Диссертация (1150625), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Отметим, что оригинальное определение Хаара отличается в точках разрываот определения (1.47), данного Соболем И.М. в [14].Важно отметить выполнение равенства Парсеваля для произвольной функции ∈ 2 (0,1):∞∑︁=1κ2 =∫︁1 2 ().(2.25)0Скорость сходимости этого ряда представляет ключевой интерес для оценивания дисперсииквадратуры Qint.В работах Ульянова П.Л. [51], [52] приведены оценки, относящиеся к поведению коэффициентов Фурье-Хаара для функций из различных классов. В частности, для непрерывных функцийи > 1 справедливо1|κ | 6 √ 2(︂1,)︂,(2.26)где функция(, ) = sup | () − ()|,|−|606610661(2.27)53определённая для 0 < 6 1, называется модулем непрерывности . Похожим образом определяется интегральный модуль непрерывности для функций из ℒ (0,1):(︃ ∫︁1−ℎ)︃1/ (, ) = sup| ( + ℎ) − ()| ,(2.28)0<ℎ60также для 0 < 6 1 и 1 6 < ∞.Для сходимости рядов Фурье-Хаара известен важный результат Сёкефальви-Надя Б.
[53]:если ∈ (0,1), то⃦⃦⃦⃦)︂(︂∑︁⃦⃦1⃦ () −⃦, .κ ()⃦ 6 12 ⃦⃦⃦=1(2.29)Ульянов П.Л. в [52] устанавливает аналогичный результат для семейства пространств ℒ (0,1),1 6 < ∞: при > 1 выполнено⃦⃦⃦⃦(︂)︂∑︁⃦⃦1⃦ () −⃦κ ()⃦ 6 24 , .⃦⃦⃦=1(2.30)Константы в правых частях (2.29) и (2.30) могут быть улучшены, но с точки зрения порядканеравенства являются точными.Обобщение системы Хаара на многомерный случай и исследование сходимости рядов ФурьеХаара предпринималось многими авторами, в том числе Соболем И.М. [14], [24], Голубовым Б.И. [54], Хеллекалеком П. [55], Энтахером К. [56], [57].
Необходимо отметить, что изучениемногомерного случая оказывается гораздо более трудной задачей. Наиболее полно исследованслучай = 2, однако даже здесь существуют значительные пробелы, и далеко не все ключевыерезультаты из одномерной теории могут быть обобщены.В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим простейшую функцию вида () =3 + 3/4. Для её приближения частичной суммой Хаара, очевидно, выполнено как соотношение (2.29), так и (2.30). Таким образом, для оценки порядка убывания дисперсии квадратуры(︀)︀(︀)︀Qint достаточно оценить порядок модулей непрерывности 1 , или 1 , .
Так,(︁ 1)︁⃒⃒, = sup | () − ()| = sup ⃒ 3 − 3 ⃒ =1|−|6 066106611|−|6 06610661⃒(︁⃒(︂ )︂(︁ 1⃒⃒1 )︁33 3 2 )︁13⃒⃒= sup ⃒ +− ⃒ = sup+ 2+=.30661− 10661− 154Аналогично для интегрального модуля непрерывности и = 2:2(︁ 1(︃ ∫︁1−ℎ)︃1/2(︃ ∫︁1−ℎ)︃1/2(︁)︁22( + ℎ)3 − 3 | ( + ℎ) − ()| , = sup= sup=)︁106ℎ6 (︃01−ℎ∫︁(︁= sup106ℎ6 106ℎ6 )︃1/2)︁2322ℎ + 3ℎ + 3 ℎ )︃1/2(︃ ∫︁1−ℎ(︁)︁2ℎ2 + 3ℎ + 32 == sup ℎ106ℎ6 01=sup 06ℎ6 10(︃ ∫︁1−ℎ(︁22ℎ + 3ℎ + 3)︁2)︃1/20(︂ )︂1=.0Воспользуемся одним из результатов теоремы 8 и свяжем дисперсию Qint с модулем непрерывности:⃦⃦2)︃2⃦⃦∫︁1 (︃∑︁∑︁⃦⃦11⃦κ ()⃦ () −κ () 6Var( ) = ⃦ () −⃦ =⃦⃦=1=102(︃)︃2)︂(︂∑︁1144 2 16sup () −κ () =, . 0661=1К такому же (в смысле порядка) результату можно прийти и через интегральный модуль непрерывности:⃦⃦2⃦⃦∑︁⃦1⃦576 2 (︁ 1 )︁⃦Var( ) = ⃦()−κ()62 , . ⃦⃦⃦⃦=12Следовательно, для рассматриваемой функции (напомним, ранее получено (︀)︀(︀ )︀2 1 , = 1 ) справедливо(︂ )︂1Var( ) = 3 .(︀ 1)︀(︀ )︀, = 1 иКак известно, для наивного Монте-Карло имеем стандартное отклонение порядка (2.31)(︁√1)︁.
Длярандомизированного квази-Монте-Карло точный порядок назвать затруднительно, но он, по(︀ 1 )︀видимому,близокк. Для рассматриваемого частного случая установлена оценка по1−(︁)︁1рядка 3/2, что лучше обоих базовых методов. Выполнение на практике соотношения (2.31)будет продемонстрировано далее.2.4Некоторые аспекты реализации алгоритма QintПрежде чем перейти к представлению результатов численных экспериментов, мы обсудимнекоторые важные аспекты предлагаемого алгоритма. К настоящему моменту нами уже установлены следующие факты.551) Случайная квадратурная -точечная формула вида (1.53) с распределением узлов, задаваемым плотностью (1.54), является точной для обобщённых систем Хаара (1.49) и индикаторов (2.1), а также несмещённой оценкой интеграла .2) Дисперсия этой формулы устанавливается (1.57) или рядом эквивалентных выражений (2.2).3) Обобщенная формула с повторами (2.6) имеет дисперсию (2.7) и (2.10).4) Оценка дисперсии вида (2.19) является асимптотически несмещённой.Количество повторов и количество точек в одном повторе являются параметрами обобщённой процедуры Qint.
При этом общее количество вычислений функции равно их произведению = . Если – некоторое фиксированное число, то возникает вопрос об оптимальномсоотношении между параметрами и . Для ответа на этот вопрос докажем ряд свойств обобщённой процедуры Qint в случае, когда и суть степени двойки.Теорема 10. Пусть = 2 , = 2 для некоторых положительных целых и и имеетсянекоторое фиксированное ( , 2 )-разбиение X1 , . . . , X2 . Пусть X̃1 , . . . , X̃2+1 есть некотороеновое ( , 2+1 )-разбиение, такое что для произвольного = 1, .
. . , 2 выполненоX = X̃ ∪ X̃+2 .В этом случае верны два утверждения:1) для дисперсии обобщённой процедуры (2.10) выполненоVar((2−1 ,2+1 ) ) 6 Var((2 ,2 ) ) 6 Var();(2.32)2) для оценки дисперсии (2.19) выполнено̂︂ 2 ((2−1 ,2+1 ) ) 6 Var̂︂ 2 ((2 ,2 ) ) 6 Var(̂︂ ).Var(2.33)Доказательство. Воспользуемся одним из эквивалентных выражений дисперсии Qint с повторами (2.10):1Var((,) ) =∫︁ 2 () −1 ∑︁ 2 . =1 Достаточно доказать, что+1221 ∑︁ 21 ∑︁ 26˜2 =1 2−1 =1 при том, что для всех = 1, . . . , 2 выполнено условие = ˜ + ˜ +2 .
Последнее верно в силутого, что разбиения согласованы, т.е. X = X̃ ∪ X̃+2 . Для доказательства рассмотрим цепочку56переходов между неравенствами:+1221 ∑︁ 21 ∑︁ 2 6 −1˜ ;2 =1 2=12∑︁2(˜ + ˜ +2 ) 6 2=12∑︁2˜ ˜ +2 6=106+12∑︁˜ 2 ;=12∑︁2(˜2 + ˜ +2 );=12∑︁22(˜2 − ˜ +2) .=1Что касается второй части неравенства (сравнение с Монте-Карло), то это следует автоматически из следствия к теореме 5, причём для всех допустимых значений параметров и .Теперь докажем аналогичные соотношения не для самой дисперсии Qint, а для её оценки.̂︂ 2 , определяемой (2.19):Установим вид оценки дисперсии Var⎞2⎛ ∑︁∑︁∑︁∑︁1̂︂ 2 = 1⎝ (, )⎠ .
2 (, ) − 2Var2 =1 =1 ( − 1) =1 =1̂︂ 2 ((2−1 ,2+1 ) ), к Var̂︂ 2 ((2 ,2 ) ), поэтомуПервая сумма никак не меняется при переходе от Varдостаточно сравнить только вторую сумму.По сути, речь идёт об одном и том же наборе точек, но агрегация значений в этих точкахпроисходит по-разному. По аналогии с представлением (2.5) в случае (2 , 2 ) больше повторов(„высокая“ матрица узлов), а в случае (2−1 , 2+1 ) больше множеств („длинная“ матрица узлов):1,11,2...1,2... ... ...1,2+1............... ... ......2−1 ,1 2−1 ,1 . .
. 2−1 ,2 . . . . . . . . . 2−1 ,2+1Обозначим =−12∑︀........................2 ,12 ,2...2 ,2 (, ), для = 1, . . . , 2+1 и ==12∑︀(2.34) (, ) для = 1, . . . , 2 . В рамках=1схемы (2.34) достаточно показать, что для всех допустимых при условии согласованности = + +2 выполнено21122 6 −1(2 + +2 ).−12−157Этот факт следует из цепочки неравенств, которая выполнена для > 1:222(2−1 − 1)(2 + +2 + 2 +2 ) 6 (2 − 1)( + +2 );22(2−1 − 1) +2 6 2−1 (2 + +2 );20 6 (2−1 − 1)( − +2 )2 + 2 + +2.̂︂ 2 ((,) ) 6 Var(̂︂ ) для любых возможных1 и необходимо покаДля доказательства Varзать, что(︃ )︃2∑︁∑︁1 ∑︁ ∑︁ 21 (, ) − 2 (, ) 6 2 =1 =1 ( − 1) =1 =1(︃ )︃ ∑︁(︁ ∑︁)︁2∑︁ ∑︁11 2 (, ) − (, ).
( − 1) =1 =1 =1 =1Для краткости обозначим =∑︀ (, ), тогда доказываемое утверждение есть=1∑︁111 ∑︁ ∑︁ 22()−6, 2 =1 =1 2 ( − 1) =1 ( − 1)(︃ ∑︁∑︁=1 =1)︃(︁ ∑︁)︁21 2 (, ) −. =1Тривиальным образом это сводится к неравенству(︁ ∑︀)︁2=1 −1∑︀−2=1−161 ∑︁ ∑︁ 2 (, ). − 1 =1 =1Правая часть всегда неотрицательна.
Докажем, что левая часть всегда неположительна. В самомделе, пользуясь леммой 5,( − 1)∑︁=12(︁ ∑︁)︁2 − 1 (︁ ∑︁ )︁2 (︁1 )︁(︁ ∑︁ )︁2> = − > ( − 1) ,=1=1=1что доказывает исходное утверждение.Подведём итог рассуждению о двойственности параметров и . Итак, при выборе комбинации (,) нужно иметь в виду следующие свойства.– При увеличении ˆˆ ;– увеличивается количество точек, по которым строится каждая из оценок ̂︂ 2 убывает быстрее, чем при увеличении ;– смещение оценки дисперсии VarЗдесь мы не будем пользоваться тем, что и представимы как 2 и 2 , то есть мы фактически докажем этучасть утверждения в общем виде.158– При увеличении – дисперсия Var((,) ) убывает быстрее, чем при увеличении ;̂︂ 2 также убывает быстрее, чем при увеличении .– оценка дисперсии VarВсе предыдущие рассуждения и теоретические факты были нами получены без непосредственной спецификации выбираемого разбиения X1 , . .
. , X . Единственное наложенное намиограничение заключалось в том, что объём каждого из подмножеств должен быть одинаков.Ещё один факт относительно монотонности дисперсии (теорема 10) установлен нами в дополнительных предположениях о количестве подмножеств = 2 и „последовательной вложенности“ при переходе от к + 1. Однако форма разбиений может по-прежнему быть какой угодно,что является несомненным преимуществом алгоритма Qint. Например, легко представить такоеразбиение, которое учитывает некоторую априорную информацию о подынтегральной функции.Так, если заранее известна некоторая подобласть области интегрирования, которая хорошо приближается константой, то можно строить подмножества X1 , . . . , X с учётом этой информации,и мы вправе ожидать улучшение скорости убывания дисперсии.В рассматриваемых далее численных экспериментах мы не будем предполагать наличиеаприорных знаний о подынтегральных функциях. Поэтому нашей задачей будет построить некоторое универсальное разбиение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
