Автореферат (1150421), страница 2
Текст из файла (страница 2)
время,необходимое сигналу для достижения соседнего нейрона.Находится положение равновесия системы (1): точка x* ≡ (*1 , 1* , *2 , 2* )Tс координатами *1 = −1 , *2 = −2 , 1* = −1 + 31 /3 + (1 − 2 ) и 2* =−2 + 32 /3 + (2 − 1 ).Рассматриваемая система (1) линеаризуется около положения равновесия*x , и производится замена x() = [1 (), 1 (), 2 (), 2 ()] ≡ x* + x()⎛⎞⎛⎞1 −1 0 00 0 0⎟⎟1⎜1⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎜ 0 0 0 0⎟ ẋ() = ⎜(2)⎟ x() + ⎜⎟ x( − ), ⎝ 0 0 2 −1⎠ ⎝ 0 0 0⎠0 0 00 0 0 0где = 1 − 2 − , = 1, 2.Задача состоит в нахождении условий бифуркации для линеаризованнойсистемы (2). Для этого используется подход, предложенный в работе (E.
Schöll,6G. Hiller, P. Hövel, M. A. Dahlem. Time-delayed feedback in neurosystems //Philosophical Transactions of the Royal Society A. — 2009. — Vol. 367, Issue 1891.— P. 1079–1096), который применялся для случая двух связанных систем ФХН содинаковыми пороговыми параметрами.Делается следующее предположение о параметрах системы (1)|(1 − − 21 )(1 − − 22 )| > 2 .(3)Выполнение данного неравенства гарантирует невозможность бифуркацииАндронова-Хопфа для линеаризованной системы (2).Теорема 2.1.
Если выполнено неравенство (3), то бифуркация Андронова-Хопфаневозможна, т.е. положение равновесия линеаризованной системы (2) асимптотически устойчиво.В разделе 2.2 рассматривается более общий случай, а именно, случайнеоднородной однонаправленной кольцевой сети из систем ФХН. Уравнениятакой сети можно представить в следующем виде3 ()− () + [(+1)3˙ () = () + , = 1, . . . , .˙ () = () −mod (− ) − ()],(4)Находится единственное положение равновесия системы (4): точка x* ≡* T) с координатами * = − , * = − + 3 /3 + ( −(*1 , 1* , . . . , * , (+1) mod ), где = 1, . . .
, , около которой система (4) линеаризуется, и производится замена x() = [1 (), 1 (), 2 (), 2 ()] ≡ x* + x()7⎛1 −1 0 0 0 · · · 0⎜ 0 0 0 0 ··· 0⎜⎜⎜ 0 0 2 −1 0 · · · 0⎜0 0 0 0 ··· 01⎜ ẋ() = ⎜⎜⎜ 0 0 0 0 3 · · · 0........ . . . ..⎜ .......⎜.⎜⎝ 0 0 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0 ··· ⎛0⎜0⎜⎜⎜0⎜01⎜+ ⎜⎜ ⎜0⎜ ..⎜.⎜⎝0⎞00⎟⎟⎟0⎟⎟0⎟⎟ x()+0⎟⎟.. ⎟. ⎟⎟−1⎠000000...000000...0000000...000000...00···············...······00000...00⎞00⎟⎟⎟0⎟⎟0⎟⎟ x( − ), (5)0⎟⎟.. ⎟.⎟⎟0⎠0где = 1 − 2 − , = 1, .
. . , .Делается следующее предположение на параметры системы (4)⃒⃒⃒⃒⃒∏︁⃒⃒ (1 − − 2 )⃒ > || . ⃒⃒⃒=1⃒(6)Данное неравенство определеяет значения параметров , , = 1, . . . , , прикоторых бифуркация Андронова-Хопфа невозможна.Теорема 2.2. Если выполнено неравенство (6) то бифуркация Андронова-Хопфаневозможна, т.е. положение равновесия линеаризованной системы (5) асимптотически устойчиво.Полученное неравенство является обобщением неравенства (3) для случая однонаправленного кольца систем ФХН.В третьей главе рассматриваются задачи управления синхронизациейпростейшей сети – двух связанных систем ФХН с неоднородностями.В разделе 3.1 рассматривается задача синхронизации двух систем ФХНс различными пороговыми параметрами.
Системы описываются следующими8уравнениями31 ()− 1 () + [2 () − 1 ()] + (),3˙1 () = 1 () − 1 () + 1 ,32 ()− 2 () + [1 () − 2 ()],˙2 () = 2 () −3˙2 () = 2 () − 2 () + 2 ,˙1 () = 1 () −(7)где () – внешний стимул, используемый в качестве управления.Вводятся следующие обозначения, означающие ошибки синхронизации,1 = 1 − 2 ,2 = 1 − 2 ,(8)и формулируется цель управления|1 ()| 6 Δ1 ,|2 ()| 6 Δ2 ,при > * ,(9)где Δ1 , Δ2 – уровни точности.Путем вычитания третьего уравнения из первого системы (7) и четвертого из второго, соответственно, получается система, описывающая динамикуошибок синхронизации˙1 () = (1 − 2)1 () − 2 () − 1 ()() + (),˙2 () = 1 () − 2 () + 1 − 2 ,где = (21 + 1 2 + 22 )/3 и () > 0 для любого .Строится регулятор, обеспечивающий цель управления (9)() = −1 (),(10)где > 0 – коэффициент усиления; данный регулятор может быть использованв случае известных параметров системы (7) и обеспечивает следующие уровниточности|1 − 2 ||1 − 2 |Δ1 = √︀, Δ2 =.(11)2 (2 + − 1)Делается следующее предположение > 1 − 2 , и формулируется теорема о достижении ЦУТеорема 3.1.
∀ 1 (0), 2 (0), 1 (0), 2 (0) системы (7) управление () в виде(10), где > 1 − 2 , а 1 и 2 выражаются формулами (8), обеспечивает цельуправления (9) с уровнями точности (11).Следствие 3.1. Если выполнено неравенство > 0.5, то системы (7) синхронизируются без управления, т.е. () = 0.9В случае, если параметры системы неизвестны, строится адаптивный регулятор() = −1 () + ()1 (),(12)˙ = −0 2 (),()1где > 0, 0 > 0 – коэффициенты усиления, а – настраиваемый параметр,используемый для оценки неизвестной силы связи .
Оценка неизвестного параметра системы производится с помощью алгоритма скоростного градиента,предложенного А. Л. Фрадковым (А. Л. Фрадков. Схема скоростного градиентаи его применения в задачах адаптивного управления // Автоматика и телемеханика. — 1979. — № 9. — С. 90–101).Теорема 3.2. ∀ 1 (0), 2 (0), 1 (0), 2 (0) системы (7) управление () в виде(12), где > 1, 0 > 0, а 1 и 2 выражаются формулами (8), обеспечиваетцель управления (9) с некоторыми уровнями точности.Управлять синхронизацией можно также с помощью настройки силы связи , которую можно производить по алгоритму скоростного градиента. Дляэтого вводится целевая функция(z()) = (1 () + 1 − 2 )2 ,2где z = (1 , 2 ), к которой применяется алгоритм скоростного градиента˙()= 21 ()(1 () + 1 − 2 ),(13)где > 0 – коэффициент усиления.Работоспособность получаемых алгоритмов управления (9), (12), (13) иллюстрируется результатами численного моделирования.В разделе 3.2 производится анализ синхронизации двух систем ФХН сдискретными связями.
Уравнения систем описываются следующим образом31 ()− 1 () + [2 ( ) − 1 ()],3˙1 () = 1 () + − 1 (),32 ()˙2 () = 2 () −− 2 () + [1 ( ) − 2 ()],3˙2 () = 2 () + − 2 (), 6 < +1 ,˙1 () = 1 () −(14)где , – постоянные параметры системы. Распространяющийся между нейронами сигнал задан кусочно-постоянной функцией с последовательностью промежутков времени 0 = 0 < 1 < · · · < < . . . , где lim→∞ = ∞.Предполагается, что неравенства+1 − 6 ℎ ∀ > 0,10выполнены для некоторого ℎ > 0.Рассматривается система из ошибок синхронизации (8) системы (14)˙1 () = (1 − − ())1 () − 1 ( − ()) − 2 (),˙2 () = 1 () − 2 (), ∈ [ , +1 ),(15) () = − ,где = 1/3(21 + 1 2 + 22 ), () > 0, ∀.Задачей является изучить влияние шага дискретизации ℎ на устойчивостьсистемы (15). Для этого используется метод, предложенный Р. Э.
Сейфуллаевым и А. Л. Фрадковым (Р. Э. Сейфуллаев, А. Л. Фрадков. Анализ дискретнонепрерывных нелинейных многосвязных систем на основе линейных матричныхнеравенств // Автоматика и телемеханика. — 2015. — № 3. — С. 57–74), основанный на разрешимости линейных матричных неравенств.Разрешимость линейных матричных неравенств проверяется в системеMatlab, пакет Yalmip. Находятся максимальные значения шага дискретизации ℎв зависимости от параметров системы (14).В разделе 3.3 рассматривается задача синхронизации двух связанных систем ФХН с переменной задержкой31 ()˙1 () = 1 () −− 1 () + [2 ( − ()) − 1 ()] + (),3˙1 () = 1 () − 1 () + ,3 ()˙2 () = 2 () − 2 − 2 () + [1 ( − ()) − 2 ()],3˙2 () = 2 () − 2 () + .(16)Здесь – переменная задержка.Система (16) приводится к системе из ошибок синхронизации (8)˙1 () = (1 − )1 () − ()1 () − 1 ( − ()) − 2 () + (),˙2 () = 1 () − 2 (),где = 1/3(21 + 1 2 + 22 ), () > 0 ∀ – неотрицательная функция.Формулируется цель управления1 () → 0,2 () → 0,при → ∞,(17)Для достижения цели управления (17) выбирается регулятор () в следующей форме() = −1 1 () + 2 1 ( − ()),(18)где 1 > 0, 2 – параметры управления.Делаются следующие предположения.111.
Предположим, что задержка – дифференцируемая функция с ограниченной сверху производной ˙ 6 < 1 (случай медленно-меняющихся задержек).2. Предположим, что параметры регулятора 1 , 2 удовлетворяют неравенству|2 − |1 > √− + 1.1−(19)Формулируется теорема о достижении ЦУТеорема 3.3. Пусть задержка – медленно-меняющаяся дифференцируемаяфункция в системе (16), т.е. ˙ 6 < 1. Тогда управление () в форме (18),где параметры 1 > 0 и 2 удовлетворяют неравенству (19), а 1 , 2 выражаются формулами (8), обеспечивает цель управления (17).Также рассматривается общий случай с произвольной задержкой длядвух связанных систем ФХН (16).Строится регулятор в форме (18) и делается следующее предположениена параметры регулятора{︃0 < < ,(20)−4(1 − − 1 + ) > (2 − )2 .Формулируется теорема о достижении ЦУТеорема 3.4.
Пусть в системе (16) задержка () – произвольная функция. Алгоритм управления в форме (18) с параметрами, удовлетворяющими неравенствам (20) и 1 , 2 равными (8), обеспечивает цель управления (17).Следствие 3.2. Если выполнено неравенство Θ = −4(1 − + ) > 0 для ∈ (0, ) системы (14), то дискретный алгоритм управления в форме() = 2 (1 ( ) − 2 ( )), 6 < +1 ,(21)где (2 − )2 < Θ, обеспечивает синхронизацию систем (14).Работоспособность получаемых алгоритмов управления (18), (21) иллюстрируется результатами численного моделирования.В четвертой главе рассматривается задача синхронизации неоднороднойсети систем ФХН.В разделе 4.1 находятся условия, гарантирующие синхронизацию неоднородной сети систем ФХН. Рассматривается сеть, состоящая из систем ФХН∑︁3 ()˙ () = () −− () + [ () − ()],3=1˙ () = () − () + .12(22)где G = ( ) – матрица смежности, = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
