Диссертация (1150625), страница 8
Текст из файла (страница 8)
С дру-гой стороны, для любой регулярной системы по определению выполнено {∆() ̸= 0} = 1.Будет ли иметь место уменьшение дисперсии для некоторого промежуточного случая? Ответна этого вопрос в общем виде неизвестен, однако предыдущая теорема указывает на то, чтоХаар-подобных систем, скорее всего, не очень много. В самом деле, для систем со скользящим38носителем1 > {∆() ̸= 0} =( + 1)!!>,2причём порядок убывания почти такой же, как для формулы Qint, а уменьшение дисперсииуже не имеет места (теорема 6). Описание класса нерегулярных систем, обладающих свойствомдополнительного уменьшения дисперсии, является важным шагом в дальнейшем усовершенствовании теории случайных квадратур.
Следующая теорема дополняет известную теорему 2 иможет служить отправной точкой в этом исследовании.Теорема 7. Рассмотрим ортонормированную систему { }=1 на множестве X. Пусть Θ иΘ−1 – такие подмножества X, где { }=1 и { }=2 линейно зависимы, соответственно. Мыпредполагаем, что Θ и Θ−1 суть максимально широкие множества с такими свойствами; приэтом очевидно, что Θ−1 ⊆ Θ ⊆ X.Дисперсия формулы из теоремы 1 зависит от следующих условий:1) если (Θ) = 0, то система регулярна, иVar( ) =∫︁ (︃ () −∑︁)︃2(, ) ();(1.62)=12) если 0 < (Θ) < (X), то система нерегулярна, и(a) если (Θ−1 ) = (Θ), то)︃2∫︁ (︃∑︁Var( ) = () −(, ) () ;(1.63)=1(b) если (Θ−1 ) < (Θ), то, вообще говоря, истинная дисперсия формулы может бытьменьше:Var( ) 6∫︁ (︃)︃2∑︁ () −(, ) () .(1.64)=1Доказательство.
Доказательство в целом повторяет доказательство теоремы 2, приведённое Ермаковым С.М. в [6]. Уточнения требует только последний переход в выражении для дисперсии:Var( )∫︁1=!2 ∆2 () () − ⟨, 1 ⟩2 6Δ()̸=016!∫︁∆2 () () − ⟨, 1 ⟩2 .XЭтот переход в оригинальном доказательстве не содержит условий, при которых неравенствообращается в строгое равенство. Однако такое возможно, причём в двух случаях. Во-первых,если {∆() = 0} = 0. Во-вторых, когда ∆ () = 0 всюду на множестве {∆() = 0}.
Первый39случай соответствует формальному определению регулярной системы. Второй означает, что ∀выполнено ∆ () = 0 на Θ, что может быть истинно только тогда, когда 2 , . . . , являютсялинейно зависимыми почти всюду на Θ. Из этого можно сделать вывод о том, что Θ и Θ−1различаются не более, чем на величину нулевой -меры, т.е.
(Θ−1 ) = (Θ).Проиллюстрируем утверждение теоремы 7 на простом примере. Рассмотрим ортонормированную систему из двух функций на единичном отрезке X = 1 = [0, 1] с мерой Лебега на нём.Первую функцию возьмём постоянной, 1 () = 1. Вторую функцию зададим в виде2 () =⎧⎪⎨, ∈ [0, ),⎪⎩(), ∈ [, 1].(1.65)Здесь – некоторая константа, ∈ (0, 1) – фиксированная точка, а – функция, линейно независимая с 1 на отрезке [, 1] (например, полином порядка больше единицы).
В этих условиях6Θ = [0, ), а Θ−1 = [0, 1]. Посчитаем дисперсию случайной квадратурной формулы и убедимся,что она меньше, чем теоретическая оценка сверху, как утверждает теорема 7.Применим теорему 1 к системе {1 , 2 }. ∆() есть определитель 2 × 2:⎧⎪⎪0,1 , 2 ∈ [0, ),⎪⎪⎪⎪⎪⎨(2 ) − ,1 ∈ [0, ), 2 ∈ [, 1], (условие A),∆() =⎪⎪ − (1 ),1 ∈ [, 1], 2 ∈ [0, ), (условие B),⎪⎪⎪⎪⎪⎩(2 ) − (1 ), 1 , 2 ∈ [, 1], (условие C).(1.66)Истинная дисперсия равнаVar1=2∫︁1 ∫︁10∆2 ()1 2 −(︃ ∫︁101= ( + + ) −2)︃2 ()=0(︃ ∫︁1)︃2 (),0где , и суть подынтегралы, определяемые условиями , и соответственно.
и симметричны относительно замены между 1 и 2 , следовательно = , поэтому посчитаемтолько и . Для краткости будем опускать переменную интегрирования.6Если () = , то, строго говоря, Θ = [0, ], но для дальнейшего рассуждения это непринципиально.40Итак,∫︁ ∫︁1 =0((2 ) (1 ) − (2 ))2 1 2 =∫︁ =2∫︁1 +0∫︁1 ∫︁1 =∫︁122∫︁ ∫︁ 2 −20∫︁10 ;((2 ) (1 ) − (1 ) (2 ))2 1 2 =∫︁1=2∫︁12(︃ ∫︁1)︃22 − 2.)︃2∫︁ Наконец,Var= +−2(︃ ∫︁1)︃2 ()=0∫︁1=2 −(︃ ∫︁1 )︃20(︃ ∫︁1−0∫︁ = Varℎ −02− 200∫︁ 2 +(︃ ∫︁ 02∫︁ 2 +0(︃ ∫︁ )︃2=0)︃2,0и, в соответствии с неравенством Коши-Буняковского,∫︁ 02∫︁ 02 >(︃ ∫︁ )︃2.(1.67)0Таким образом, Var < Varℎ для любой функции , не постоянной всюду на [0, ), что совпадает с утверждением теоремы 7.
Стоит отметить, что степень дополнительного уменьшениядисперсии зависит лишь от поведения функции на отрезке [0, ).Подведём итоги первой главы работы. Центральным результатом здесь является теорема 4о классе случайных квадратурных формул, точных для системы обобщённых функций Хаара.Эта теорема конструктивным образом указывает вид формулы и плотности распределения еёузлов. Другой важный результат – теорема о дисперсии 5, дающая потенциальную возможностьапостериорного контроля погрешности, которая будет исследована далее.Кроме этого, удалось получить ряд теоретических результатов, относящихся к теории случайных квадратурных формул.
Так, теорема 6 исследует класс Хаар-подобных систем, приходя41к выводу о том, что обобщённая система Хаара является важным нехарактерным случаем, длякоторого имеет место дополнительное уменьшение дисперсии по сравнению с общей оценкойсверху, установленной Ермаковым С.М. и Золотухиным В.Г. Вывод о том, что принципиальное значение имеет кусочно-постоянное поведение функций Хаара, подтверждается обобщением теоремы о верхней границе дисперсии для произвольной случайно-интерполяционной квадратурной формулы (теорема 7).
Справедливость этого результата демонстрируется на простомпримере.42Глава 2Практическое применение метода Qint2.1Эквивалентные формулировки дисперсии QintВ предыдущей главе мы ввели понятие обобщённой системы Хаара, { }=1 . Помимо всегопрочего, эта система примечательна тем, что она приводит к дополнительному уменьшениюдисперсии описанной ранее процедуры Qint (1.53).
Более того, как установлено теоремой 7,системы такого рода довольно редки. Мы рассмотрим ещё одну такую систему и с её помощьюпостроим несколько эквивалентных выражений для дисперсии (1.57) формулы Qint.Определение 11. Рассмотрим некоторое ( , )-разбиение для фиксированного натурального. Обобщённой системой индикаторов будем называть ортонормированную систему { }=1 ,состоящую из функций =√1X .(2.1)Ортонормированность такой системы не вызывает сомнений, поскольку для разных индексов√ и носители функций и не пересекаются, а нормировка гарантируется множителем .Отметим два важных свойства обобщённой системы индикаторов, которые не позволяли использовать её ранее.
Во-первых, для обобщённой системы Хаара выполнено 1 = 1 , что позволяло построить формулу Qint, обладающую свойством несмещённости для интеграла. Функция1 не входит в систему { }=1 , поэтому прямое применение теоремы 1 не представлялосьцелесообразным. Во-вторых, обобщённая система индикаторов не является системой со скользящим носителем, поскольку она линейно зависима с той же 1 , а значит, к ней непримениматеорема 6.Обе системы (Хаара и индикаторов) кусочно-постоянны на X1 , . . . , X , что приводит нас кследующей лемме.Лемма 4.
Существует матрица перехода от системы { }=1 к системе { }=1 , обладающаятакими свойствами:1) (1 , 2 , . . . , ) = (1 , 2 , . . . , ) ;2) ортогональна, т.е. = −1 ;433) строки и столбцы попарно ортогональны;4) ∀ верно∑︀2 = 1;5) ∀ верно∑︀2 = 1.Доказательство. Построим матрицу обратного перехода: от обобщённой системы индикаторовк обобщённой системе Хаара. Мы докажем, что эта матрица обратима и обладает свойствами 2) – 5).
Это будет означать, что мы построили матрицу −1 ; искомая матрица будет к нейобратной: ( −1 )−1 = .Первая обобщённая функция Хаара представляет собой постоянную, 1 () = 1, тогда первый√ряд матрицы −1 есть (1, 1, . . . , 1)/ . Для произвольного ряда с номером положим−1⎧−1⎪⎪2 2 ,⎪⎪1 ⎨ −1= √ · −2 2 , ⎪⎪⎪⎪⎩0,2+1∈ 2−1;2+1∈ 2;2+1 +1∈/ 2, 2 ∈/ 2,+1+1где , , 2−1, и 2взяты из определения обобщённой системы Хаара (1.49). Например, для = 3 имеем = 23 = 8 функций, и матрица −1 выглядит как⎛ −1⎞11111111⎟⎜⎜ 111−1 −1 −1−1 ⎟⎟⎜√ √1√√⎟⎜⎜ 22 − 2 − 2 0000 ⎟⎜√ √√√ ⎟00022 − 2 − 2⎟1 ⎜⎟⎜ 0= √ ·⎜⎟.⎟8 ⎜2−2000000⎟⎜⎟⎜02−20000 ⎟⎜ 0⎜⎟⎜ 0⎟0002−200⎠⎝0000002−2Как отмечено ранее, обе системы { }=1 и { }=1 ортонормированы и могут рассматриватьсякак базисы пространства функций, кусочно-постоянных на X1 , . .
. , X . Таким образом, матрицаперехода −1 между ними автоматически обратима и удовлетворяет соотношениям 2) – 5), равнокак и обратная к ней матрица .Лемма 4 позволяет говорить об эквивалентности систем { }=1 и { }=1 в следующем смысле. Пусть κ и суть коэффициенты Фурье подынтегральной функции разложения по этимсистемам: κ = ⟨, ⟩, = ⟨, ⟩. Тогда справедлива следующая теорема.44Теорема 8. Формула Qint (1.53) точна для обобщённой системы Хаара и для обобщённой системы индикаторов. Дисперсия формулы может быть представлена в виде1Var( ) =(︃ ∫︁)︃ 2 ()−∑︁ ()=1(︃)︃2(︃ ∫︁=X)︃∑︁1‖ ‖22 −2 ==1(︃)︃∑︁1=‖ ‖22 −κ2 ==1⃦⃦2⃦⃦∑︁⃦1⃦⃦.= ⃦()−κ()⃦⃦⃦⃦=1=(2.2)2Доказательство. Из определения (2.1) непосредственно следует, что∫︁1 () = √∫︁ () (),Xследовательно)︃2(︃ ∫︁ ()=1 2, Xоткуда(︃)︃∑︁12Var( ) =‖ ‖2 −2 .=1Необходимо показать, что∑︀κ2 =2==1 ∫︁∑︁=1 ==(︃ 2 ()∑︁)︃2 () ==1 ∫︁∑︁=1 2 ()2 () = ∫︁∑︁=1 2 .
В самом деле,=1=1∑︁∑︀(︃2 ()∑︁=12 2 ()+2 ∑︁∑︁=1 =+1)︃ () () = .45В силу того, что обобщенная система Хаара ортонормирована, общий интеграл от двойнойсуммы равен нулю, и, с использованием свойства 4) из леммы 4,= ∫︁∑︁=1 =2 ()==1∫︁2=1 =1(︃2 2 () ==1 ∑︁∑︁∑︁∑︁∑︁ 2 ()2 () =)︃2κ2=∑︁=1κ2 .=1Осталось доказать, что‖ ‖22 −∑︁=1⃦⃦2⃦⃦∑︁⃦⃦2⃦.κ = ⃦()−κ()⃦⃦⃦⃦=1(2.3)2Вообще говоря, такое представление выполнено для любой ортонормированной системы.Действительно,⃦⃦2)︃2⃦⃦∫︁ (︃∑︁∑︁⃦⃦⃦ () −κ ()⃦ () −κ () =⃦⃦ =⃦⃦=1=12)︃∫︁ (︃(︁ ∑︁)︁2∑︁= 2 () − 2 ()κ () +κ () ==1∫︁2 () − 2=∑︁∫︁2 () −=∑︁ () () +κ=1=1∫︁κ2‖ ‖22−∑︁κ2 .=1=1κ2 ==1=∑︁Представления дисперсии, полученные в результате доказательства теоремы 8, представляются более удобными для практического применения по сравнению с изначальным выражениемдисперсии из теоремы 5.
На их основе нами далее будет построено несколько вариантов оценивания дисперсии для численных экспериментов.2.2Процедура Qint с повторамиДокажем вспомогательное утверждение, которое будет нам необходимо в дальнейшем.Лемма 5. Пусть 1 , . . . , – произвольные вещественные числа. Тогда∑︁<(︁ ∑︁)︁2∑︁( − ) + = 2 .2=1=1(2.4)46Доказательство.
Действительно,∑︁( − )2 = ( − 1)∑︁<2 − 2=1∑︁ ,<в то время как(︁ ∑︁)︁2 ∑︁∑︁ =2 + 2 .=1=1<Суммируя эти два равенства, мы получим утверждение леммы.Рассмотрим естественное обобщение формулы Qint. Пусть – число повторов процедуры Qint, в каждой из которых содержится точек (или, что то же самое, число подмножествкуба равно ). При этом разбиение куба на подмножества X1 , . . . , X одинаково для всех повторов. Введём естественную нумерацию узлов: пронумеруем их при помощи двойной индексациитаким образом, чтобы строки (первый индекс) соответствовали одному повтору процедуры, астолбцы (второй индекс) – номеру подмножества.1,11,2...1,−→ повтор 12,12,2...2,−→ повтор 2............,1↓,2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
