Автореферат (1150806), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. . , ϒℳ. Функции ℳ, , = 1, . . . , ϒℳ, образуют базиспространства ℳ(). Вводя новые обозначения, мы приходим к теореме.Теорема 2. В пространстве ℰ() СФНС задачи (1), (2) существует базис1+, . . . , +, подчиненный соотношениям∑︁++ (·,) = (·,) +()−(·,) + (exp(−||)), = 1, . . . , .(14)=1+Здесь = ϒℳ, = ℳ, а функции + и ± получаются из ℳ,и ±ℳ,12вычеркиванием (нулевых) компонент , . Матрица является унитарной иназывается матрицей рассеяния задачи (1), (2).Перейдем от принципа излучения для эллиптической задачи (предложение 1)к принципу излучения для задачи (1), (2).

Решение задачи (4) с условиямиизлучения (13) и правой частью {ℱ,0}, подчиненной условиям совместности (3),является максвелловским, т.е. имеет вид = (1,0,2,0). Такое утверждение ещенельзя считать удовлетворительным для нашей цели (возвращение к исходнойзадаче (1), (2)), поскольку формулировка предложения 1 содержит другие напоминания об эллиптической задаче: условия излучения содержат эллиптические волны,а коэффициенты вычисляются с помощью эллиптических СФНС.

Однако привыполнении условий совместности коэффициенты перед волнами −∇, равны нулюи в условиях излучения участвуют лишь максвелловские волны −ℳ, . Посколькуматрица рассеяния () блочно-диагональная, СФНС, которые вычисляют коэф∑︀ϒℳ ℳ −1 +−фициенты при −,такжеявляютсямаксвелловскими==1 ( ) ℳ, .ℳ,ℳ,Переходя к новым обозначениям, имеем10Теорема 3. Предположим, что < 0 и правая часть ℱ = ( 1,ℎ1, 2,ℎ2) ∈ (; C8) удовлетворяет условиям совместности (3). Тогда1. Задача (1), (2) имеет единственное решение = (1,2), подчиненное условиямизлучения = − 11− − · · · − − ∈ +1(; C6).(15)−2. Коэффициенты в асимптотике (15) вычисляются по формуле = (, ),∑︀++где = ( 1, 2), а − = =1 −1 с функциями из (14).3.

Справедливо неравенство‖ ; +1(; C6)‖ + |1| + · · · + | | ≤ const‖ℱ; (; C8)‖.Результаты первой и второй главы опубликованы в статье A-1.В предыдущих главах спектральный параметр был фиксирован, в третьейглаве изучается зависимость матрицы рассеяния и решений задачи (4) от спектрального параметра, пробегающего непрерывный спектр. Доказывается, что на любоминтервале, не содержащем порогов, матрица рассеяния →↦ () имеет постоянныйразмер и является аналитической. При переходе через порог размер матрицырассеяния изменяется скачкообразно, поэтому требует исследования поведениематрицы () при приближении к порогам.Во второй главе было установлено, что один из блоков матрицы ()совпадает с матрицей рассеяния для уравнения Гельмгольца с краевыми условиямиДирихле.

Для этой задачи пороговое поведение матрицы рассеяния исследовалосьв работе A-2. Для того чтобы изучить пороговое поведение матрицы (), кзадаче (4), по существу, применяется метод работы А-2. Вводится “расширеннаяматрица рассеяния” →↦ (), аналитическая в окрестности порога. Выясняетсясвязь матриц () и () справа и слева от порога. В терминах матрицы ()вычисляются левый и правый пределы на пороге матрицы ().Матрица () обладает блочной структурой (так же, как и ()), а формулысвязи () и () выполняются “поблочно”. Это позволяет описать пороговое поведение матрицы рассеяния () системы Максвелла (1), (2) во внутренних терминах.На любом интервале, не содержащем порогов, кратность непрерывногоспектра ϒ() задачи (4) постоянна.

Пусть 0 ≤ ′ < < ′′ – три последовательных порога; обозначим через и значение ϒ() на интервалах ( ′,) и(, ′′), соответственно. На каждом из этих интервалов матрица рассеяния ()определяется формулами (10). При приближении спектрального параметра к порогуасимптотика (10) теряет смысл. Пусть ∈ (, ′′), тогда (возможно, после перенумерации) функции ± , = + 1, . .

. , , вида (9) отвечают собственным числам∓() = ∓(2 − 2)1/2 и в области ∩ Π+ удовлетворяют формулам22 1/2 −1/2±exp(∓(2 − 2)1/2)∓(; )(16) (·,) = |2( − ) |при больших ||. При = функции exp(∓(2 − 2)1/2)∓(; ) совпадают,а нормировочный множитель |2(2 − 2)1/2|−1/2 обращается в бесконечность.11±Поэтому набор ±1 (·,), . . .

, (·,) не годится в качестве базиса волн при = ,а асимптотика (10) оказывается неустойчивой при → + 0. При → − 0 показатель < 0() = |Im()| = ( 2 − 2)1/2 стремится к нулю и поправочный член(exp(−||)) становится того же порядка, что и главный член асимптотики (10).±При ∈ (, ′′) неустойчивый базис ±1 (·,), . . . , (·,) пространства волн±(·,), который удовлетворяет() мы заменим новым базисом 1±(·,), . . .

, ±следующим требованиям. 1. Функции →↦ (·,) – (вещественно) аналитические±′ ′′на интервале ( , ). 2. Функции →↦ (,), = 1, . . . , , линейно независимы.+−3. Волны (·,) ( (·,)) – приходящие (уходящие). В соответствии с принципамиУмова и Мандельштама мы называем волну приходящей (уходящей), если она приносит с бесконечности (уносит на бесконечность) энергию. (Строгое определениеприходящих и уходящих волн приводится в разделе 2.2.1 диссертации.) Указаннымисвойствами обладают функции±(·,) = ± = 1, . . .

, (17) (·,),∓−±(·,) = ±()+ (·,) + () (·,), = + 1, . . . , ,(18)где(︁(︀)︁)︀(︀)︀2 1/42 −1/4 () = 21 − (/)± 1 − (/),(︀)︀1/4причем ветвь корня фиксируется требованием 1 − (/)2> 0 при > .Так же, как и в главе 2 устанавливается, что при каждом из интерва+ла (, ′′) в пространстве СФНС () существует базис 1+(·,), . . . , (·,),подчиненный соотношениям∑︁++ (·,) − (·,) −()−(·,) ∈ 1(), = 1, . . . , ,(19)±−3/2=1где < 0() = (( ) − ) . Для ∈ ( ′, ) элементы ±(; ), = +1, . .

. , ,экспоненциально растут при || → ∞. Поэтому для того чтобы продолжитьформулу (19) непрерывным образом на интервал, содержащий порог , мы вынуждены включить в рассмотрение собственные функции непрерывного спектра,допускающие некоторый экспоненциальный рост.Далее мы будем рассматривать из интервала U = ( − , + ) длянекоторого > 0.

Выберем показатель > 0 так, чтобы выполнялись неравенства 2 < 2 + 2 < ( ′′)2 при ∈ U.(20)Расширенным пространством собственных функций непрерывного спектра будемназывать пространство ker ℒ− () с оператором ℒ− () вида (12). При ∈ U+в пространстве ker ℒ− () существует базис 1+(·,), .

. . , (·,), подчиненныйсоотношениям (19), где вместо стоит показатель , фиксированный условиями (20),а формула (19) выполняется на интервале ∈ U. Матрица →↦ (), определеннаяна интервале U, называется расширенной матрицей рассеяния.′′ 22 1/212В формулировке принципа излучения (предложение 1) заменим , ϒ, ±,±±± и на , , , и . Полученное утверждение называется расширеннымпринципом излучения, поскольку в условиях излучения участвуют не толькоограниченные волны, но и волны, допускающие экспоненциальный рост.Утверждения, сформулированные в двух предыдущих абзацах, вытекают изрезультатов эллиптической теории и обобщают результаты главы 2.

Повторяя дляних процедуру возвращения, мы получаем “расширенные” аналоги теорем 2 и 3.В следующей теореме устанавливается аналитическая зависимость решений задачи(4) от спектрального параметра.Теорема 4. На интервале U решение →↦ () задачи (4) с аналитической правойчастью →↦ {ℱ(), ()} ∈ ℋ (), подчиненное условиям− − 11− − · · · − ∈ +1(),(21)с аналитическими волнами →↦ −(·,), является аналитической функцией.Отсюда, в частности, вытекает, что функции →↦±(·,) и матрица→↦ () из (19) – аналитические функции на интервале U. Аналогичным образомдоказывается аналитичность функций →↦ ±(·,) и матрицы →↦ () из (10) на′′′интервалах ( , ) и (, ).На интервалах (, +) и ( −, ) матрица () явным образом выражаетсяв терминах ().

Поскольку матрица-функция →↦ () аналитическая на интервале U, мы можем изучить поведение матрицы () при приближении параметра к порогу . В частности, доказывается существование односторонних правого илевого пределов матрицы-функции →↦ () на пороге. Для всякой матрицы размера × введем обозначение(︃)︃(11) (12)=,(22)(21) (22)где блоки (11) и (22) имеют размеры × и ( − ) × ( − ) соответственно.Теорема 5.

Пусть > 0 – один из порогов задачи (4), а () и () – матрицырассеяния, заданные равенствами (10) и (19). Тогда существуют односторонниепределы матрицы () при → ± 0 и справедливы соотношения(11)() = (11)() − (12)()((22)() − )−1(21)() + (| − |1/2),(12)() = (| − |1/4),(21)() = (| − |1/4),(22)() = − + (| − |1/2)при → + 0 и() = 11() − (12)()((22)() − )−1(21)() + (| − |1/2)13(23)(24)при → − 0. Здесь : C− → C− – ортогональный проектор на пространство ker((22)() − 1), = − − , а − – единичная матрица размера( − ) × ( − ).Матрицы () и () являются блочно-диагональными() = diag( ℳ(), ∇()),() = diag( ℳ(), ∇()),и блоки ℳ() и ℳ() также связаны формулами вида (23), (24).Четвертая глава посвящена методу вычисления матрицы рассеяния ().Для эллиптических краевых задач с полуограниченным оператором метод приближенного вычисления матрицы рассеяния на интервале, не содержащем порогов, посуществу, был обоснован в работах Б.А.

Пламеневского и О.В. Сарафанова [10]. Оператор задачи (4) не является полуограниченным, и, уже в непороговом случае, какформулировка, так и доказательство метода требуют существенной модификации.Такая модификация описана в работе A-3.Положим Π+ = {(, ) ∈ Π : > }, = ∖ Π+ при больших . Тогда ∖ = Γ = {(, ) ∈ Π : = }.

Введем эллиптическую краевую задачу(,)() = ℱ(), ∈ ,ℬ()() = (), ∈ ∖ Γ,(25)(ℬ() + ())() = ℋ(), ∈ Γ.0Граница содержит ребро Γ; пусть () = dist (, Γ). Через 1/2() и11/2() обозначим замыкания ∞( ∖ Γ) относительно норм∫︁∫︁0 221 2‖; 1/2( )‖ =|| ,‖; 1/2( )‖ =(|∇|2 + −1||2),1/21/2 (Γ)а черезиΓ и ∖ Γ .1/21/2 (1∖ Γ) – пространства следов функций из 1/2() наТеорема 6. При любой правой части1/21/20{ℱ,,ℋ} ∈ 1/2() × 1/2 ( ∖ Γ) × 1/2 (Γ),1задача (25) имеет единственное решение ∈ 1/2().

Характеристики

Список файлов диссертации