Диссертация (1150919), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Эллипсоид с центром в начале координатEx = {x ∈ Rn : xT P −1 x ≤ 1}, P ≺ 0,называется инвариантным для системы (1.15), если из условия x0 ∈ Exследует xk ∈ Ex для всех моментов времени k > 0 и всех допустимыхвозмущений wk . Матрица P называется матрицей эллипсоида Ex .Следующая теорема из [29] дает обоснование решения задачи фильтрации для дискретного случая. Обозначим через I единичную матрицусоответствующей размерности.Т е о р е м а 1.
Пусть Q̂, Ŷ — решение задачиT r[H] → minпри ограничениях−αQ AT Q − C T Y T0−QQD1 − Y D2 0, ∗∗∗−(1 − α)IH II Q! 0,Q 0,относительно матричных переменных Q = QT ∈ Rn×n , Y ∈ Rn×l ,H = H T ∈ Rn×n и скалярного параметра 0 < α < 1.Тогда матрица оптимального фильтра дается выражениемL̂ = Q̂−1 Ŷ ,а минимальный инвариантный эллипсоид, содержащий невязку ek си-33стемы (1.15), (1.16) с x0 = 0, определяется матрицейP̂ = Q̂−1 .Аналитический центр линейного матричного неравенстваПонятие аналитического центра линейного матричного неравенстваиграет важную роль в методах внутреней точки. Напомним, что методвнутренней точки — это метод позволяющий решать задачи выпуклойоптимизации с условиями, заданными в виде неравенств, сводя исходнуюзадачу к задаче выпуклой оптимизации.Рассмотрим линейное матричное неравенствоF (x) = F0 +lXxi Fi > 0,i=1где Fi = FiT ∈ Rn×n . Функция видаlog det F (x)−1 еслиF (x) > 0,φ(x) =∞в противном случае,конечна тогда и только тогда, когда F (x) > 0 и становится бесконечной,если x приближается к границе множества {x|F (x) > 0}, т.
е. являетсяграничной функцией этого множества.Предполагается, что множество непусто и конечно, что, в свою очередь, подразумевает линейную независимость матриц F1 , . . . , Fl . Можнопоказать, что функция φ(x) является строго выпуклой на множестве иследовательно имеет единственную точку экстремума, которую обозначим через x∗ :x∗ = argmin φ(x).xЗначение x∗ называется аналитическим центром линейного матрич-34ного неравенства F (x) > 0, что эквивалентно следующемуx∗ = argmax det F (x).F (x)>0В этом случае F (x∗ ) имеет максимальное значение определителя средивсех положительно-определенных матриц вида F (x).Перейдем теперь к задаче вычисления аналитического центра LMI.Для эффективного вычисления x∗ может быть использован метод Ньютона с подходящим размером шага.
Рассмотрим алгоритм:xk+1 = xk − αk H(xk )−1 g(xk ),где αk — размер шага на итерации k, g(xk ) — градиент функции φ(x)в точке xk , H(xk ) — гессиан функции φ(x) в точке xk . В [80] Ю. Е.Нестеров и А. С. Немировский дали простое правило для выбора размерашага алгоритма, подходящее для общего класса граничных функций и,в частности, функции φ, а именно:1если δ(xk ) ≤ 1/4,(1.17)αk =1/(1 + δ(xk )) в противном случае,pгде δ(xk ) = g(x)T H(x)−1 g(x). Ю.
Е. Нестеров и А. С. Немировский [80]показали, что при таком размере шага F (xk ) > 0 и последовательностьxk сходится к x∗ .Они также дали оценку на количество шагов, необходимых для сходимости к x∗ , при заданном уровне точности для метода Ньютона и размером шага вида (1.17). Они доказали, что φ(xk ) − φ(x∗ ) ≤ приk ≥ c1 + c2 log log(1/) + c3 (φ(x0 ) − φ(x∗ )),где c1 , c2 , c3 — константы.35l1 -оптимизацияПри решении комплексных задач с помощью распределенного наборанаблюдателей приходится учитывать дополнительные технические трудности связанные с возможностями организации коллективного взаимодействия, среди которых ограничения пропускной способности каналовданных, помехи при передачи данных, сетевые задержки, обрывы связеймежду наблюдателями.
Кроме того, в таких системах зачастую применяют “простые” наблюдающие устройства, которые обладают ограниченными вычислительными ресурсами и требуют повышенной энергоэффективности. Вследствие этого требуется разработка ресурсоэффективныхалгоритмов управления наблюдателями, способных функционировать вусловиях неопределенностей. Это актуализирует проблемы формирования подгрупп наблюдателей для назначения их определенным подзадачам и исследования возможностей повышения эффективности выполнения общей задачи путем оптимизации разделения наблюдателей на подгруппы, так как в общем виде проблемы оптимизации подобного родаотносятся к классу трудоемких переборных задач, сложность которыхповышается при увеличении общего количества наблюдателей и количества подзадач. В работе [31] для решения подобных проблем предлагается воспользоваться “овыпуклением” задачи, основанном на использовании специальных матричных форм, и получить субоптимальное разреженное решение.
Для нахождения субоптимального решения при этомиспользуется техника линейных матричных неравенств.Математическая задача в этом случае сводится к минимизации суммы ненулевых компонент вектора, определяемого l0 -“нормой”:kxk0 =νX|sign xi |.i=1Поскольку l0 -“норма” невупукла, вместо нее используется векторнаяl1 -норма. Минимум l1 -нормы на множестве, образованном выпуклымиограничениями, в соответствии с Леммой 1 из [31] (см. также [13]) будет36являться хорошей аппроксимацией разреженного решения.Л е м м а 1.
Если задачаkxk1 → min при ограничении Ax = b,где A ∈ Rm×n , B ∈ Rm , x ∈ Rn , m < n, разрешима, то найдется еерешение x̂, имеющее не более m ненулевых компонент.1.2Мультиагентный подходВ последнее время распределенные системы находят широкое применение в различных областях, связанных с деятельностью человека.Среди таких областей можно выделить энергетику, логистику и промышленность.
Стали появляться технологические концепции, связанныес построением систем, состоящих из множества соединенных друг с другом устройств. Для примера можно отметить концепции Интернета вещей и “умных городов”. В настоящее время активно развиваются методы формирования и построения подобных сложных систем на основемультиагентного подхода, который зачастую применяется для управления группами наблюдателей, выполняющих общую задачу или задачу сразделяющимися целями в условиях неопределенностей [10]. В мультиагентных технологиях, в отличие от “традиционного” централизованногоподхода, вместо одного наблюдателя рассматривается огромное множество наборов наблюдателей (агентов) вида{сенсор + вычислитель + актуатор},которые действуют автономно и распределены в пространстве.
Различные практические примеры показывают, что для адекватного описаниямногих задач достаточно предположить только возможности локального взаимодействия агентов (каждый агент взаимодействует только снесколькими, называемыми соседями, а не со всеми) при этом все вместе37агенты способны достигать общих для системы целей.
В таких условияхпри достаточно общих предположениях множество агентов кластеризуется в том смысле, что большие группы агентов показывают одинаковоеповедение. Это дает возможность замены решения исходной задачи впространстве огромной размерности на исследования многих простыходнотипных задач и одной общей, но существенно упрощенной задачи впространстве с размерностью пропорциональной получившемуся количеству кластеров.1.3Управление группами агентов вдинамической средеВ [17,52] рассматривается задача управления роем динамических объектов на основании согласования значений потенциалов движения объектов внутри роя.
Роем называется достаточно многочисленное множествоD динамических объектов (агентов) di (i = 1, . . . , n), совместное взаимодействие которых обеспечивает решение некоторого множества задачP = {p1 , . . . , pm }. При этом вводятся следующие предположения:• Все агенты di (i = 1, . . . , n) одинаковы.• Агент di ∈ D может осуществлять обмен сообщениями с некоторымподмножеством агентов Dti ⊂ D, находящихся в пределах некоторой зоны, ограниченной радиусом R, которую обычно называют“зоной видимости”. С помощью такого информационного обменаагенту di может быть доступна информация о состоянии агентовподмножества Dti .• Агент di старается двигаться на расстоянии не ближе r от своихближайших соседей.• Для решения поставленных задач pk ∈ P , оператор предоставляеткаждому агенту di карту потенциалов, определяющую перспектив38ность движения в определенном направлении.
Однако, у агентовнет сведений о наличии преград на пути следования. По мере движения у каждого агента формируется собственная потенциальнаякартина мира.• Движение каждого агента di характеризуется направлением xit изначением потенциала выбранного пути qti .• Каждый агент обладает базой знаний об окружающем мире, которую он пополняет по пути следования (на основе датчиков, методов компьютерного зрения, информации от соседей, пересчетазначения потенциала пути и т. д.).• Потенциальная функция характеризует возможность достиженияцели st при сохранении движения в направлении xit .
Например, приизвестном направлении на цель sit для агента i в момент времени tможно положить qti = qti (xit ) = hxit , sit i.• Каждый агент при окончательном определении направления движения старается выбрать маршрут так, чтобы избежать столкновений. Например, можно задать функцию ϕ(xit ), которая отклоняетдвижение в случайном направлении в том случае, если агент i обнаруживает препятствие в направлении xit на расстоянии ближе r.Для формирования управления каждый агент di ∈ D в момент времени t = 0, 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
