Автореферат (1150738), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

матричная функция Γ() =lim→∞ () невырожденна и положительно определена, где6 () = ( − )−1 = ()/() – передаточная функция системы.Для случая со скалярным выходом это означает: степень знаменателя () равна . Числитель () гурвицев степени − 1 с положительными коэффициентами. В соответствии с теоремой о пассификации существует управление () = , такое что системастабилизируема;2. (,) лежит в секторе, т. е. 6 (,)/ 6 , где , – параметрысектора, зависящие от нелинейности;3. (,) также лежит в секторе, т. е. 6 (,)/ 6 , где , –параметры сектора, зависящие от нелинейности;Из гиперминимально-фазовости и теоремы о пассификации следует,что минимальное расстояние 0 между корнями числителя передаточной функции и мнимой осью будет положительным.

Выберем параметры и таким˜образом, чтобы 0(︃ < <)︃ 0 , 2‖‖‖ ‖‖‖ max(||,||) + 2‖ ‖ max(||,||) <˜ =min , где , – положительно определенная матрица в квадратичной функции Ляпунова () = , min – наименьшее собственноечисло данной матрицы.Для синтеза управления () используется метод бэкстеппинга.()˙= () + (,) − (), () = (),(6)()˙= () + (,) + (,) + ().(7)(︃ )︃(︃ )︃Введем обозначения: ˜ =˜ =.Теорема 1 (2.1). Пусть выполнены предположения (1)-(3). Тогда существуют числа , , такие что система (6),(7) будет пассивна с квадратичной функцией запаса (˜) = ˜ ˜, а замкнутая система с управлением() = (− − ) + асимптотически устойчива.Переходим к учету влияния возмущений на исходную систему (1)-(3).Ее можно переписать в виде˜() + ˜ ˜() + (), ˜() = ˜ ˜(),˜˙ () = ˜7(8)(︃)︃1 () − 2 ()где () =– ограниченное возмущение.0В разделе 2.3 представлена оценка вектора состояния для системы сограниченным возмущением.Теорема 2 (2.2).

Дана система (8) c ограниченным возмущением ‖ ()‖ 6 ∆ .Пусть выполненытри предположения (1)-(3). Тогда lim→∞ ‖˜()‖ 6 ˜∆ ,√︁где ˜ =max ( ) 1min ( ) .В разделе 2.4 формулируется и доказывается результат, который состоит в получении условий пассификации и синхронизации для сетевых каскадных систем Лурье.Рассматриваются взаимосвязанных систем с интегратором˙ () = () + ( ) + () +∑︁ ( () − ()), () = (),(9)=1(10)˙ () = ( ,) + (),где (), = 1,...,, = 1,..., – функции, описывающие взаимосвязь междусистемами, ∈ R1 .Кроме этого рассматривается ведущая система (master)˙0 () = 0 () + (0 ), 0 () = 0 ().(11)Цель управления - синхронизировать все системы относительно ведущей, т. е.

() − 0 () → 0 при → ∞, = 1,...,.Положив () = ()−0 (), получаются уравнения относительно ошибок:˙ () = () + ( ,) − () +∑︁ ( () − ()), () = (),(12)=1˙ () = ( ,) + ().(13)(︃ )︃(︃ )︃Введем обозначения ˜ =, ˜ =. По аналогии с теоремой1 синтезируется регулятор с помощью метода бэкстеппинга. Таким образом, () = () + ( ,) + ().8Теорема 3. Пусть для систем (9), (10) выполнены предположения (1)-(3), афункции (), = 1,...,, = 1,..., глобально липшицевы:′′′ () : ‖ () − ( )‖ 6 ‖ − ‖, ∀, .(14)для некоторый > 0.Пусть также выполнены неравенства:˜ max ( ) max(||,||)‖‖˜ + 2max ( ) max(||,||)+− min ( ) + 2‖‖∑︁+ 2max ( )(2| | + | |) < 0, = 1,...,, (15)=1(︃)︃˜ =где , – положительно определенная матрица в квадратичной функции Ляпунова (˜ ) = ˜ ˜ , min , max – наименьшее и наибольшее собственное число данной матрицы, то существуют числа , ,такие что система (9), (10) со входом будет пассивна с квадратичной∑︀ функцией (˜) =˜ ˜ запаса и замкнутая система с управлением=1 () = (− − ) + асимптотически устойчива.Третья глава посвящена исследованию нелинейных каскадных системв форме Лурье с дискретным управлением.

Выводятся условия экспоненциальной синхронизации.В разделе 3.1 формулируется и доказывается результат, который состоит в получении условий на шаг дискретизации для обеспечения экспоненциальной устойчивости каскадных систем Лурье.Рассматривается дискретный регулятор() = (− − )( ) + ( ), 6 6 +1 ,(16)где = ℎ – моменты времени, ℎ – шаг дискретизации.Cистема (6), (7) представляется в виде˜() + ()˜˜˜˜ ˜( ). (17)˜˙ () = ˜+ (,)+ (,),˜() = ˜ ˜(), () = 9Теорема 4.

Дана система (17) с дискретным регулятором. Пусть выполняются условия (1)-(3). Выберем шаг дискретизации так, чтобы выполнялосьнеравенство(ℎ) 6 0,(18)˜˜ ℎ − ‖‖κ‖˜˜ − min{ − −ℎ , 2}, κ – коэффигде (ℎ) = ‖‖κ‖‖‖√циент оценки выхода системы через функцию Ляпунова: |˜| 6 κ , –константа Липшица правой части системы (17).Тогда рассматриваемая система будет экспоненциально устойчива.Утверждение теоремы означает экспоненциальное стремление к нулюошибки синхронизации.В разделе 3.2 формулируется и доказывается результат, который состоит в получении условий на шаг дискретизации для обеспечения экспоненциальной устойчивости сетевых каскадных систем Лурье.Рассматриваются каскадных динамических систем в форме Лурье синтеграторами˙ () = () + ( ) + () +∑︁+ ( () − ()),(19)(20)=1˙ () = ( ,) + (), () = (),(21)где (), = 1,...,, = 1,..., – функции, описывающие взаимосвязь междусистемами, ∈ R1 .

Кроме этого рассматривается ведущая систему (master):˙0 () = 0 () + (0 ), 0 () = 0 ().(22)где (), 0 () – -мерные векторы состояния объекта, (), 0 () скалярныевыходы, – × матрица, – × 1 матрица, 1 × матрица, (), (,) –непрерывные нелинейности лежащие в секторе, (), 6 6 +1 – управляющее воздействие, где = ℎ моменты времени с шагом дискретизации ℎ.Цель управления - синхронизировать все системы относительно ведущей, т.

е. () − 0 () → 0 при → ∞, = 1,...,.10Положив () = () − 0 () и () = () − 0 () = (), выводятсяуравнения относительно ошибок:˙ () = () + ( ,) − () +∑︁ ( () − ()), () = (23)(),=1(24)˙ () = ( ,) + (),где ( ,) = ( + 0 ()) − (0 ()) новая нелинейность.По аналогии с теоремой 4 синтезируется регулятор с помощью методабэкстеппинга. Таким образом, () = () + ( ,) + (). Цельуправления принимает вид: lim→∞ () = 0.(︃ )︃(︃ )︃Введем обозначения ˜ =, ˜ =.Теорема 5. Дана система (23) - (24) с дискретным регулятором. Пусть выполнены предположения (1)-(3) и неравенство˜ max ( ) max(||,||)‖‖˜ + 2max ( ) max(||,||)+− min ( ) + 2‖‖∑︁+ 2max ( )(2| | + | |) < 0, = 1,...,, (25)=1(︃)︃, – положительно определенная матрица в квадратичной функции Ляпунова (˜ ) = ˜ ˜ , min , max — наименьшее и наибольшеесобственные числа данной матрицы.Функции (), = 1,...,, = 1,..., глобально липшицевы:˜ =где ′′ () : ‖ () − ( )‖ 6 ‖ − ‖, > 0.Пусть шаг дискретизации удовлетворяет следующим неравенствам (ℎ) 6 0,−ℎ˜ ‖‖˜ ℎ −‖‖κ˜ ‖‖−min{˜для = 1.., где (ℎ) = ‖‖κ, 2}, κ − √коэффициент оценки выхода системы через функцию Ляпунова: |˜ | 6 κ , – константа Липшица правой части системы (23) - (24).11Тогда рассматриваемая система будет экспоненциально устойчива.В четвертой главе рассматриваются нелинейные каскадные системы вформе Лурье с квантизацией по уровню.

Решается задача синхронизации каскадных нелинейных систем, управляемых с помощью дискретного регуляторас возмущениями и квантизатора.Рассматривается регулятор с квантизатором ()˜ = (()).Пусть ∈ R квантуемая переменная. Квантизатор это кусочнопостоянная функция : R −→ , где конечное подмножество из R . Этоприводит к разбиению множества R на конечное число областей квантованияв виде ∈ R : () = , ∈ . Когда переменная не принадлежит объединению областей квантования, квантизатор насыщается. Более подробно: предполагается что существуют положительные вещественные числа и ∆ такие,что выполняются следующие условия: если || 6 , то |() − | 6 ∆ и|| > ⇒ |()| > − ∆.Параметры и ∆ называются диапазоном и ошибкой квантования,соответственно.Цель управления - синхронизировать две системы (1),(2) с нелинейным интегратором (3), т.

е. выбрать функцию управления () таким образом,чтобы () − () → 0 при → ∞.Рассмотрим систему (6), (7) с дискретным регулятором и статическимквантизатором () = ((− − )( ) + ( )), 6 6 +1 , где = ℎ моменты времени с шагом дискретизации ℎ.Начальная система (6), (7) может быть представлена в виде˜() + ()˜˜˜˜˙ () = ˜+ (,)+ (,),˜ ( )) = ˜ ˜( ) + ∆,˜() = ˜ ˜(), () = (˜(26)(27)(︃ )︃(︃ )︃где ˜ =˜ =.Теорема 6. Рассмотрим систему (26) с дискретным по времени управлениеми квантизатором .

Выберем шаг дискретизации, чтобы выполнялось неравенство:˜˜ ℎ − ‖‖κ‖˜˜ <0( )˜−ℎ + ‖‖κ‖‖˜‖12(28)√κ коэффициент оценки выхода системы через функцию Ляпунова: |˜| 6 κ , – константа Липшица правой части системы (26). Тогда lim→∞ ‖˜()‖ 6˜∆, где√︃˜ =2max ( )(˜ ℎ + − 1).ℎmin ( ) ( − ˜ κ + κ)Для алгоритма управления, представленного ниже, используется динамический квантователь в виде () = ( ) где > 0 – масштабирующийпараметр.

Диапазон квантователя – и ошибка квантования – ∆.Рассматривается система (6), (7) с регулятором () = ((− −)() + ()).Исходная система (6), (7) представляется в виде˜() + ()˜˜˜˜ (˜˜˙ () = ˜+ (,)+ (,),˜() = ˜ ˜(), () = ()),(29)(︃ )︃(︃ )︃где ˜ =˜ =.Зафиксируем параметр .Лемма 1. Пусть выполнены предположения (1)-(3). Зафиксируем произвольный параметр > 0 и предположим, что достаточно большое по сравнению с ∆, таким образом будет выполнено√︀ ( ) >√︀ ( )Θ˜∆(1 + ),(30)где Θ˜ = 2‖ ‖> 0, = − ‖‖‖‖ max (||, ||) − ‖‖ max (||,||).Следовательно эллипсоиды1 () = {˜ : ˜ ˜ 6 ( ) 2 2 }(31)2 () = {˜ : ˜ ˜ 6 ( )Θ2˜∆2 (1 + )2 2 }(32)и13– инвариантные области для системы (29).

Более того, все решения системы(29) начинающиеся в эллипсоиде (31) попадают в меньший (32) за конечноевремя.Теорема 7. Предположим что достаточно большое по сравнению с ∆,таким образом будет выполнено неравенство{︂‖ ‖> 2 max 1,∆}︂ √︃ ( ), ( )(33)где = − ‖‖‖‖ max (||, ||) − ‖‖ max (||,||) .Тогда, существует гибридный квантованный алгоритм управления, который делает систему (29) глобально асимптотически устойчивой.В пятой главе диссертационной работы оптимизируется оценка ошибки выхода нелинейной каскадной системы на основе метода инвариантныхэллипсоидов.Цель состоит в оптимизации оценки ошибки выхода в системе с ограниченными внешними возмущениями на основе техники LMI и методе инвариантых эллипсоидов.Определение 1. Инвариантным эллипсоидом для динамической системы называется эллипсоидΥ = { ∈ R : −1 6 ∆ }, ≻ 0,(34)обладающий следующим свойством: любая траектория системы, исходящая из точки, лежащей в Υ , в любой момент времени принадлежитэтому эллипсоиду.Представим систему (6),(7) в виде14(︃ )︃ (︃)︃ (︃ )︃ (︃)︃(︃ )︃(︃ )︃˙−00=+(,) +(,) +˙ 011(︃)︃ (︃ )︃1 0+,0 00(︃ )︃ (︃ )︃ (︃)︃ (︃ )︃(︁)︁ 0() = 1 2,=0 1Или, в других обозначениях,˜() + (,)˜˜˜˜˙ () = ˜+ ()+ (,)+ ˜(),˜ ˜.˜() = ˜ ˜(), () = (35)(36)Теорема 8.

Характеристики

Список файлов диссертации