Диссертация (1149954), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Èòîãî ïîëó÷àåì àëãîðèòì, íàõîäÿùèéO((|X1| + · · ·+ |Xn |)(|G(X)| + 3n(n−1)/2k)) ≤ O(2n · 3n(n−1)/2 k), ÷òîâñå-òàêè ìåíüøå, ÷åì ïåðåáîð âñåõ ñèòóàöèé è ïðîâåðêà êàæäîé èç íèõ íà ðàâíîâåñíîñòü çàâðåìÿ ïîðÿäêàO(2n(n+1)). ñòàòüå [73℄ îáñóæäàåòñÿ íåñêîëüêî âàæíûõ ïðèìåðîâ ñåòåâûõ èãð äëÿ íåîðèåíòèðîâàííûõ ãðàîâ, â êîòîðûõ óíêöèÿ âûèãðûøà çàâèñèò îò êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè è ðàññòîÿíèÿîò èãðîêà äî äðóãèõ èãðîêîâ.  ïðèëîæåíèè A.4 ðàññìîòðåíû àíàëîãè÷íûå ïðèìåðû äëÿîðèåíòèðîâàííûõ ãðàîâ.Ïîïàðíàÿ è ãèáðèäíàÿ ñòàáèëüíîñòüÎïðåäåëåíèå 50. èãðàõ ñîãëàñèÿ áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñåòüg ′ ∈ G(X) ïîïàðíî ñòàáèëüíà[79℄ òîãäà, êîãäà:1.
åñëè äëÿ ëþáîé ïàðû èãðîêîâi, j ∈ Níåêîòîðûì âåêòîðîì ñòðàòåãèé), òî2. åñëè ñåòüñåòüg ′ := g \ {ij} ∈ G(X) (ò.å.ñåòüg′ðåàëèçóåìàfi (g ′ ) ≤ fi (g), fj (g ′) ≤ fj (g).g ′′ = g ∪ {ij} ∈ G(X) ðåàëèçóåìàîäèí èç èãðîêîâ ñòðîãî âûèãðûâàåò (fi (g′′íåêîòîðûì âåêòîðîì ñòðàòåãèé è â ýòîé ñåòè) > fi (g)èëèfj (g ′′ ) > fj (g))òî âòîðîé ñòðîãîïðîèãðûâàåò.Ïåðâûé ïóíêò îçíà÷àåò ñîãëàñîâàííîå óäàëåíèå ñâÿçè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî óäàëåíèþ ñâÿçèîäíèì èç èãðîêîâ. Âòîðîé ïóíêò îçíà÷àåò ñîãëàñîâàííîå äîáàâëåíèå ñâÿçè ìåæäó èãðîêàìè.Íà ïåðâûé âçãëÿä, ýòîò ïðèíöèï îïòèìàëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ êîàëèöèîííûì, ïîñêîëüêó ïðåäïîëàãàåò ñîãëàñîâàííîå ïîâåäåíèå èãðîêîâ. Íî ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî â ñåòåâûõ èãðàõ íåâîçìîæíîïðåïÿòñòâîâàòü ñîãëàøåíèþ ìåæäó èãðîêàìèi, jîòíîñèòåëüíî äóã(i, j), (j, i),òàêîå ñîãëà-øåíèå íåèçáåæíî.
 ýòîì ñìûñëå, äàííûé ïðèíöèï ÿâëÿåòñÿ áåñêîàëèöèîííûì.Ïîïàðíî ñòàáèëüíûå ñåòè ýòî òåðìèíàëüíûå âåðøèíû â ãðàåòîðîì ìíîæåñòâî âåðøèí ýòî ìíîæåñòâî ñåòåéG(X),è äâå ñåòè(G(X), MG (X)),g1 , g2â êî-ñîåäèíåíû äóãîé108òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàåì âûèãðûøà îáîèõ èãðîêîâg2g1ïîëó÷àåòñÿ èçi, jäîáàâëåíèåì íåêîé äóãèëèáî óäàëåíèåì íåêîé äóãè(i, j)(i, j)ñ óâåëè÷åíè-ñ óâåëè÷åíèåì âûèãðûøàîäíîãî èç èãðîêîâi, jO(|G(X)|n(n − 1))âðåìåíè. Åñëè òðåáîâàòü îò ñåòè íå òîëüêî ïîïàðíîé ñòàáèëüíîñòè, íî[79℄. Î÷åâèäíî, âñå èõ ìîæíî íàéòè ïåðåáîðîì ñåòåé ýòî òðåáóåòè ñòàáèëüíîñòè ïî Íýøó, ïîëó÷èìãèáðèäíî-ñòàáèëüíóþòàêæå ìîæíî íàéòè ïåðåáîðîì ýòî òðåáóåòÇàìå÷àíèåñåòü. èáðèäíî-ñòàáèëüíûå ñåòèO(|G(X)|(n(n − 1) + |X1| + · · · + |Xn |)) âðåìåíè.3.2.3.
 [79℄ òåðìèíîì pairwise stability îáîçíà÷àåòñÿ ãèáðèäíàÿ ñòàáèëüíîñòü.Íî â áîëåå ïîçäíåé ðàáîòå [72℄ pairwise stability ýòî óæå ïîïàðíàÿ ñòàáèëüíîñòü.Ìàêñèìèííûå ñòðàòåãèèÌàêñèìèííàÿ ñòðàòåãèÿ i-ãîäîñòèãàåòñÿèãðîêà ýòî, êàê èçâåñòíî, ñòðàòåãèÿmaxxi ∈Xi min(xj ∈Xj )j6=i fi (x1 , . . . xn ).xi ∈ Xi ,Ò.å. ãàðàíòèðîâàííûé âûèãðûøíà êîòîðîéi-ãîèãðîêà.Óòâåðæäåíèå 3.2.2.
 êîíå÷íîé èãðå ñîãëàñèÿ ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàêñèìèííàÿ ñèòóàöèÿ/ M.äëÿ i-ãî èãðîêà, ÷òî äëÿ ëþáîé äóãè (i, j) (i, j) ∈Äîêàçàòåëüñòâî.Äîêàçûâàåòñÿ â ðàçäåëå 3.2.5 äëÿ áîëåå îáùåãî ñëó÷àÿ ïàðàìåòðè÷åñêèõñåòåâûõ èãð.Àíàëîãè÷íî, ñóùåñòâóåò ìàêñèìèííàÿ ñèòóàöèÿ, â êîòîðîé íåò äóã(j, i) ò.å.i-éèãðîêîñòàâëåí â èçîëÿöèè.Ýòî çíà÷èò, ÷òî â èãðàõ ñîãëàñèÿ ìîæíî íàéòè ìàêñèìèííûé âûèãðûøi-ãîèãðîêà, èñ-ïîëüçóÿ áîëåå ïðîñòîé àëãîðèòì.
À èìåííî: ðàññìàòðèâàåì âñå âîçìîæíûå ñåòè èçè âûáèðàåì èç íèõ òó, êîòîðàÿ ìèíèìèçèðóåò3.2.4fi .Ñëîæíîñòü àëãîðèòìà G(∅, X−i )O(|G(X)|).Êîàëèöèîííûå ïðèíöèïû îïòèìàëüíîñòè â ñåòåâûõ èãðàõÑàìûé èçâåñòíûé êîàëèöèîííûé ïðèíöèï îïòèìàëüíîñòè ñèëüíîå ðàâíîâåñèå [17℄, íî ìûðàññìîòðèì ñðàçó áîëåå îáùèé ñëó÷àé êîàëèöèîííîå ðàâíîâåñèå ñ ìíîæåñòâîì êîàëèöèéC.Îïðåäåëåíèå 51. èãðàõ ñîãëàñèÿ ñåòüåñëè äëÿ ëþáîé êîàëèöèèS ∈Cg ∈ G(X)íàçûâàåòñÿè ëþáîãî âåêòîðà åå ñòðàòåãèéòîãî, ÷òî êòî-òî èç ó÷àñòíèêîâ êîàëèöèè ñòðîãî âûèãðûâàåò ïðèêîàëèöèîííî ñòàáèëüíîé,Qx′S = (x′i )i∈S ∈ i∈S Xi èçi∈Sâ ñèòóàöèè(x′S , xN \S ),ñëåäóåò, ÷òî äðóãîé ó÷àñòíèê êîàëèöèè ñòðîãî ïðîèãðûâàåò.Êîàëèöèîííîå ðàâíîâåñèå íàçûâàåòñÿk -ðàâíîâåñèåìâîçìîæíû òîëüêî êîàëèöèè ðàçìåðà íå áîëüøåæåñòâîk -ðàâíîâåñíûõk.[17℄, åñëèC = {S | |S| ≤ k},ò.å.Î÷åâèäíî, ÷òî ñ ðîñòîì ïàðàìåòðà ê ìíî-ñèòóàöèé ñóæàåòñÿ.
1-ðàâíîâåñèÿ ÿâëÿþòñÿ îáû÷íûìè ðàâíîâåñèÿìè109Íýøà,n-ðàâíîâåñèÿ ñèëüíûìè ðàâíîâåñèÿìè Íýøà.  òî âðåìÿ, êàê ðàâíîâåñèå ïî Íýøóâ èãðàõ ñîãëàñèÿ ñóùåñòâóåò âñåãäà, ñèëüíîãî ðàâíîâåñèÿ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ íå ñóùåñòâóåò. Èç 2-ðàâíîâåñíîñòè ñëåäóåò ãèáðèäíàÿ ðàâíîâåñíîñòü, à èç ãèáðèäíîé ðàâíîâåñíîñòè êàê ïîïàðíàÿ ðàâíîâåñíîñòü, òàê è îáû÷íàÿ (1-ðàâíîâåñíîñòü).Äëÿ èãð ñîãëàñèÿ ìîæíî îáîáùèòü ñòàáèëüíîñòü äî êîàëèöèîííîé ñòàáèëüíîñòè:Îïðåäåëåíèå 52. èãðàõ ñîãëàñèÿ áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñåòü÷àñòíîñòè, ñèëüíî) äîñòèæèìàèç ñåòèg ∈ G(X)îòêëîíåíèåì êîàëèöèèëþáîé ñåòèÑåòüåñëè îíà äî-g ∈ G(X) êîàëèöèîííî (â ÷àñòíîñòè, ñèëüíî) ñòàáèëüíà,g ′ ∈ G(X), êîàëèöèîííî (â ÷àñòíîñòè,ìè íåêîòîðîé êîàëèöèèS,S ∈ C.ñòèæèìà (â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì äîñòèæèìîñòè) èÎïðåäåëåíèå 53.g ′ ∈ G(X) êîàëèöèîííî (âñèëüíî) äîñòèæèìîé èç ñåòèS , èç òîãî, ÷òî êòî-òî èç ó÷àñòíèêîâgåñëè äëÿîòêëîíåíèÿ-êîàëèöèè ñòðîãî âûèãðûâàåò îòîòêëîíåíèÿ, ñëåäóåò, ÷òî íàéäåòñÿ äðóãîé ó÷àñòíèê êîàëèöèè, êîòîðûé ñòðîãî ïðîèãðûâàåò.Âåðíû è àíàëîãè÷íûå óòâåðæäåíèÿ:Óòâåðæäåíèå 3.2.3.
Åñëè â èãðå ñîãëàñèÿ ñèòóàöèÿ x ÿâëÿåòñÿ êîàëèöèîííûì (â ÷àñò-íîñòè, ñèëüíûì) ðàâíîâåñèåì è ïðèâîäèò ê ðåçóëüòèðóþùåé ñåòè g , òî ñèòóàöèÿ x′ , âêîòîðîé x′in = x′out = g x′in = g òàêæå áóäåò êîàëèöèîííûì (â ÷àñòíîñòè, ñèëüíûì)ðàâíîâåñèåì.Óòâåðæäåíèå 3.2.4. Ñåòü g ∈ G(X) êîàëèöèîííî (â ÷àñòíîñòè, ñèëüíî) ñòàáèëüíà òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò êîàëèöèîííî (â ÷àñòíîñòè, ñèëüíî) ðàâíîâåñíàÿ ñèòóàöèÿ, ïðèâîäÿùàÿ ê ñåòè g .Äëÿ êîàëèöèîííûõ (â ÷àñòíîñòè, ñèëüíûõ) ðàâíîâåñèé ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå íåñòðîãîãî(ñëàáîãî) êîàëèöèîííîãî ðàâíîâåñèÿ.  íåì äëÿ îòêëîíåíèÿ êîàëèöèè îò íåêîòîðîãî íàáîðàñòðàòåãèé íåîáõîäèìî ñòðîãîå óâåëè÷åíèå âûèãðûøà âñåõ ó÷àñòíèêîâ êîàëèöèè.  îáû÷íîìæå êîàëèöèîííîì ðàâíîâåñèè êîàëèöèè âûãîäíû îòêëîíåíèÿ, ïðè êîòîðûõ âûèãðûâàþò ëèøüíåêîòîðûå èç åå ó÷àñòíèêîâ.Êîàëèöèîííî-ñòàáèëüíûå ñåòè ìîæíî íàéòè, ïîëüçóÿñü òåìè æå äâóìÿ ïåðåáîðíûìè àëãîðèòìàìè, ÷òî è äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàâíîâåñèÿ Íýøà (ýòè àëãîðèòìû ïîäðîáíåå ðàññìîòðåíûâ ðàçäåëå 3.3).
 îáîèõ àëãîðèòìàõ ïåðåáèðàþòñÿ âñå âîçìîæíûå ñåòè, íî â ïåðâîì àëãîðèòìå ðàññìàòðèâàþòñÿ âñå âîçìîæíûå îòêëîíåíèÿ êîàëèöèé â ñåòè, à âî âòîðîì âñå äðóãèåñåòè. Ñëîæíîñòü ïåðâîãî àëãîðèòìà ãîðèòìà O(|G(X)|2(n + |C|h)),ãäåO(|G(X)|O(h)äàííîå ìíîæåñòâî êàêóþ-ëèáî êîàëèöèþ.PS∈C (|S|Qi∈S|Xi |)).
Ñëîæíîñòü âòîðîãî àë- ñëîæíîñòü ïðîâåðêè òîãî, âêëþ÷àåò ëè â ñåáÿ1103.2.5Îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðè÷åñêîé ñåòåâîé èãðûÏàðàìåòðè÷åñêàÿ ñåòåâàÿ èãðà êàê îáîáùåíèå èãðû îðìèðîâàíèÿ ñåòè èãðå îðìèðîâàíèÿ ñåòè, îïðåäåëåííîé â ðàçäåëå 3.2.2, â ðåçóëüòàòå äåéñòâèé èãðîêîâ âîçíèêàåò îáû÷íûé îðèåíòèðîâàííûé èëè íåîðèåíòèðîâàííûé ãðà(N, M).Ïîýòîìó ïîäîáíûåñåòåâûå èãðû [73, 17℄, áîëåå ëîãè÷íî íàçûâàòü ãðàîâûìè èãðàìè èëè èãðàìè îðìèðîâàíèÿ ãðàîâ. àññìîòðèì òåïåðü èõ åñòåñòâåííîå îáîáùåíèå èãðû, â êîòîðûõ â ðåçóëüòàòåäåéñòâèé èãðîêîâ ïîëó÷àåòñÿ íå îáû÷íûé ãðà, à ñåòü, ò.å. ãðà ñ íàãðóæåííûìè âåðøèíàìèè äóãàìè.àíåå ðàññìàòðèâàëîñü îáîáùåíèå èãðû îðìèðîâàíèÿ ñåòè íà ñëó÷àé, êîãäà âåðøèíûñåòè íàãðóæåíû (âçâåøåíû) âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè, à ðåáðà ïàðàìè âåùåñòâåííûõ ÷èñåë[16℄.
Àâòîðîì äàííîé ðàáîòû â [37℄ ïîñòðîåíî îáîáùåíèå èãðû îðìèðîâàíèÿ ñåòè äëÿ âåñîââåðøèí èç ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâ è âåñîâ äóã èç ïðîèçâîëüíûõ íèæíèõ ïîëóðåøåòîê:Îïðåäåëåíèå54. Ïàðàìåòðè÷åñêàÿñåòåâàÿ èãðà(N, ((Si )i∈N , (U(i,j) )i,j∈N , (Ui (si ))i∈N,si ∈Si ), G, g, (Hi)i∈N ),• N = {1, . . . n}• SiýòîñåòåâàÿΓS,Uèãðà=ãäå ìíîæåñòâî èãðîêîâ; àáñòðàêòíîå ìíîæåñòâî• U(i,j) ìíîæåñòâîñîñòîÿíèé i-ãî èãðîêà ;ñîñòîÿíèé ñâÿçèìåæäóïîëóðåøåòêîé ñ íóëåì (ò.å.
äëÿ êàæäîé ïàðûi-ìèj -ìa, b ∈ U(i,j)èãðîêîì, ÿâëÿþùååñÿ íèæíåéçàäàåòñÿ èíèìóìinf(a, b) ∈U(i,j) );• Ui (si )• ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ íàáîðîâíèé ñâÿçåéi-ãîìíîæåñòâîXi òðàòåãèé i-ãîñîñòîÿ-èãðîêà ñ äðóãèìè èãðîêàìè;(ui1 , . . . ui,i−1 , ui,i+1, . . . , uin ))• G(S, U)(ui1 , .
. . , ui,i−1 , ui,i+1, . . . , uin ), uij ∈ Uijèãðîêà ýòî ìíîæåñòâî íàáîðîâòàêèõ, ÷òîxi = (si ∈ Si , ui =ui ∈ Ui (si ); ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ñåòåé ñ ñîñòîÿíèÿìè âåðøèíS = (Si )i∈Nè ðåáåðU = (U(i,j) )i,j∈N ;•ìàòðèöà ñìåæíîñòèg(x)ïîëó÷èâøåéñÿ ñåòè îïðåäåëÿåòñÿ ïî îðìóëåg(x) = inf(x, xT ),ãäåx ìàòðèöà, ñòðîêè êîòîðîé ñòðàòåãèè èãðîêîâ (íà äèàãîíàëè ñòîÿò ñîñòîÿíèÿèãðîêîâ), àinf ïîýëåìåíòíàÿ îïåðàöèÿ íàä ìàòðèöàìè (íà äèàãîíàëè ïîëàãàåì äëÿ111ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà• Hi : G(S, U) → Rinf(z, z) = z ); ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ âûèãðûøài-ãîèãðîêà, îïðåäåëåííàÿ íàìíîæåñòâå ñåòåé è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ èç óïîðÿäî÷åííîé ïîëóãðóïïûR.Ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü åå òàê: êàæäûé èãðîê âûáèðàåò ñîñòîÿíèå ñâîåé âåðøèíû èïðåäëàãàåò íåêîòîðûì äðóãèì èãðîêàì ïîñòðîèòü äóãè ñ îïðåäåëåííûìè ñîñòîÿíèÿìè.
Ïðèðåàëèçàöèè ñèòóàöèèãäå âåðøèíàà èãðîêji(si , ui )i∈Nâîçíèêàåò ãðàíàãðóæåíà ñîñòîÿíèåì ñòðàòåãèþinf(ui (j), uj (i)),uj (i),si i-ãîðåàëèçóåò ñòðàòåãèþui (j),íàãðóæåííàÿ çíà÷åíèåìuij =èãðîêà. Åñëè èãðîêòî â ãðàå ïîÿâëÿåòñÿ äóãàòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàòî â ãðàå íåò äóãè(N, M) ñ íàãðóæåííûìè âåðøèíàìè è äóãàìè,(i, j),inf(ui (j), uj (i)) 6= 0.iÅñëè æåinf(ui (j), uj (i)) = 0,(i, j) (èëè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíà åñòü è íàãðóæåíà íóëåì).
 ðåçóëüòàòåèãðîêè ïîëó÷àþò âûèãðûøèHi (g),çàâèñÿùèå îò ñåòèg ∈ G(S, U).Ïàðàìåòðè÷åñêèå ñåòåâûå èãðû åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàþò èç ñåòåâûõ èãð íà ìóëüòèãðàå:Óòâåðæäåíèå 3.2.5. Ìíîæåñòâî èãð îðìèðîâàíèÿ ìóëüòèãðàîâ è ïñåâäîãðàîâ ýêâè-âàëåíòíî (ò.å. èçîìîðíî ïðè ïåðåõîäå ê íîðìàëüíîé îðìå èãðû) ìíîæåñòâó ïàðàìåòðè÷åñêèõ ñåòåâûõ èãð.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïîñêîëüêó â ìóëüòèãðàå èìåþòñÿ ïàðàëëåëüíûå äóãè, èãðîêèáèðàþò íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå èç ìíîæåñòâà äóãM(i,j)ièâ äâóõýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ ñåòü, îïðåäåëÿåìàÿ ìèíèìàëüíûì èç îòîáðàæåíèé èãðîêîâjâû-{0, 1}.ièj.Èíà÷å ãîâîðÿ, èãðîêè âûáèðàþò ïî îäíîìó ýëåìåíòó èç ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõýëåìåíòíûõ ïîëóðåøåòîê, â ðåçóëüòàòå ðåàëèçóåòñÿ ìèíèìóì èç ýòèõ ýëåìåíòîâ.
Ïîñêîëüêó íà ñâÿçèìåæäó èãðîêàìèi è j ìîãóò áûòü íàëîæåíû îãðàíè÷åíèÿ, â îáùåì ñëó÷àå, îíè âûáèðàþò ýëå-ìåíòû èç ïîäïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõýëåìåíòíûõ ïîëóðåøåòîê. Íî êàæäàÿ ïîëóðåøåòêàèçîìîðíà ïîäïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ äâóõýëåìåíòíûõ ïîëóðåøåòîê. Ïîýòîìó åñòåñòâåííîñ÷èòàòü, ÷òî êàæäûé èãðîêiïðîñòî âûáèðàåò, ñâÿçûâàÿñü ñ êàæäûì èãðîêîìíåêîòîðîé íèæíåé ïîëóðåøåòêèj,ýëåìåíò èçU(i,j) .àññìàòðèâàÿ ïåòëè, ïîëó÷àåì, ÷òî êàæäûé èãðîê ìîæåò âûáèðàòü íå òîëüêî ñîñòîÿíèÿñâÿçè ñ äðóãèìè èãðîêàìè, íî è âíóòðåííèå ñîñòîÿíèÿ. Ïîñêîëüêó âîçìîæíû ïðîèçâîëüíûåîãðàíè÷åíèÿ íà ìíîæåñòâî âíóòðåííèõ ñîñòîÿíèé, ïîëó÷àåì, ÷òî êàæäûé èãðîê âûáèðàåòíåêîòîðûé ýëåìåíò èç ìíîæåñòâàáûòü ëþáîé, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ñëó÷àå, êîãäàSiSi ⊆ 2M(i,i) .Ïîñêîëüêó ìîùíîñòü ìíîæåñòâàM(i,i)ìîæåòèçîìîðíî ïðîèçâîëüíîìó ìíîæåñòâó.|Si | = 1, U(i,j) = {0, 1},ïàðàìåòðè÷åñêèå ñåòåâûå èãðû èçîìîðíû èãðàìîðìèðîâàíèÿ íåîðèåíòèðîâàííûõ ãðàîâ [73℄ (èçîìîðèçì ïîíèìàåì êàê áèåêöèþ ñòðàòå-112ãèé, ñîõðàíÿþùóþ çíà÷åíèÿ âûèãðûøåé).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
