Автореферат (1150779), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Результаты данной диссертации опубликованы в рабо­тах [21—23], [24—27]. Работы [23] и [21] опубликованы в журналах из переч­7ня ВАК. Работа [22] опубликована в издании, удовлетворяющем достаточно­му условию включения в перечень ВАК (переводная версия этого издания“Journal of Mathematical Sciences” входит в систему цитирования Scopus).Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, че­тырёх глав, содержащих 13 параграфов, заключения и списка литературы.Полный объём диссертации составляет 88 страниц с 1 рисунком. Список ли­тературы содержит 75 наименований.Работа поддержана совместным грантом СПбГУ и DFG 6.65.37.2017 игрантом РФФИ 16-01-00258а.Содержание работыВо введении обосновывается актуальность темы исследований, при­водится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируетсяцель, ставятся задачи, кратко сформулированы результаты работы и их прак­тическая значимость.В главе 0 изложены определения основных объектов исследования,их свойства, а также некоторые вспомогательные утверждения, не принадле­жащие автору, со ссылками на первоисточники.

В числе прочего, в главе 0изложены следующие определения.Пусть > 2, { = [ , ]}=1 — подотрезки [0,1], не пересекающиесяпо внутренности, 6 +1 , { }=1 — набор положительных чисел, таких что∑︀ = 1, { }=1 — булевские величины. Определим семейство аффинных=1преобразований () ={︃ + ( − ) , = 0, − ( − ) , = 1,сжимающих [0,1] на и меняющих ориентацию, если = 1.Определим оператор , действующий в ∞ [0,1] следующим образом:( ) =∑︁(︀)︀ ( + (−1) ∘ −1 ) + {> } .=1Оператор сжимает график на отрезки и продолжает функцию констан­тами на промежуточных интервалах.8Предложение 1. ([12, Лемма 2.1]) Оператор — сжатие в ∞ [0,1].Отсюда по теореме Банаха о неподвижной точке существует (един­ственная) функция C ∈ ∞ [0,1] такая, что (C ) = C .Функция C () называется обобщенной канторовой лестницей с ступеньками.

Ее можно искать как равномерный предел последовательно­сти ( ) для () ≡ , что позволяет считать ее непрерывной и монотонной,причем C (0) = 0, C (1) = 1. Обобщенная производная функции C () — син­гулярная мера без атомов, самоподобная по Хатчинсону, т.е. для любогоизмеримого множества удовлетворяющая соотношению() =∑︁ · (−1 ( ∩ )).=1Замечание 1. Не умаляя общности, можно считать, что 1 = 0, = 1.Определение 1.

Самоподобие будем называть арифметическим, если лога­рифмы величин ( − ) соизмеримы. Иначе говоря, ( − ) = , = 1, . . . ,,для некоторой постоянной и ∈ N, таких, что НОД( , = 1, . . . , ) = 1.Будем говорить, что имеет место резонанс 1 :2 :. . . : .В противном случае самоподобие называется неарифметическим.Будем называть обобщенную канторову лестницу ровной, если = 1 =1, − = 1 −1 , −−1 = 2 −1 > 0, = 2, . . . , . (5)Именно такой класс лестниц рассмотрен в работе [6].В главе 1 формула (4) из теоремы A доказывается для арифметиче­ски самоподобных лестниц в случае резонанса 1 : 1 : .

. . : 1 с ненулевымипромежуточными интервалами: − −1 > 0, = 1 = 1, = 2, . . . , .(6)Заметим, что в доказательстве теоремы A для “ровных” лестниц важ­ную роль играет спектральная периодичность для задач Неймана и Робена.9Для рассматриваемого в данной главе класса мер спектральная периодич­ность имеет место для задачи Неймана. Для задачи же Робена доказываетсяболее слабое свойство спектральной квазипериодичности.Основные результаты главы 1 следующие:Теорема 1. (Спектральная периодичность для задачи Неймана)Пусть самоподобная мера удовлетворяет условиям (6), и { }∞=0 — по­следовательность занумерованных в порядке возрастания собственных зна­чений задачи (1). Тогда при всех ∈ N выполняется равенство = ,(7)где введена в определении 1.Теорема 2.

(спектральная квазипериодичность для задачи Робена)(1)Пусть самоподобная мера удовлетворяет условиям (6). Пусть { }∞=0 —занумерованные в порядке возрастания собственные значения задачи− ′′ = , ′ (0) − (1) (0) = ′ (1) + (1) (1) = 0,(2)а { }∞=0 — собственные значения задачи− ′′ = , ′ (0) − (2) (0) = ′ (1) + (2) (1) = 0.Тогда существуют значения (1) , (2) > 0, определяемые параметрами само­подобия, такие что при всех ∈ N выполняется неравенство(2) (+1)−1 6 (1) .Теорема 3. Пусть самоподобная мера удовлетворяет условиям (6).

Тогдакоэффициент из асимптотики (3) допускает представление∀ ∈ [0, ] () = − (),где — некоторая чисто сингулярная неубывающая функция.10В главе 2 формула (4) доказывается для случая общего резонанса, тоесть для арифметически самоподобных мер с единственным ограничением: − −1 > 0, = 2, . . .

, .(8)Для таких мер в общем случае не выполняется свойство спектральной квази­периодичности, поэтому схема доказательства существенно меняется.Обозначим через ([,]), > 0, собственные числа задачи Неймана− ′′ = , ′ () = ′ () = 0,а через (, [,]) = #{ : ([,]) < } их считающую функцию.Следующие утверждения позволяют связать спектр задачи на отрезкесо спектрами задач на подотрезках, содержащих носитель меры.Теорема 4. Пусть 1 = [1 , 1 ], 2 = [2 , 2 ] — подотрезки [0,1], и пусть2 − 1 > 0, а |[1 ,2 ] ≡ 0.

Обозначим := [1 , 2 ]. Тогда функция () := (, ) − (, 1 ) − (, 2 )(9)имеет разрывы в точках (), (1 ), (2 ). При этом элементы наборов∞∞{ ()}∞=0 и { (1 )}=0 ∪ { (2 )}=0 нестрого чередуются начиная с эле­∞мента второго набора. Более того, в точках из { (1 )}∞=0 ∪ { (2 )}=0функция меняет значение с 0 на −1, а в точках из { ()}∞=0 , не содер­∞жащихся в { (1 )}∞=0 ∪ { (2 )}=0 , меняет значение с −1 на 0.Теорема 5. Пусть выполнены условия Теоремы 4, и пусть 2 − 1 > 0.∞∞Обозначим за { ()}∞=0 элементы набора { (1 )}=0 ∪ { (2 )}=0 , зану­мерованные в возрастающем порядке. Тогда∞∑︁| ln () − ln ()| < +∞.=2Теорема 6. Пусть самоподобная мера удовлетворяет условиям (8).

Тогдакоэффициент из асимптотики (3) допускает представление∀ ∈ [0, ] () = − (),11где — некоторая чисто сингулярная неубывающая функция.В главе 3 доказываются общие теоремы об асимптотике спектра тензор­ного произведения компактных операторов с почти регулярной спектральнойасимптотикой. Эти теоремы позволяют перенести результаты о виде асимпто­тики 3 на некоторые компактные операторы типа тензорного произведения, атакже в некоторых случаях перенести на полученные асимптотики результато непостоянстве периодической компоненты (теоремы A, 3, 6).Рассматриваются компактные неотрицательные самосопряженные̃︀ соответственно. Че­операторы и ̃︀ в гильбертовых пространствах ℋ и ℋрез = ( ) обозначены собственные числа оператора , упорядоченныепо убыванию с учетом кратности.

Определяется считающая функция () = (, ) = #{ : ( ) > }.̃︀ и ̃︀ () для оператора ̃︀ .Аналогично определяются Имея заданные при → 0 асимптотики (, ) и (, ̃︀ ), мы хотимустановить асимптотику (, ⊗ ̃︀ ). Полученные результаты легко обобща­ются на случай тензорных произведений нескольких сомножителей.В диссертации изучаются операторы с почти регулярной асимптотикой (, ) ∼(1/) · (ln(1/)),1/ → +0,(10)где > 0, — медленно меняющаяся, а — непрерывная -периодическаяфункция. Примерами таких операторов являются гриновские интегральныеоператоры с сингулярной арифметически самоподобной весовой мерой.В главе 3 получен главный член спектральной асимптотики тензор­ного произведения для всех возможных комбинаций параметров маргиналь­ных асимптотик.

Рассматриваются оператор со спектральной асимптоти­кой (10) и оператор ̃︀ , имеющий либо асимптотику (, ̃︀ ) = (−1/̃︀ ), → 0+,̃︀ > ,либо аналогичную (10) асимптотику(1/)̃︀· (ln(1/))̃︀, (, ̃︀ ) ∼1/ → +0,(11)12где ̃︀ — медленно меняющаяся функция, ̃︀ имеет период ̃︀. Результаты раз­делены на несколько случаев:1. ̃︀ > .2. ̃︀ = .∫︀∞ ∫︀∞2.1.

()̃︀= ()= ∞.112.1.1. Периоды и ̃︀ функций и ̃︀ соизмеримы.2.1.2. Периоды и ̃︀ несоизмеримы.∞∫︀∫︀∞()̃︀2.2. ()< ∞,= ∞.11∫︀∞∫︀∞()̃︀2.3. ()< ∞,< ∞.11В случаях 1, 2.1.1 спектральная асимптотика для ⊗ ̃︀ оказывается по­чти регулярной, в случае 2.1.2 – регулярной. В случаях 2.2 и 2.3 получаетсяасимптотика более сложного вида (см. формулы (17), (18)).Лемма 1. В формуле (10) функция имеет вид ( ) = − / ( ), где —монотонная функция, и значит — функция ограниченной вариации.Теорема 7. Пусть выполнено соотношение (10), и̃︀ () := ̃︀ (, ̃︀ ) = (−1/̃︀ ), → 0+,̃︀ > .̃︀ имеет асимптотикуТогда оператор ⊗ ̃︀ в пространстве ℋ ⊗ ℋ(1/) · * (ln(1/))̃︀,⊗ () := (, ⊗ ) ∼1/ → +0,(12)где* ( ) :=∑︁̃︀ )) · ̃︀1/( + ln((13)— периодическая функция с периодом (ряд сходится, поскольку ̃︀ > ).Замечание 2.

Отметим, что если функция имеет структуру (4), то такуюже структуру имеет и функция * в формуле (13). В случае периодическойфункции общего вида функция * может вырождаться в константу.13Теорема 8. Пусть оператор имеет спектральную асимптотику (10), аоператор ̃︀ — асимптотику (11).

Тогда при > 0 выполняются оценки⎡∫︁± () ⎢̃︀ ) +⊗ () ≶ 1/ ·⎣(,) + (,∓ ()/⎤ )︁(̃︀(ln )) ⎥()̃︀ln(lñ︀ )⎦(lñ︀ )(︁ )︁(︁равномерно по > 0. Здесь = ± ()/. Коэффициенты ± () → 1 при →̃︀ ) имеют следующие асимптотики при → +0:0, а функции (, ), (,(, ) ∼ (1/) ·∑︁̃︀ ))̃︀1/ ,(ln(1/) + ln(̃︀ >̃︀ ) ∼ (1/)(,̃︀·(︁ ∑︁(ln(̃︀)+1/ln( )))︁+ (1/)(ln(1/))̃︀(ln( )) . >В теоремах 9–11 мы предполагаем, что∫︁∞( ) =1∫︁∞(̃︀ )= ∞.(14)1Теорема 9. Пусть выполнены условия Теоремы 8. Пусть, кроме того, вы­полняется соотношение (14), а периоды и ̃︀ совпадают и равны . Тогда⊗ () ∼(1/) · ⊗ (ln(1/)),1/ → +0,где () := ( * )()̃︀— медленно меняющаяся функция,⊗ () =( ⋆ )()̃︀1+ ( ⋆ )̃︀ ′ () = −/∫︁( − )̃︀()(15)0— непрерывная положительная -периодическая функция.Теорема 10.

Пусть выполнены условия Теоремы 8, соотношение (14), апериоды и ̃︀ функций и ̃︀ несоизмеримы. Тогда⊗ () ∼(1/)(1/),1/ → +0,14где () = ( * )(),̃︀() — некоторая ограниченная и отделенная от нулямедленно меняющаяся функция.Теорема 11. Пусть выполненытельно, чтобы для функций и⃒⃒⃒ ln()′ () ⃒⃒⃒ 6 ,⃒⃒()условия Теоремы 10. Потребуем дополни­̃︀ были ограничены следующие величины:⃒⃒′⃒ ln()⃒̃︀()⃒⃒ 6 , > 1.(16)⃒⃒()̃︀ТогдаC(1/), → +0,1/где () = ( * )(),̃︀а константа C определена следующим соотношением:⊗ () ∼C=1 1· ∫︁() ·01̃︀∫︁̃︀().̃︀0В случаях 2.2 и 2.3 при некоторых технических ограничениях получе­ны асимптотикиℎ,̃︀· ̃︀* (ln(1/))˜ (1/) · ⊗ (ln(1/)) + (1/)⊗ () ∼1/(17)и(1/) · * (ln(1/)) + (1/)̃︀· ̃︀* (ln(1/))⊗ () ∼1/соответственно, где ⊗ определена в (15), * определена в (13), а̃︀* ( ) =∑︁(18)(̃︀ + ln( ))1/ .Применение полученных общих теорем продемонстрировано на приме­ре интегральных операторов, отвечающих изученным в главах 1 и 2 задачам.В § 3 главы 3 полученные результаты применяются к задаче 2 -малыхуклонений случайных гауссовских полей, в частности, малых уклонений бро­⨂︀уновского листа в единичном кубе с нормой 2 (), где = , и каждая=1из мер является самоподобной мерой обобщенного канторовского типа.В заключении перечисляются основные результаты диссертации, а так­же предлагаются возможные направления для дальнейшей работы.15Список литературы1.Борзов В.

Характеристики

Список файлов диссертации