Диссертация (1150919), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

По мере увеличения сложностисистем “традиционные” подходы, в которых используются централизованные элементы, оказываются недостаточными. Ограниченная вычислительная мощность центрального узла не позволяет масштабироватьсистему в целом. Кроме того, в большой системе приходится иметь дело с серьезными коммуникационными проблемами, такими как высокиезадержки в передаче данных, потеря пакетов и т. п. Для таких задачв [42] предложен метод спектральной кластеризации данных большихмасштабов, в [75] рассмотрен метод агрегации данных с большого числаустройств, а в [87] — метод диагностики неисправностей в распределенных системах.Спалл в [98, 99] исследовал методы циклической стохастической аппроксимации, в которых вектор оцениваемых параметров разбивается на26две или более части, называемые в дальнейшем подвекторами, а процессобновления оценки заключается в последовательном оценивании каждого из подвекторов при поддержании значений оставшихся частей в актуальном состоянии, объединение значений оцениваемого вектора происходит потом в синхронном или асинхронном режиме.

В последнее времяэти методы активно развиваются для мультиагентных систем [58–61].Особенность циклической оптимизации состоит в том, что на каждой итерации требуется вычисление “направления” для очередного шага только для некоторой части вектора параметров. Благодаря такомуподходу существует возможность сокращения вычислительной сложности процедуры оптимизации в задачах высокой размерности, что, в своюочередь, приводит к повышению численной эффективности (повышениюскорости вычислений и сокращению объема памяти, требуемого для хранения данных при вычислениях). Эти аспекты чрезвычайно важны прирешении задачи об оценивании траекторий большой группы движущихся объектов с помощью набора распределенных в пространстве сенсоров.При увеличении числа наблюдателей (сенсоров) и целей (движущихсяобъектов) значительно повышается вычислительная сложность процедуры оптимизации. Несмотря на значительное расширение способностейнаблюдателей, их вычислительные и коммуникационные возможностизачастую остаются ограниченными, что мотивирует разработки новыхподходов, которые с теоретической точки зрения будут довольно строгими, но при этом будут “простыми” для практического применения.1.1.3Линейные матричные неравенстваПри случайных независимых гауссовских возмущениях задача фильтрации допускает фактически исчерпывающее решение с помощью фильтра Калмана.

Однако, во многих практических приложениях предположение о случайности шумов является неоправданным, при этом известнолишь то, что все возмущения являются ограниченными, а в остальномпроизвольными. В этом случае можно строить гарантированные, а не27вероятностные оценки состояний неизвестных параметров системы. Длялинейных стационарных систем ищется такая оценка состояния, при которой ошибка была бы гарантированно заключена в эллипсоид для всехмоментов времени.

Сам фильтр также ищется в классе линейных стационарных фильтров. В этом классе задач и оценок проблема оказываетсяполностью разрешимой, то есть удается построить оптимальный фильтри оценку состояния. Настоящий подраздел составлен на основе материалов из [29,45] и служит в качестве дополнения, позволяющего лучше понять рассуждения приводимые в следующей главе при решении задачиоптимизация распределения объектов наблюдения между наблюдателями.Большой класс практических задач в теории управления можно свести к выпуклым или квазивыпуклам оптимизационным проблемам, предоставляющим возможность привлечения техники линейных матричныхнеравенств [45].

В теории анализа динамических систем техника линейных матричных неравенств известна уже более ста лет, начиная с работы А. М. Ляпунова в 1890 году [72]. Он показал, что дифференциальноеуравнение(1.12)dx(t) = Ax(t)dtустойчиво (т. е. все траектории системы сходятся к нулю), тогда и толькотогда, когда существует положительно определенная матрица P , такаячто(1.13)AT P + P A < 0.При этом условие P > 0, AT P + P A < 0 на сегодняшний день в литературе называют неравенством Ляпунова относительно матрицы P , которое является особым видом линейных матричных неравенств. Ляпуновпоказал, что решение этого LMI может быть найдено в явном виде.

Можно выбрать любую матрицу Q = QT > 0 и решить линейное уравнение28AT P + P A = −Q относительно матрицы P , которая гарантированно является положительно-определенной в случае устойчивости (1.12). Такимобразом, первым линейным матричным неравенством, использованнымдля анализа динамической системы, было неравенство Ляпунова (1.13),решение которого может быть найдено аналитически путем решения набора линейных уравнений.Начиная с 1940-х годов А. И. Лурье, В. Н. Постников [70, 71] и другие стали применять методы Ляпунова в инженерных задачах для решения проблемы устойчивости системы управления с нелинейностямив силовом приводе.

Несмотря на то, что они не стремились к формированию матричных неравенств, их критерий устойчивости оказался вформе линейных матричных неравенств. В последствии полученные линейные матричные неравенства были решен аналитически вручную, чтоестественным образом ограничивало применимость подхода.Последующее развитие техника линейных матричных неравенств получила в начале 1960 годов в работах В. А. Якубовича [109, 110], В. М.Попова [33, 34], Р. Э. Калмана [67] и других исследователей.

Им удалосьсвести решение линейных матричных неравенств к простому графическому критерию, тем самым решив проблему, возникшую у А. И. Лурье.В результате это привело к появлению критерия Цыпкина, критериюПопова и других. Появившиеся критерии могут быть применены к системам более высоких порядков, однако, они плохо распространяются насистемы, содержащие более одной компоненты нелинейности.

Основнойвклад упомянутых выше работ состоял в демонстрации подхода к решению определенного класса линейных матричных неравенств с помощьюграфических моделей.К 1970 году было выявлено, что линейное матричное неравенство излеммы Калмана-Якубовича-Попопова может быть решено не только спомощью графических моделей, но и с помощью решения определенного алгебраического уравнения Риккати [111]. Затем появился ряд методов для решения конкретных видов линейных матричных неравенств.29В 1980-х годах появилась возможность решение линейных матричныхнеравенств на вычислительных устройствах посредством решения задачи выпуклого программирования [68], были разработаны и апробированы методы внутренней точки [79, 80].Основные понятия и свойстваРассмотрим следующую линейную матричнозначную функцию векторного аргумента x ∈ Rl :F (x) = F0 +lXxi F i ,i=1где Fi = FiT ∈ Sn×n , i = 1, .

. . , l — известные фиксированные вещественные симметричные матрицы, а xi , i = 1, . . . , l — скалярные переменные.Запись(1.14)F (x) ≺ 0,где ≺ — символ знакоопределенности матрицы, называется линейнымматричным неравенством в канонической форме относительно переменных x1 , . . . , xl .Линейные матричные неравенства представляют собой весьма богатый класс ограничений, в том числе и встречающихся в области управления. При этом одним из самых важных свойств линейных матричныхнеравенств является выпуклость множества его решений, которая позволяет формулировать многие задачи оптимального управления в видезадач выпуклого программирования.Еще одно свойство, полезное при практической реализации, состоитв том, что несколько линейных матричных неравенств Fj (x) ≺ 0, j =301, . .

. , m представимы в блочно-диагональной форме, а именноF1 (X)... ≺ 0.Fm (x)Такое свойство позволяет не делать разницы между системой линейныхматричных неравенств и одним неравенством.Далее рассмотрим одно из важных понятий.О п р е д е л е н и е 1. Совокупность точекDf eas = {x ∈ Rl : F (x) 0}называется допустимой областью линейного матричного неравенстваF (x) 0.Множество Df eas представляет собой совокупность решений линейного матричного неравенства. Отмечается, что если строгое неравенство(1.14) разрешимо, то и соответствующее нестрогое — тоже.Введем в рассмотрение две основные проблемы теории линейных матричных неравенств.О п р е д е л е н и е 2. Задача разрешимости (допустимости) заключается в отыскании некоторой точки x ∈ Df eas или в доказательстветого, что такой точки не существует.Следующая задача относится к оптимизации критерия на множестве,заданном линейными матричными неравенствами.О п р е д е л е н и е 3.

Задача минимизации линейной функцииcT x → minпри LMI-ограниченияхFi (x) 031называется задачей полуопределенного программирования.Отметим, что в последующей главе задача оптимизации распределения объектов наблюдения между наблюдателями будет сводиться кзадаче полуопределенного программирования и будет применяться техника линейных матричных неравенств. Далее представим пример задачифильтрации, описанный в виде решения задачи полуопределенного программирования.Задача фильтрации в дискретном случаеРассматривается линейная дискретная система(1.15)xk+1 = Axk + D1 wk ,yk = Cxk + D2 wk ,с некоторым начальным условием x0 , где A ∈ Rn×n , D1 ∈ Rn×m , D2 ∈Rl×m , C ∈ Rl×n , с фазовым состоянием xk ∈ Rn , наблюдаемым выходомyk ∈ Rl и внешним возмущением (шумом) wk ∈ Rm , удовлетворяющимограничению |wk | ≤ 1.Необходимо построить фильтр, описываемый линейным разностнымуравнением с постоянной матрицей L относительно оценки состояния x̂k :(1.16)x̂k+1 = Ax̂k + L(yk − C x̂k ), x̂0 = 0,где L ∈ Rn×l .Вводится в рассмотрение невязкаek = xk − x̂k .Задача состоит в нахождении матрицы L, обеспечивающей минимальность инвариантного эллипсоида E, содержащего невязку.32О п р е д е л е н и е 4.

Характеристики

Список файлов диссертации