Диссертация (1150625), страница 9
Текст из файла (страница 9)
. . , −→ повтор m↓(2.5)↓∈ X1 ∈ X2 . . . ∈ XОбозначим = . Повторы мы будем брать независимыми друг от друга; под этим мыподразумеваем попарную независимость любых двух узлов, содержащихся в разных повторах.В рамках этого предположения и с учётом предлагаемой нумерации справедлива следующаятеорема.Теорема 9. Обобщённая формула Qint, представленная в виде(,)1 ∑︁ ∑︁= (, ), =1 =1(2.6)где каждый из независимых повторов представляет собой процедуру Qint, описанную теоремой 4, обладает свойствами точности для обобщённой системы Хаара и несмещённости для ∈ ℒ2 ( ).
Её дисперсия равнаVar((,) ) =1∫︁⎛⎞2∫︁1 ⎜1 ∑︁⎟ 2 () − ⎝ ()⎠ −( − )2 , <(2.7)47∫︁где , ∈ {1, 2, . . . } и = (). Эта дисперсия не превосходит дисперсии наивногоXМонте-Карло с узлами:Var((,) ) = Var() − ,где = ( ) =(2.8)1 ∑︁( − )2 . <(2.9)Кроме того, для дисперсии справедливо следующее эквивалентное выражение1Var((,) ) =∫︁ 2 () −1 ∑︁ 2 . =1 (2.10)Доказательство. Несмещённость оценки интеграла (2.6) очевидна в силу независимости повторов. Действительно, общая оценка представляет собой среднее повторов квадратуры Qint, приэтом каждый из повторов обладает свойством несмещённости (лемма 2).Дисперсия вида (2.7) также получается тривиальным образом из дисперсии Qint (теорема 5из ровно тех же соображений несмещённости.
В самом деле, мы имеем дело с независимымиреализациями случайной величины со средним, равным , и дисперсией (1.57)∫︁1Var( ) =1 () −2)︃2(︃ ∫︁− ()1 ∑︁( − )2 . <(2.11)В этом случае (,) будет иметь дисперсию в раз меньше, то есть в точности1Var((,) ) =∫︁1 () −2)︃2(︃ ∫︁− ()1 ∑︁( − )2 . <(2.12)Для доказательства эквивалентной формы дисперсии достаточно показать, что1)︃2(︃ ∫︁ ()+1 ∑︁1 ∑︁ 2( − )2 = .
< =1 (2.13)Этот факт следует непосредственно из леммы 5 с учётом того, что = и)︃2(︃ ∫︁ ()(︃= ∫︁∑︁=1 X)︃2 ()(︃=∑︁)︃2.(2.14)=1Представленная в таком виде процедура есть не что иное Qint с повторами, как один изчастных случаев расслоения вида (1.9). Для того, чтобы убедиться в этом, мы покажем эквивалентность дисперсий для обеих оценок.48Лемма 6. Пусть для формулы (1.12) выполнено = и разбиение на множества 1 , . .
. , совпадает с разбиением X1 , . . . , X . Если при этом количество точек 0 в каждом из подмножествесть количество повторов для обобщённой формулы Qint, то выражения для дисперсий (1.13)и (2.7) равны.Доказательство. В самом деле, дисперсия расслоения, определяемая (1.13) и (1.14), в условиях1 = X1 , . . . , = X принимает вид1 ∑︁ 21 ∑︁)= 2, =Var((,) =1 =1==1 ∫︁∑︁∫︁1=1 X 2 () −1 2 () −1∑︁(︃ ∫︁(︃ ∫︁ 2 () − )︃2 )︃ ()=∑︁(︃ ∫︁=1X)︃2 ()=2 .=1Последнее выражение есть не что иное, как Var((,) ), в соответствии с (2.10).Предыдущий результат означает, что мы могли бы получить формулу Qint с повторами вобход теории случайных квадратур.
Тем не менее, выбранный нами путь является оправданнымвыбором по нескольким причинам:– в силу теоремы 1 мы получили свойство точности для обобщённых систем Хаара и индикаторов (теоремы 4 и 8, соответственно);– система Хаара оказалась одним из редких случаев нерегулярных систем, когда истиннаядисперсия меньше, чем оценка сверху (теорема 2);– предыдущее наблюдение приводит к ряду уточнений в теории случайных квадратурныхформул (теоремы 6, 7);– нами установлено несколько эквивалентных выражений для дисперсии процедуры Qint(теорема 8), что позволит нам построить несколько практических оценок и исследовать ихсвойства;– нами показана тесная связь теории случайных квадратур и классических методов понижения дисперсии.Практическое применение метода расслоенной выборки сопряжено с дополнительными накладными расходами на моделирование.
Так, даже в простейшем случае, при последовательном моделировании точек 1 , . . . , для имеющегося ( , )-разбиения X1 , . . . , X необходимо,во-первых, выбирать подмножество случайным образом из тех, в которых ещё не было точек,во-вторых, иметь эффективный способ моделирования для каждого из подмножеств.49С другой стороны, последовательность Соболя, будучи (, )-последовательностью в смыслеопределения 4, обладает замечательными свойствами распределённости по элементарным подмножествам гиперкуба .
Если ( , )-разбиение взято таким образом, что каждое из X1 , . . . , Xсостоит из одинакового количества элементарных подмножеств вида (1.31), то любые подрядидущих точек из последовательности Соболя распределены именно так, как предписывает процедура Qint. Что касается процедуры Qint с повторами, то здесь можно поступить точно так же,как это делается для рандомизированного квази-Монте-Карло, а именно взять независимыхрандомизаций набора из точек Соболя. Именно такой подход будет использоваться нами дляпоследующих численных экспериментов.Иными словами, мы можем рассматривать процедуру Qint с повторами как принципиальноновый способ оценивания дисперсии рандомизированного квази-Монте-Карло. Вместо того, чтобы производить моделирование расслоенной выборки в соответствии с распределением (1.54),мы можем использовать рандомизированную (, )-последовательность, которая гарантированно обладает свойством равномерного распределения по X1 , .
. . , X . Более того, теоретическаядисперсия рандомизированного квази-Монте-Карло в общем виде неизвестна (Оуэном А. в [45]доказана асимптотика только для одного узкого класса функций), а дисперсия Qint (2.7) известна и конструктивна, что позволяет строить рассматриваемые далее оценки (2.15), (2.19), (2.23),удобные для практического применения.2.3Оценивание дисперсииДля построения оценки дисперсии, применимой для численных экспериментов, можно воспользоваться равенством (2.7).
Такой подход рассматривался в работе [18]. А именно,̂︂ 1 = Var̂︂ − ,ˆVar(2.15)∑︁ (︀)︀2ˆ − ˆ(2.16)гдеˆ =<и1 ∑︁ˆ = (, ). =1(2.17)При этом каждый из подынтегралов оценивается по точкам, поскольку из каждого повтора ровно одна точка попадает в подмножество X . Докажем ряд утверждений о такой оценке.Лемма 7. ˆ – несмещённая оценка .Доказательство. Рассмотрим узел , для некоторых фиксированных и . Его распределение в рамках -го повтора задаётся совместным распределением ,1 , .
. . , , , описываемым50плотностью (1.54). В соответствии с этим распределением,E (, ) =!∫︁ (, )1 (,1 , . . . ,, ),1 . . . , = !=! −1∫︁∫︁ (, ), = X ()().XПоскольку повторы независимы,1Eˆ = (E (1, ) + . . . + E (, )) =∫︁ () = .XНаряду с обозначением , введём коэффициенты :∫︁ = 2 ().XТогда верна следующая лемма.Лемма 8. Для математического ожидания квадрата оценки ˆ выполненоEˆ2 =1−1 2 + .(2.18)Доказательство.
Пользуясь независимостью двух различных повторов,(︃ )︃2(︃ )︃∑︁∑︁∑︁11Eˆ2 = 2 E (, ) = 2 E 2 (, ) + 2 (1 , ) (2 , ) = <=1=1(︃)︃ 1 21= 2 E 2 (1, ) + ( − 1)E (1, ) (2, ) =(︃ ∫︁(︃ ∫︁)︃2 )︃1= 2 () + ( − 1)2 ()=X=X−1 21 + .Как свидетельствуют результаты из [18], оценка вида (2.15) может быть успешно использована для оценки дисперсии процедуры Qint. Однако в работе автора [19] для практическихвычислений использовалась другая оценка, основанная на равенстве (2.10):1 ∑︁ ∑︁ 21 ∑︁ ˆ 2̂︂Var2 = 2 (, ) −ˆ , =1 =1 =1 (2.19)51гдеˆˆ =√︂∑︁1ˆ = √︀ (, ).−1 ( − 1) =1(2.20)ˆˆ и Оценки ˆ связаны тривиальным образом, поэтому из предыдущей леммы автоматическиследует, чтоˆˆ 2 = 2 +E1 .( − 1)(2.21)Установим точное смещение рассматриваемой оценки дисперсии.̂︂ 2 выполненоЛемма 9. Для математического ожидания оценки Var1̂︂ 2 = Var((,) ) −EVar ( − 1)∫︁ 2 ().(2.22)Доказательство.
Из доказательства теоремы 1.57 о дисперсии Qint мы знаем, что в рамкаходного повтора (при фиксированном )E∑︁∫︁2 2 (). (, ) = =1Тогда1 ∑︁ ∑︁ 21 ∑︁ ˆ 2̂︂EVar2 = 2 E (, ) − Eˆ = =1 =1 =1)︂∫︁ (︂11 ∑︁122= () − + = =1( − 1)1=∫︁1 2 () −(︃ ∫︁)︃22 ()1− ( − 1)= Var((,) ) −1 ( − 1)∫︁ 2 () =∫︁ 2 ().̂︂ 2 является асимптотически несмещённой оценкой дисперсии обобщённой форСледствие. Varмулы Qint.Оценка (2.19) представляется нам более предпочтительной по сравнению с (2.15), посколькуеё смещение нам известно из следующей леммы.
Последняя также обладает свойством асимптотической несмещённости (это легко показать, но мы не будем этого делать, поскольку не будемиспользовать её в численных экспериментах), но её смещение имеет более сложную форму.Стоит отдельно отметить тот факт, что порядок убывания смещения не является одинаковым по и (он равенколичества повторов).1(−1)и 1 , соответственно, то есть убывает быстрее при увеличении52Наконец, мы можем рассмотреть и несмещённый вариант оценки дисперсии, который три̂︂ 2 :виальным образом получается из оценки Var̂︂ 3 =Var∑︁ ∑︁1 ∑︁ ˆ 22()−ˆ ., 2 ( − 1) =1 =1 =1 (2.23)Далее мы будем использовать только оценку вида (2.19): с одной стороны, с практическойточки зрения существенных различий между использованием оценок (2.19) и (2.23) выявлено небыло; с другой, оценка (2.19) уже использовалась автором в работе [19].Из теорем 8 и 9 мы можем сделать вывод о скорости убывания дисперсии обобщённойпроцедуры Qint по количеству разбиений и повторов .
В самом деле,⎛Var((,) ) =1 ⎝‖ ‖22 −∑︁⎞κ2 ⎠ ,(2.24)=1где {κ }=1 суть коэффициенты Фурье-Хаара подынтегральной функции . Таким образом, дис(︀ )︀персия убывает(︁ по )︁ как 1 независимо от свойств . По порядок убывания, вообщеговоря, есть ℎ(), где ℎ() – порядок убывания остатка ряда из квадратов коэффициентовФурье-Хаара.Необходимо упомянуть известные результаты о скорости сходимости по системе ФурьеХаара. Так, в одномерном случае система, построенная самим Хааром А. в [46], является базисомв пространствах непрерывных функций (0,1) и ℒ (0,1) для > 1 (Хаар А., [46], Фабер Г., [50],Шаудер Дж., [48]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
