Пенин П.И. Системы передачи цифровой информации (1976) (1151855), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Итак, условие исправления всех ошибок кратностью не'более а можно записать в виде ииспр~<!(йпиа — 1) /2. (6.63) Корректирующие коды можно одновременно использовать и дчя обнаружения н для исправления ошибок. В работе !1Ц указывается, что минимальное расстояние, при котором можно исправить все ошибки кратностью а или меньше и одновременно обнаружить все ошибки кратностью Ь или меньше, определяется условием й м)а+6+1, (6.64) где, в свою очередь, всегда должно иметь место условие Ь)а. 8.8.8. Оценка корректирующих возможностей линейных кодов (6.67) Вопрос о минимально необходимой избыточности, при которой код обладает нужными корректирующими свойствами, является одним из важнейших в теории кодирования. Этот вопрос до сих пор не получил полного решения.
В настоящее время известен лишь ряд верхних и нижних оценок (границ), которые устанавливают связь между максимально возможным минимальным расстоянием корректирующего кода и его избыточностью (!Ц. Чтобы дать представление о колнчествен ной стороне этих оценок, ограничимся кратким изложением двух из них только для двоичных корректирующих кодов. Нижняя граница Варшамова — Гольберга. Для больших значений и указанная граница определяется асимптотическим соотношением (1 Ц -.. Н ( Ап!и ~ ) (6 65) где Н(х) = — х!он2х — (1 — х) !об~(1 — х). Из выражения (6.65) следует г-.- лН( „! ) (6.66) а — (".„'",') Условия (6.66) я (6.67) позволяют оценить необходимое количество проверочных символов г н относительную 314 скорость передачи й/п при заданных (или выбранных) значениях п н 4ю .
Верхняя граница Хэммннга. Основываясь на резуль. татах, изложенных в [11), эту границу для двоичного корректирующего кода можно записать в виде л ~ 2п у Отсюда следуют выражения для оценки числа проверочных символов и относительной скорости передачи: (6.69) (л .— ' ~ (670 Соотношение (6.70) известно в литературе как верхняя граница Хэмминга. Кроме рассмотренной оценки, известна также оценка, называемая верхней границей Плоткина [20].
Для двоичного корректирующего кода граница Плоткина определяется выражением Г~ )2 (Нам — 1) — 1 оВ24~ип, (6.71) которое справедливо, если п~)24,м — 1. Для значений 4ы,/п~0,3 разница между границей Хэмминга и границей Плоткина сравнительно невелика. Заметим, что для некоторых частных случаев Хэмминг указал более простые соотношения, позволяющие определить необходимое число проверочных символов 1251: г=в1одз(п+1), если 4,м=3, (6.72) г~~!одз2п, ели 4ы,=4.
(6.73) Систематические коды с 4,м=3 и 4 в литературе обычно называют кодами Хэмминга. 6.9. ВОЗМОЖНОСТИ НОВЫШЕНИЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ПРИЕМА ЦИФРОВОЙ ИНФОРМАЦИИ С ПОМОЩЬЮ КОРРЕКТИРУЮЩИХ КОДОВ При передаче информации простым безызбыточным кодом достоверность приема в основном определяется типом канала и видом помех, которые в нем действуют. 315 В ряде случаев получающаяся достоверность недостаточна. Одним из путей ее повышения является применение корректирующего кода. Выбор того или иного кода и его параметров зависит от конкретных условий решаемой задачи: требуемой достоверности приема, допустимой относительной скорости передачи, вида ошибок в канале и т.
п. В теории помехоустойчивого кодирования принято различать два вида основных ошибок: статистически независимые, т. е. некоррелированные ошибки; статистически зависимые, т. е. коррелироваиные ошибки (ошибки типа пачек или пакетов). Извести1ь большое число математических моделей, позволяющих описать закономерности возникновения ошибок в различных каналах передачи цифровой информации [26, 27].
Рассмотрение вопросов применения корректирующих кодов для повышения достоверности передачи цифровой информации с учетом различных моделей ошибок представляет сложную задачу, особенно, если ошибки возникают «пачкамиж При этом для совокупности определенных условий требуется определенный код; например, если код предназначен для исправления только одиночных или двойных ошибок, то его применение в каналах с замираниями бесполезно.
Исследование подобных вопросов представляет собой большую самостоятельную проблему, которая выходит за рамки данного пособия. Основная цель дальнейшего рассмотрения состоит в том, чтобы проиллюстрировать на простом примере возможность повышения помехоустойчивости с помощью корректирующего кода и выяснить, при каких условиях применение такого кода целесообразно. При рассмотрении будем полагать, что ошибки в канале независимы, а сам канал симметричен.
Такие условия характерны для гауссовских каналов, в которых применяются посылки сигналов с одинаковыми энергиями. При независимых ошибках симметричный канал можно полностью охарактеризовать единственным параметром — вероятностью ошибочного приема символа. Все соотношения, характеризующие распределение ошибок, при этом оказываются простыми. Однако оценка корректирующих возможностей кода в таком простом случае имеет приближенный характер, и ее нужно рассматривать лишь как ориентировочную.
316 Как известно, прием цифровой информации возможен или посимвольно или в целом (27). В первом случае каждая посылка сигнала, соответствующая определенному символу кодовой комбинации, анализируется в приемном устройстве отдельно (посимвольный или по- элементный прием), а затем принимается решение, к какой из возможных кодовых комбинаций следует отнести полученную последовательность символов. Вб втором случае в приемном устройстве анализируется сразу вся принятая кодовая комбинация (прием в целом). Такой анализ предполагает, что число оптимальных (или подоптимальных) фильтров или корреляторов в приемном устройстве должно быть равно числу используемых (разрешенных) кодовых комбинаций. При посимвольном приеме условия целесообразности применения корректирующего кода более жестки, чем при приеме в целом„ поскольку помехоустойчивость приема в первом случае ниже, чем во втором '.
Посимвольный прием допускает сравнительно простую реализацию и поэтому, несмотря на более |низкую помехоустойчивость, применяется значительно шире, чем прием в целом. С учетом сказанного далее ограничимся рассмотрением только посимвольного приема кодовых комбинаций. При этом кроме принятых выше допущений о симметричности канала и независимости ошибок будем считать, что посимвольный прием осуществляется оптимально. Пусть по гауссовскому каналу передается цифровая информация с помощью безызбыточного кода, содержащего й информационных разрядов и с длительностью символов, равной те. Вероятность ошибочного приема символа в этом случае определяется выражением рт= 0,5 Ф ( тойо) (6.74) где ггза= Ео1Ио Рете7Руо.
Применение корректирующего кода означает увеличение,избыточности в используемых комбинациях. Допустим, что теперь каждая кодовая комбинация состоит из л символов. Здесь, в свою очередь, возможны два случая: 1) увеличение и производится при сохранении прежней длительности кодовой комбинации (та=йто= " Заметим, что даи безызбыточиого кода посимвольный прием и прием в целом обеспечивают одииаковую помехоустойчивость [27).
317 =сова(); 2) увеличение а производится при сохранении прежней длительности символа (то=сопз1). Нетрудно видеть, что в первом случае з — '" — ~ з И'Фи — — — — — И'э У, и (6.75) где Ры — вероятность ошибочного приема символа в кодированной пбследовательности. Во втором случае Ио«=Ио н Ры=рь (6.77) Чтобы оценить возможность повышения помехоустойчивости с помощью корректирующего кода, найдем вероятность неправильного приема отдельного символа с учетом корректирующих свойств кода. Поскольку такой код позволяет обнаружить или исправить часть ошибок, то, очевидно, не все ошибки в приеме отдельных символов имеют значение.
Пусть кратность обнаруживаемой или исправляемой ошибки равна а. Тогда вероятность того, что в кодовой комбинации, 'состоящей из и символов, каждый из которых может быть принят с вероятностью ошибки рвь произойдет ошибка на а позициях кода, равна (6.78) Раот=Р вь Вероятность того, что на остальных (а — а) позициях ошибки не будет, равна Р<п — а>птав= (1 — Ры) ~ ~. (6.79) Вероятность совместного события, состоящего в том, что в данной кодовой комбинации на а позициях произошла ошибка, а на п — а позициях ошибки нет, равна Р=Р'ы(1 — Ры)" '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
