Автореферат (1150979), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Все три вероятности в сумме составляют единицу.Цензурированное содержание индивидуальных досрочных возвратов усложняетструктуру случайной ошибки. Мы можем показать это как: (ti )   (uti )( ti )    h (  0i ,  1i , x t )   h (ti ),(14.1)(uti )  (ti ) ( uti )222Var ( ti )   1  h (ti )  100    (  0i ,  1i , x t )    (ti ). (14.2)u(ti )  (ti ) Ошибка в модели досрочного погашения ипотечных кредитов имеет ненулевоезначение и еѐ колебание носит гетероскедастический характер ( Var ( ti ) есть функция от xt).В начале жизни (t = 0) ипотечный пул состоит из n0 ипотечных кредитов сфиксированной ставкой и имеет срок погашение T.

После того как переводные ипотечныеценные бумаги выпущены, количество ипотечных кредитов в пуле может снизиться(например, nt   nt  n0 ). Общий размер пула в начальном периоде есть B0. Каждый2ипотечный кредит добавляет в пул B0i, так что B0   B0i . В начале жизни пуласредневзвешенная ипотечная процентная ставка составляет r   0i ri , а средняя срочностькредитов есть T месяцев. Скалярный фактор  0i представляет соответствующий вес каждогокредита в t = 0, или ti  Bti / Bt .

В своей отправной точке поток платежей по ценнымбумагам составляет денежные средства, исходящие от n0 ипотечных кредитов. К концу потокплатежей определяется досрочными возвратами в пуле. Чтобы сформировать модель, мыдопустим, что индивидуальные досрочные возвраты выражаются уравнениями 12.1 и 12.2.Досрочное погашение кредитов в пуле в любом месяце – это сумма всех индивидуальныхдосрочных возвратов. Агрегированная величина досрочных возвратов в пуле алгебраическиможет быть определена как:Pt   0t  1t x t   t ,(15)так что Pt   ti p ti* ,  kt   ti  ik (k = 0,1) и  t   ti  ti .Следует заметить, что факторы  0t и  1t являются временными вариациями,означающими, что наклон и пересечение функции досрочного погашения со временем18меняются. Поскольку заѐмщики не заменяются, когда они за счѐт досрочного погашениявыходят из пула, состав пула претерпевает изменения.

В нашей простой модели, гдевеличина досрочных возвратов определяется общим фактором xt, наклон функциидосрочного погашения будет небольшим, если существует незначительное влияние факторовдосрочного погашения. В этом диапазоне мы можем наблюдать малые досрочные возвраты,исходящие из нестандартных случаев. Наклон функции возрастает по мере того, какувеличивается влияние факторов. Поскольку индивидуальные досрочные возвраты имеютгетероскедастическое свойство и ненулевое значение, то досрочные возвраты будут иметьаналогичную структуру:t nti 1Var ( t )  2tih(ti ),(16)nt  (i 1titi).(17)Структура ошибки досрочных возвратов также является гетероскедастической в томсмысле, что вариация зависит от xt. Уравнения 16, 17 могут быть упрощены путѐмлинеаризации функций h * (ti , ti )  ti h(ti ) и  * (ti , ti )  ti (ti ). Используя правилоТейлора о многомерном приближении, мы можем модифицировать эти функции в:(18)( t )   [ 0  1 x1   2 x t2     k x tk ]   h( x t ),(19)Var ( t )   2 [ 0   t x t   2 x t2     k x tk ]   2 ( x t ),где k представляет многочленный порядок разложения в ряд Тейлора.Таким образом, аддитивная форма гетероскедастичности, которая зависит отскалярного внешнего фактора, может приближать структуру ошибки функции досрочногопогашения xt.Уравнение 19 открывает интересную находку.

Вариация ошибки припрогнозировании досрочного погашения также зависит от xt. Под этим отношениемпредполагается, что статистический вывод при большом влиянии факторов досрочногопогашения тем неопределѐннее, чем шире доверительный интервал для прогноза досрочныхвозвратов. Мы можем использовать аппроксимацию Тейлора тем же образом, чтобыопределить теоретическую структуру функции досрочного погашения. Агрегированнаявеличина досрочных возвратов в пуле может быть выражена как:( t )  [ 0  1 x t   2 x t2     k x tk ].(20)Таким образом, агрегированная функция досрочного погашения является нелинейной.Но что более важно, эта нелинейная функция может быть легко приближена с помощьюмногочленной регрессионной модели, если считать, что xt полностью известен. Наширассуждения можно обобщить в том случае, где решение заѐмщика о досрочном погашенииипотечного кредита находится под влиянием нескольких переменных, представленныхвекторным рядом x t   (1, x t1 , x t 2 ,, x tp ).

В этом многофакторном случае мы можемпоказать, что ошибки при прогнозировании досрочного погашения будут иметьгетероскедастическоесвойство,хотяфункциональнаяформааддитивнойгетероскедастичности более сложна.7. Разработана и обоснована методика для прогнозирования денежного потока поипотечным ценным бумагам в целях управления риском влияния кривой доходностина выплаты по ипотечным ценным бумагам.Поскольку с помощью эффективной дюрации можно оценивать колебание цен вусловиях параллельного смещения кривой доходности государственных ценных бумаг инеизменности других факторов риска, то еѐ можно рассматривать как меру чувствительностицены ипотечной облигации к параллельному сдвигу кривой доходности.

Для определениячувствительности цены ипотечной облигации к любому другому фактору риска kнеобходимо рассчитывать частичную дюрацию. Если P(  k ) выражает цену ипотечной19облигации при изменении фактора риска k на  k и отсутствии изменений любых другихфакторов риска, то:P(   k )  P(  k )(21)Dk  100,Pk 2где D k – это дюрация для фактора k, которым может быть выпуклость, спред текущей ставкипроцента, волатильность, спред с учѐтом опциона, изменение кривой доходностигосударственных ценных бумаг; P – цена ипотечной облигации.Символами k1 ,, k n выразим указанные факторы риска.

k1 , , k n , влияющие на Р,можно представить с помощью расширенного ряда Тейлора:N P1 2PIS2(22) P   ki k,i22 k ii 1  k i HEгде IS – пересечение; HE – величины более высокого порядка; N – число наблюдений.Если разделить обе части равенства 22 на Р, то получим процентное изменение цены: P 1 N  P1 2PIS2(23)  ki k.i2PP i 1  k i2 k i HEВ соответствии с равенствами 21 и 23 частичную дюрацию к k можно записать как1 2P1 P, а частичную выпуклость к k как C k .

Согласно этим допущениям,Dk  P k 2P kуравнение 23 принимает следующий вид:P N 1IS2(24)    Dk  k i  C k  k i  .iiP2 HEi 1 Если учитывать только риск изменения эталонной ставки, волатильность, спредтекущей ставки процента и спред с учѐтом опциона, а также элиминировать величины болеевысокого порядка, за исключением выпуклости кривой доходности государственных ценныхбумаг, то уравнение 24 можно записать как:P1(25)  Ds  s  Dv  v  Dc  c   Dr  ri   C r (  ri ) 2 ,iiP2где s – спред с учѐтом опциона; v – волатильность; с – спред текущей ставки процента; ri –ключевые точки кривой доходности государственных ценных бумаг.Представим эффективную дюрацию и выпуклость символами Dr и Cr соответственнопри некоторой r.

Пренебрегая величинами более высокого порядка, Dr   Dr иC r   C r . Таким образом, уравнение 25 записываем как:iiP1(26)  Ds  s  Dv  v  Dc  c  Dr  r  C r  r 2   Dr (  ri   r ),iP2где элиминируем член (  ri2   r 2 ). Заметим, что (  ri   r )  ( ri  r ) необходим дляоценки изменения формы кривой доходности государственных ценных бумаг.Стандартный расчѐт эффективной дюрации производится следующим образом: 1) дляданной Р рассчитывается спред с учѐтом опциона; 2) кривая доходности сдвигаетсяпараллельно вверх на  r и ипотечная облигация переоценивается по первоначальномуспреду с учѐтом опциона (цена Р+); 3) кривая доходности сдвигается параллельно вниз на r и ипотечная облигация переоценивается по первоначальному спреду с учѐтом опциона(цена Р–).

Таким образом, формула эффективной дюрации записывается как:(P   P  )D EF  100.(27)Pr220Поскольку мера эффективной дюрации всѐ же имеет широкое применение дляанализа движения цен ипотечных ценных бумаг, мы считаем целесообразным использоватьотклонение фактического изменения цены от изменения, спрогнозированного на основеэффективной дюрации.

Если выразить параллельный сдвиг кривой доходностигосударственных ценных бумаг и постоянство других факторов риска как ri   r,  s  0,  c  0,  v  0 и элиминировать величины более высокого порядка, тоуравнение 26 принимает вид:P1(28)  Dr  r  C r  r 2 .P2Допустим  r  0. Тогда, если ставки снижаются на  r , то уравнение 28 можнозаписать как:P  P1(29)  Dr  r  C r  r 2 .P2Если ставки поднимаются на  r , то уравнение 28 преобразуется в:P  P1(30) Dr  r  C r  r 2 .P2Разность между уравнением 30 и уравнением 29 равна:P  P(31) 2 Dr  r.PТогда эффективную дюрацию можно представить как: P  P   1 1 P(32) P   2 r   Dr   P  r .Таким образом, для  r прогнозируемое процентное изменение цены на основеэффективной дюрации составит: Pˆ  D EF  r  Dr  r.(33)PОтклонение фактического изменения цены от изменения, спрогнозированного наоснове эффективной дюрации, приблизительно оценивается посредством вычитанияравенства 26 из равенства 33: P  Pˆ1  Ds  s  Dv  v  Dc  c  C r  r 2   Dr (  ri   r ).(34)iPP2Определение эмпирических дюраций обычно осуществляется с использованиемлинейной регрессионной модели по формуле:Yt     X t   t ,(35) P Pt  Pt 1где Yt , или пропорциональное изменение цены, или дневное изменениеPPt 1доходности; X t   rt  rt  rt 1 ;  – текущая эффективная дюрация;  – константа(вводится в формулу по той причине, что константа элиминирует тренд и предотвращаетискажение  , которое может произойти в результате включения ценовых изменений, несвязанных с изменением уровня доходности);  t – случайная ошибка.Минимизация по наименьшим квадратам даѐт формулу оценки наклона:1Yt X t   Yt  X tNˆ  ,(36)122 X t  N  X t 21где N – число наблюдений.

После этого ˆ принимается за эмпирическую дюрацию.Следует обратить внимание, что выражение 35 демонстрирует константность  и  .В противоположность такому подходу приведѐм уравнение 26. Исходя из этого уравнения иэлиминируя величины более высокого порядка, следует:P 1(37)  Ds  s  Dv  v  Dc  c  C r  r 2   Dr (  ri   r )  Dr  r.iP2Пусть  t является значением члена в квадратных скобках для дня t, а  t  Dr .Следовательно:(38)Yt   t   t X t   t ,где  t представляет иное влияние на  P / P , чем то, которое показано в равенстве 37.Если Y t из выражения 38 подставить в равенство 36, то числитель принимает вид:Y Xtt1NY  Xtt  ( t   t  rt   t )  rt 1N (t  t  rt   t )  r t (39)111   t  rt    t (  rt )    t  rt    t   rt    t  rt    t   rt .NNNПусть  выражает текущее значение  t , т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации