Пенин П.И. Системы передачи цифровой информации (1976) (1151855), страница 60
Текст из файла (страница 60)
(6.80) В кодовой комбинации, состоящей из и символов, ошибка на а позициях может произойти в самых различных сочетаниях этих позиций. Число таких сочетаний определяется выражением С =пУ(а)(п — а)1. (6.81) Следовательно, вероятность того, что в кодовой комбинации из л символов появится ошибка кратностью а 318 н Р,„= 0,5 — гвфИ~п Т,И), (6.76) (в любом сочетании позиции), определяется выражением р.=С м 'гя(1 — р «)" (6.82) Это выражение можно рассматривать как вероятность обнаруживаемой или исправляемой ошибки, так как по условию было принято, что все ошибки кратностью а и менее могут быть обнаружены или исправлены.
Если при передаче произойдут ошибки кратностью а+1 и выше, то такие ошибки уже не будут обнаружены или исправлены*. Нетрудно видеть, что полная вероятность необнаруживаемых или неисправляемых ошибок определяется выражением (6.83) Рви —— = ~ СГлдтгх(! — Р|к)" ~, где 1'=а+1, а+2, ..., и, При малой вероятности ошибки выражение (6.83) можно приближенно заменить первым членом суммы: р,ш = С'„+'р',„+'(1 — р, )" ' '. (6.84) Это выражение можно рассматривать как вероятность ошибочного приема кодовой комбинации с учетом корректирующих свойств кода. Для оценки эффективности корректирующего кода удобно пользоваться эквивалентной вероятностью ошибочного приема одного символа такого кода Р,к ( Р~~)"'' ( ) * Вообще говоря, корректирующий код способен исправлять некоторые ошибки н более высокой кратности, яем а.
Однако вес такнх ошибок среди других возможных ошибок невелнк, н зго обстоятельство можно не принимать во вннмвнне, Сравнивая эту величину с вероятностью ошибки символа для безызбыточного кода, определяемой выражением (6.74), можно установить, при каких условиях применение корректирующего кода позволяет повысить помехоустойчивость приема. Естественно, что такое сопоставление должно проводиться при некоторых одинаковых условиях (например, при одинаковой полосе занимаемых частот или одинаковой длительности кодовой комбинации и т. п.). В качестве примера рассмотрим эффективность кода Хэмминга с кодовым расстоянием Нмм=З.
Такой код позволяет обнаружить двойную ошибку или исправить одиночную. Из соотношения (6.72) следует, что л= 2" — 1, (6.86) где г — число проверочных символов. Возьмем г=З. Так как й=а — г, то с учетом выражения (6.86) нетрудно установить, что код имеет в данном случае вид (а, й) = (7, 4). Пусть передача безызбыточным 4-разрядным кодом (й=4) в гауссовском канале с оптимальным приемником характеризуется вероятностью ошибки на символ, равной р~=10-'. В соответствии с формулой (6.74) и таблицей П1 (см. приложение) находим, что вероятность р~=10-* достигается при величине у,йо=2,33.
Будем считать, что избыточность вводится за счет сокращения длительности символа первичного кода (расширения используемой полосы частот). Тогда в соответствии с соотношениями (6.75) и (6.76) имеем йРек='!тМе и,э~л=0,5 — Ф(~/4~7.2,33) 3,75 1О ° . Пусть код Хэмминга используется для обнаружения ошибок. Тогда а,в,(2 и эквивалентная вероятность необнаруживаемой ошибки определяется выражением (6.85), которое в данном случае принимает вид рм= =(%) С'трзы(1 — ры)'.
Подставив сюда найденное значение вероятности рж, получим рм=2,3 10-'(рь Этот результат показывает, что в данных условиях код Хэмминга, используемый для обнаружения двойной ошибки, оказывается эффективным. Если этот же код применять для исправления одиночных ошибок, то расчеты показывают, что при тех же условиях его эффективность ниже (в этом случае рм=3,5 1О-'). Такая особенность характерна и для других корректирующих кодов.
При заданной избыточности эффективность корректирующего кода при обнаружении ошибок всегда значительно выше эффективности этого же кода, используемого для исправления ошибок. При протяженных кодах (пЛь!) расчеты по оценке эффективности кодов становятся громоздкими. Для ориентировочных оценок можно использовать соотноше- 320 ние, полученное в работе [27]: й/и) 1/4щ . (6.87) Если это условие не выполнено, то применение корректирующего кода приведет к уменьшению помехоустойчивости.
бЛО. МЕТОДЫ КОДИРОВАНИЯ И ДЕКОДИРОВАНИЯ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ КОДОВ Кодирование систематического кода сводится к образованию необходимого числа проверочных (избыточных) символов, которые обеспечивают обнаружение или исправление ошибок заданного вида. Любую кодовую комбинацию безызбыточного двоичного кода, имеющего й информационных разрядов, можно представи~ь в виде хп, хг2, ...~ хц~ . ° ° хгм (6.88) где индекс 1 принимает одно из двух значений (1=1, 2), указывая тем самым, какой вид имеет данный символ (например, хм=1, хм=0). Введем в код избыточность, добавив к каждой кодовой комбинации (6.88) по г проверочных символов. Задача заключается в том, чтобы сформировать проверочные символы наиболее простым способом и обеспечить при этом обнаружение или исправление ожидаемого вида ошибок.
Это достигается тем, что необходимая совокупность проверочных символов (6.89) ао, зм, . агк, ° °, аы (6.90) формируется так, чтобы каждый из них представлял собой линейную комбинацию информационных символов. Для этого нужно образовать систему г линейных уравнений, каждое из которых имеет вид аы ='~ снхн(шоб2). ~=! Здесь сн — весовые коэффициенты, принимающие значение 0 или 1 в зависимости от того, должен ли участвовать данный информационный символ хн в образовании проверочного символа ам с порядковым номером й.
г1 — зтв зг1 Правило формирования кода обычно выбирают так, чтобы при декодировании имелась возможность выполнять ряд проверок на четность для некоторых, определенным образом выбранных, подмножеств информационных и проверочных символов каждой кодовой комбинации. Анализируя результаты выполненных проверок, можно обнаружить или исправить ошибку ожидаемого вида. Перй~чная нсдодпя комбинация l Рис. 6.17. Правила построения систематических кодов довольно сложны, и мы на них останавливаться не будем. Подробное рассмотрение задач, связанных с построением корректирующих кодов, можно найти в работах [11, 22). Как отмечалось выше, большим достоинством систематических кодов является сравнительная простота их технической реализации.
Кодирующее устройство (п, й)-кода состоит из л разрядного регистра сдвига и г сумматоров по модулю 2 (рис. 6.17). Регистр содержит две части: информационную, состоящую из й ячеек, и проверочную, состоящую из г ячеек. Каждый сумматор служит для формирования проверочного символа, находящегося на определенной позиции. Подключение информационных ячеек регистра к соответствующим сумматорам выполняется в соответствии с правилом построения данного корректирующего кода. Устройство работает следующим образом. Цифровая информация в виде кодовой комбинации первичного кода записывается параллельно (одновременно) в й информационных ячеек регистра.
Одновременно с этим во всех г двоичных сумматорах происходит формирование проверочных символов, которые записываются в г 322 проверочных ячейках регистра. Следующим этапом является выведение полученной кодовой комбинации из регистра. Это достигается подачей тактовых импульсов (импульсов сдвига) от генератора ГТИ. После п тактовых импульсов кодовая комбинация окажется выведенной из регистра.
При этом генератор ГТИ должен быть вновь отключен от регистра, а регистр подготавливается к записи и формированию следующей кодовой комбинации. Кодовая комбинация с выхода регистра поступает к модулятору передающей части системы связи. Принятая нооооан ноноинаиия Рас. 8.'18. Формирование корректирующих кодов с помощью регистров сдвига получило очень широкое распространение. Этот метод прост в ~реализации, позволяет создавать схемы с высокой надежностью и обеспечивает возможность изменения параметров кода в процессе работы.
Действительно, если изменить частоту следования тактовых импульсов, то изменится длительность каждого символа, а следовательно, изменится энергия кодовой комбинации, скорость передачи и т. д. Если при этом согласовано изменять соответствующие параметры в приемном устройстве, можно получить в некотором смысле адаптивную систему связи.
Рассмотрим принцип работы декодирующегоустройства, упрощенная структурная схема которого показана на рис. 6.18. Устройство состоит из и триггерных ячеек, г сумматоров по модулю 2 и анализатора ошибок. По21н 32$ следовательность символов принятой кодовой комбинации (часть этих символов может быть принята неверно из-за действия помех) записывается в п ячеек регистра и с помощью сумматоров проводится проверка на четиость для г подмножеств информационных и проверочных символов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
