этого получится следующая система уравнений: дЯ, дА', дА', а — йР.,=( — „')6,+( — — „')бз+( — „')6„1=1,2,..., . (3.3) Входящие в систему (3.5) частные производные д)о/ддм функции )г; по координатам, отвечающим приближенно известному месту, являются постоянными для сеанса измерений. Матрица частных производных дК/доз; имеет большое значение для оценки' свойств методов навигации (см. $2.4).
Введем для этой матрицы размерностью (лХЗ) следующее обозначение: С = †, ' . (3.6) Воспользуемся далее понятиями градиентной и фундаментальной матриц (2.9) и (2.!О) и для условий данного рассмотрения запишем зхз дк дк д<р дк ду ду ат дх дк дк д~р дХ аг, дя, дя, дк ду дк ап„дл„ал„ дк ау дк ар ду др дк ар Заметим, что число столбцов матрицы Г совпадает с числом строк матрицы Ф, что дает. основание образовать произведение этих матриц.
Выполнив матричное перемножение, убедимся, что полученная матрица и есть матрица (З.б) коэффициентов системы линейных уравнений (3.5). В этой матрице каждый элемент представляет собой трехчлен вида (2.8). К примеру элемент с индексами 1=1 и 1=2 развертывается как ад~ дя~ аз дл~ ау дл~ ддоз дк дк ду дь дз дЛ вЂ” — — + — +— (3.7) Итак, имеет место соотношение С= ГФ. (3.8) Последние преобразования показали достаточную компактность записи. Именно поэтому в алгоритмах обработки измерительной информации в настоящее время широко употребляется матричный способ описания. Можно и всю систему уравнений (3.5) записать в виде компактного матричного соотношения.
Введем столбцовую матрицу Ь поправок 6~ к уточняемым координатам зх~ 61 62 бз (3.9) (х=СЛ= ГФЬ. (3.5') Обратим внимание на то, что в системе (3.5) различныс уравнения могут иметь неодинаковые размерности, поскольку разности Яз — Ям могут соответствовать различным измерениям навигационных параметров, а среди однородных параметров найдутся неравноточные, относящиеся к измерениям по разлнч- 51 а также матрицу-столбец К из разностей измеренного и расчетного значений НП )х= 11Яз — Яо,~~ = 11г;11, 1= 1,2,...,п.
(3.10) Тогда в результате перемножения матриц С размерности (лХЗ) и А размерности (ЗХ1) можно получить матрицу-столбец размерности (и Х 1), которая полностью совпадает с матрицей правых частей системы уравнений (3.5). В то же время по определению матрицей Я размерности (пХ1) описывается совокупность левых частей системы рассматриваемых уравнений. Поэтому система исходных липеаризоваппых уравнений представится в матричной звписи кпк ным НИСЗ.
Ради придания системе (3.5) однородности целесообразно привести все разности !с,— !!з; к безразмерному, виду. Для этого левые и правые части системы (3.5) домножаются иа весовые коэффициенты, имеющие размерность, обратную размерности !т — !топ р; = Л~/онт (3.11) р, О Рз О 'р„ Рз= (3. ! 3) то выполненное домножение левых и правых частей системы уравнений на весовые коэффициенты можно представить как матричные операции умножения, приводящие к матриЧному виду системы условных уравнений: Рой = РоСЛ. (3.12') Далее к системе условных уравнений применяют процедуру метода наименьших квадратов, основанную на следующих соображениях.
Система (3.12) является системой и уравнений с тремя неизвестными. Если только эти и уравнений независимы, то какая-то совокупность трех поправок 6; не может удовлетворить этой системе и при подстановке б; в соответствующие уравнения левые и правые их части окажутся неравными, появится невязка этих частей, Обозначив разницу (повязку) через ц(з= = 1, 2,..., л), получим новую запись з е,= РХ д 6| — Р~г. дЧь з=! (3.14) Ее матричным эквивалентом явится выражение (3.14) Е = Ро СЬ вЂ” Рз Й где оз — дисперсия погрешностей измерения НП, а йз— некоторый масштабирующий коэффициент.
В результате, учитывая обозначения (3.10), получаем безразмерную систему уравнений з дл, дяз дл, дзт, Р г;= Р(~ )61+Рз(~ ')бз+Р(~ )бз=рзЕ д бь ! (3.12) которую именуют системой условных уравнений. Если из весовых коэффициентов рз образовать диагональную матрицу (пХл) в котором использовано представление о совокупности повязок как матрице-столбце размерности (и Х 1): Е= 1)е;11 (3.! 5) Важным обстоятельством является то, что невязки предполагаются случайными величинами. Метод наименьших квадратов позволяет найти такие наилучшие поправки к координатам бн при которых сумма квадратов нсвязок е; мннималы<а: г 'и'= Х е„= гп(п. (3.
16) 1 Рис. 3.2. Ортогональное проектяроваинс вектора К в пространстве измерений Рис. 3.!. Геометрическое истолкование оптимизации по методу наименьших квадратов 33 Сказанному можно дать геометрическое истолкование, которое сохраняет наглядность прн малой мерности пространства определяемых параметров и малом числе измерений, Примем поэтому т=2 и л=з и выполним следующее построение (рис. 3.(].
В пространстве лч =2 относительно точки с априорными координатамн (грг. Хг) построим ортогональный базис поправок б,-бг. осн которого параллельны ,соответственно осям гр и Х. Тогда система трех линейных уравнений аида (зб), отвечающих трем результатам измерений, Сггбг+Сгбг=гь (=), 2, 3, формально-геометрически может интерпретироваться как совокупность трех прямых )(г, Йг и )гг, касательных к линиям положения в окрестности априорного места (гуг, Хг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
