Автореферат (1150806), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Days on Diffraction 2015, Russia, St. Petersburg, 2015. (устный доклад)Личный вклад. Результаты первой и второй главы диссертации опубликованы в совместной работе А.С. Порецкого и Б.А. Пламеневского A-1; эти результатыв равной мере принадлежат обоим авторам. Основные результаты третьей и четвертой главы опубликованы в совместных работах диссертанта, Б.А. Пламеневского5и О.В. Сарафанова A-2, A-3; определяющий вклад в эти работы принадлежитдиссертанту.Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в трехпечатных изданиях (А-1, А-2, А-3), рекомендованных ВАК для опубликованиярезультатов кандидатских и докторских диссертаций.

Все три публикации индексируются международной системой цитирования Web of Science и одна из них (А-3)– системой SCOPUS.Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глави заключения. Полный объем диссертации 137 страниц текста. Список литературысодержит 30 наименований.Содержание работыВо введении обосновывается актуальность исследований, проводимых врамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературыпо изучаемой проблеме, формулируются цели и задачи работы, обосновываетсянаучная новизна и практическая значимость представляемой работы. Описываютсяметоды исследования, структура и содержание работы.Рассматривается область в трехмерном пространстве R3, которая совпадает вне большого шара с объединением полуцилиндров Π1+, . .

. , Π+, гдеΠ+ = {( , ) : ∈ Ω , > 0}, а сечение Ω – ограниченная область в R2. Далеедля простоты изложения мы будем считать в автореферате, что число цилиндрических выходов равно единице, единственный цилиндрический выход мы будемобозначать Π+ = { ∈ Ω, > 0}. Граница области предполагается гладкой.Система уравнений Максвелла rot 2() − 1() = 1(),− div 2() = ℎ1(),− rot 1() − 2() = 2(), div 1() = ℎ2(), ∈ ,(1)с краевыми условиями() × 1() = 0, ⟨2(), ()⟩ = 0, ∈ ,(2)описывает электромагнитное поле в пустом волноводе с идеально проводящей границей, возбужденное распределенными внутри волновода зарядами и токами.

Здесь1, 2, функции со значениями в C3, обозначают векторы электрического и магнитного поля, ⟨·, ·⟩ – скалярное произведение в C3, · × · – векторное произведение в R3,а – единичный вектор внешней нормали к . Задача (1), (2) является переопределенной и для ее разрешимости необходимо выполнение условий совместностиdiv 1() − ℎ2() = 0, ∈ ,div 2() + ℎ1() = 0, ∈ ,⟨ 2(), ()⟩ = 0, ∈ .6(3)В первой главе вводится эллиптическая краевая задача(,)() = ℱ(), ∈ , ℬ()() = (), ∈ ,(4)полученная из (1), (2) методом “ортогонального расширения” [7]. Здесь = (1,1,2,2), ℱ = ( 1,ℎ1, 2,ℎ2), = (1, 2, 3, 4), , – трехкомпонентные вектор-функции и , ℎ – скалярные функции в области, = 1,2, а – скалярные функции на , = 1, .

. . ,4. Дифференциальныйоператор (,) и граничный⎛ оператор ℬ задаются равенствами⎞ rot 2 + ∇2 − 1⎜− div 2 − 1 ⎟⎜⎟(,) = ⎜ ∈ ,(5)112 ⎟,⎝ − rot − ∇ − ⎠ div 1 − 2ℬ = (−⟨1, 2⟩,⟨1, 1⟩, ⟨2, ⟩, 2), ∈ ,(6)3где 1, 2, – правая тройка ортонормированных векторов в R : – вектор внешнейнормали к границе , а 1, 2 – касательные векторы.

Для , ∈ ∞(; C8)и граничного оператора : = −(⟨2, 1⟩, ⟨2, 2⟩, 1, −⟨1, ⟩), ∈ ,справедлива формула Грина((, ), ) + (ℬ, ) = (, (, )) + (, ℬ),(7)где (·,·) и (·,·) – скалярное произведение в 2(; C8) и 2(; C4), соответственно.Волны, распространяющиеся в цилиндрическом выходе Π+ волновода , мыбудем искать в виде exp() (), где и – собственное значение и отвечающийему собственный вектор некоторой спектральной задачи на сечении Ω. В первойглаве такая спектральная задача подробно исследуется: вычисляются всевозможныесобственные значения и отвечающие им собственные векторы.На сечении Ω цилиндра Π = Ω × R введем операторный пучокA( , ; ) () = exp(−)(,)(exp() ()), ∈ Ω, ∈ R(8)с оператором (,) вида (5). В область определения (A) пучка (8) мы включаем вектор-функции = (, , , ) с компонентами , ∈ 1(Ω; C3) и, ∈ 1(Ω; C), подчиненные на Ω краевым условиям 3 = 0, 12 − 21 =0, 11 + 22 = 0, = 0, где (1, 2) – вектор внешней нормали к Ω. Число называется собственным значением пучка A(·,), если существует ненулевой вектор ∈ (A), такой чтоA(, ) () = 0, ∈ Ω.Такой вектор называется собственным; его компоненты являются гладкими функциями в Ω.

Сужение операторного пучка A(·,) на множество(M) = { = (,0,,0) ∈ (A)} будем называть максвелловским пучком и обозначать M(·,). Первая глава посвящена изучению спектра пучков A(·,) и M(·,).При любом фиксированном ∈ R собственные значения пучка A(·,)(M(·,)) расположены на осях комплексной плоскости симметрично относительно7начала координат (числа ± являются собственными одновременно, а размерностипространств ker A(,) и ker A(−,) (ker M(,) и ker M(−,)) совпадают); навещественной оси лежит конечное число собственных значений.

Если при некотором ∈ R ∖ {0} число = 0 является собственным значением пучка A (M), то длявсякого отвечающего ему собственного вектора ∈ (A) ( ∈ (M)) существуетприсоединенный вектор из (A) ((M)) (точное определение присоединенныхвекторов приводится в разделе 1.3.1 диссертации); соответствующее значениепараметра называется порогом задачи (4). При ≠ 0 присоединенных векторов невозникает.

Пороги расположены симметрично относительно нуля и накапливаютсятолько на бесконечности.Для любого собственного значения пучка M(·,) в пространствеker M(,) фиксируется базисный набор собственных векторов {M, }, который затем дополняется векторами {∇,} до базиса пространства ker A(,).Базисные собственные векторы {M, }, {∇,} и отвечающие им присоединенныевекторы (если они возникают) выбираются специальным образом.В первой части второй главы изучается эллиптическая задача (4) вобласти , описывается ее непрерывный спектр, вводится унитарная матрицарассеяния и обосновывается “принцип излучения” (корректная постановка задачис естественными условиями излучения). Для этого применяется схема исследования эллиптических краевых задач в областях с цилиндрическими выходами,предложенная в работах Назарова и Пламеневского [9].Если для числа существует решение однородной задачи (4) с оценкой() = (||) при || → ∞, не принадлежащее 2(), то говорят, что –точка непрерывного спектра, а – отвечающая числу собственная функциянепрерывного спектра (СФНС).

Пространство, натянутое на собственные функциинепрерывного спектра, мы обозначим через (). Число называется собственнымчислом задачи (4), если существует решение из 2(); cобственные числа не сгущаются на конечном расстоянии. Для простоты мы будем предполагать в автореферате,что параметр отличен от нуля и не является собственным числом (в диссертацииобсуждается общий случай).Будем считать сначала, что число зафиксировано (для определенности > 0) и не совпадает с порогами (пороговый случай подробно обсуждается в третьей главе).

Асимптотика СФНС описывается в терминах приходящих и уходящихволн. Для каждого вещественного собственного значения операторного пучкаA(·,) и каждого собственного вектора из набора {M, }, {∇,}, отвечающегочислу , введем функцию , заданную на Π+ ∩ равенством(, ; ) = |2|−1/2 exp() (; ), ∈ Ω, > (9)при достаточно большом и продолженную гладким образом на оставшуюся частьобласти . Полученные функции удовлетворяют однородной задаче (4) при боль8ших || и называются волнами.

Если число – отрицательное (положительное), тоотвечающая ему волна вида (9) называется приходящей (уходящей) и обозначается+ (−). Поскольку спектры пучков A(·,) и M(·,) симметричны относительноначала координат, число волн в наборах {+} и {−} одно и то же; каждый из этихнаборов мы пронумеруем индексом = 1, . . . , ϒ.

Линейную оболочку функций−+ −(+1 , . . . , ϒ, 1 , . . . , ϒ) назовем пространством волн и обозначим ().Согласно эллиптической теории [9] в пространстве () СФНС существуетбазис 1+, . . . , ϒ+, подчиненный соотношениямϒ∑︁++ (·,) = (·,) +()−(10) (·,) + (exp(−||)), = 1, . . . , ϒ=1при больших || и < 0() (где 0() = min |Im| по всем мнимым собственнымчислам пучка A(·,)). Размерность ϒ() пространства () называется кратностью непрерывного спектра в точке .

Матрица () размера ϒ() × ϒ() сэлементами () унитарная и называется матрицей рассеяния.Перейдем к описанию принципа излучения для эллиптической задачи.Для этого мы введем весовое пространство Соболева (), ≥ 0, полученноезамыканием линеала ∞() относительно нормы⎛⎞1/2 ∫︁∑︁‖; ()‖ := ‖ ; ()‖ = ⎝|( )|2 ⎠ ,(11)||=0 где – гладкая функция на , совпадающая на ∩ Π+ с отображением+1/2(,) →↦ exp(). Обозначим также через () пространство следов функций из +1() на . Оператор {(,), ℬ} краевой задачи (4) осуществляетнепрерывное отображение+1/2ℒ : +1() → () × () =: ℋ ()(12)при любом ∈ R и = 0,1, . .

. . Выберем показатель 0 < < 0, где 0 из (10).Предложение 1. Пусть {ℱ,} принадлежит пространству ℋ (). Тогда1. Задача (4) имеет единственное решение , подчиненное условиям излучения−+1 = − 1−(13)1 − · · · − ϒϒ ∈ ().2. Коэффициенты в асимптотике (13) вычисляются по формуле = (ℱ,−) + (, −),∑︀−1 ++где − = ϒ=1 с функциями из (10), а – оператор из формулы (7).3. Справедливо неравенство‖; +1()‖ + |1| + · · · + |ϒ| ≤ const‖{ℱ, }; ℋ ()‖.Вторая часть второй главы посвящена возвращению от эллиптическойзадачи (4) к исходной задаче (1), (2).

Решение задачи (,) = ℱ, ℬ = 0 вида = (1,0,2, 0) мы будем называть максвелловским. Вектор-функция = (1,2),9составленная из компонент максвелловского решения, удовлетворяет исходной задаче (1), (2). Таким образом, пространство ℰ() собственных функций непрерывногоспектра задачи (1), (2) можно отождествить с линейной оболочкой ℳ() максвелловских (вида = (1,0,2, 0)) собственных функций непрерывного спектра задачи(4). Для того чтобы ввести матрицу рассеяния задачи (1), (2), мы установим, что впространстве ℳ() существует базис, подчиненный соотношениям вида (10).Введем более подробные обозначения.

Волны ± , соответствующие (макс12велловским) собственным векторам {M, }, имеют вид ± = ( ,0, ,0). Такиеволны мы будем называть максвелловскими и обозначать ±ℳ, , = 1, . . . , ϒℳ.Волны, соответствующие собственным векторам {∇, }, мы будем называть градиентными и обозначать ±∇, , = 1, . . . , ϒ∇. Мы доказываем, что матрица рассеяния() является блочно-диагональной () = diag ( ℳ(), ∇()). Иными словами,+максвелловские (градиентные) приходящие волны +ℳ, (∇, ) рассеиваются только−по максвелловским (градиентным) уходящим волнам −ℳ, (∇, ). Обозначим через+ℳ,собственную функцию непрерывного спектра с асимптотикой (10), содержа+щей волну +ℳ, , = 1, .

Характеристики

Список файлов диссертации