Диссертация (1149951), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Три метода вычисления собственных значений основной нормальнойволны возмущенного волноводного канала «Земля – ионосфера»радиотрассы S2Центральным вопросом при решении обратной СДВ задачи второго рода являетсянахождение собственных значенийпо известным вариациям эффективной высотыи модуля коэффициента отражения. Эти собственные значения являютсяпараметрами следующей краевой задачи для радиальной собственной функциикак известно, является линейной комбинацией функцийифункциями Ханкея 1-ого и 2-ого рода равенствамигде, которая,(которые связаны с[77, 85, 86]):– потенциал Дебая для вертикально поляризованного (ТМ) электромагнитного поля, [77,– волновое число в вакууме;87];– безразмерная радиальная переменнаясферической системы координат;Земли,которыйполагалсялибосоответствующий скалистому грунту (– приведенный поверхностный импедансравнымнулю(идеальнаяСим/м;;проводимость),либоФ/м);–приведенный поверхностный импеданс верхней стенки модельного волновода, которыйасимптотически связан с коэффициентом отражения от этой стенки известной формулойФренеля[88].Для вычисления искомых собственных значений(в записи для собственных значенийиндексы будут пока опускаться) существует ряд строгих [64, 82, 89, 90] и приближенныхметодов [79, 91].
В данной работе были использованы три метода: два строгих [63, 92] и одинприближенный [59, 93]. Рассмотрение двух строгих методов вычисления было сделано длятого, чтобы на основе одного метода (с использованием нелинейного уравнения Рикатти),который имеет большую историю примененияи достаточно широко известен, оценитьэффективность другого качественно отличного и не уступающего по точности метода(обобщенного метода Шумана), который был предложен давно, но никем не использовался ипочти не анализировался [94]. Данное обстоятельство связано с тем, что интерес к импеданснойпостановке СДВ – задач пропал связи с отсутствием методик получения по экспериментальнымСДВ данным значения импеданса на условной границе “атмосфера – нижняя кромка55ионосферы”.
Однако в рамках самосогласованного метода решения обратной СДВ – задачи этосделать удается, и поэтому полезно вернуться к анализу обобщенного метода Шумана. Третийприближенный метод (вариационный метод моментов) был изучен в работе [59], носпецифичность исследуемых в данной работе условий распространения СДВ радиоволн требуетдополнительного анализа их применимости к аномальным возмущениям.3.2.1.
Обобщенный метод Шумана. Основным преимуществом обобщенного методаШуманаявляетсяотсутствиедифференциальногонеобходимостиуравнения.Идеячисленногоданногоподходаинтегрированиязаключаетсяитерационного процесса по определению собственных значенийразложения функцийвисходногопостроениина основе специфическогов ряд Тейлора вблизи некоторого комплексного числа.
Этотметод был применен в работе Шумана [95] для случаев, когда значение аргументанепревышало нескольких единиц, тогда как в нашем случае более высоких частот значенияаргумента составляют. Тем не менее, учитывая условие для волноводного каналаможно ввести малый параметрпараметра, который алгебраически связан с параметром,. Малостьобеспечивается тем, что в используемом СДВ диапазоне безразмерные границысферического волноводасобственное значениеиявляются большими величинами, а искомоенаходится в их окрестности. Чем ближе «центр разложения»кискомому , тем меньше значение параметра .Разложение в ряд Тейлора функцийи их производных в точкеимеюти,следующий вид:Рекуррентные соотношения для коэффициентов,,являющиеся полиномами , получаются через исходное дифференциальное уравнение (3.4) ивыражения дляи:565758Искомые собственные значения определяются из уравнения:где(для линейного и квадратичного приближения в суммах 3.33 и;3.34).
При вычислении собственных значений с использованием квадратичного приближения() в уравнении 3.32 отбрасывались слагаемые выше второй степени относительно,которые возникают в результате перемножения сумм 3.33 и 3.34.Выражения 3.5 – 3.32 позволяют построить итерационный процесс по определениюсобственных значений , зная эффективную высоту , импеданс ионосферычерез коэффициент отражения) и полагаясобственному значению «центр разложения»(выражаемый.
Если задать близкий к искомому, то можно получить некоторое значениекоторое, в свою очередь, можно использовать как новый «центр разложения»,. Повторяянесколько раз такую процедуру, можно получить последовательность , которая сходится кискомому собственному значениюзависит от близости заданного[94]. Скорость сходимости такой последовательностик искомому собственному значению.Описанный итерационный процесс обеспечивает шесть значащих цифр в искомыхсобственных значенияхи является наиболее удобным для случаев, при этом числоитераций обычно не превышает пяти-шести, если задать начальный «центр».
Вокрестности максимумов сильных возмущений, где эффективная высота может опускатьсяниже 40 км, сходимость последовательностиочень медленная и требует большего количестваитераций и более близкого кзадания начального значения . Для этого можно использоватьлибо собственное значение, которое соответствует предшествующему моменту временивозмущения, либо результат вычислений по приближенным моментным формулам (раздел3.2.3). Следует отметить, что использование квадратичного приближения () ускорялопроцесс отыскания собственных значений по сравнению с использованием линейного59приближения ().
В качестве примера в таб. 3.1 представлены результаты вычислениясобственных значений, полученные при использовании линейного и квадратичногоприближения. Как можно видеть, при одинаковых значениях эффективной высотыимпедансаиначальногоприближениякм,квадратичноеприближение обеспечивает более быстрое схождение итерационного процесса к искомомусобственному значениюразностиНомеритерации. Для удобства анализа результат в таб. 3.1 представлен в виде.Квадратичное приближение ()Линейное приближение (1-8,486 + i7,177-7,389 + i5,252-8,508 + i6,893-8,779 + i6,5953-8,504 + i6,921-8,465 + i6,9924-8,505 + i6,918-8,510 + i6,9125-8,505 + i6,918-8,504 + i6,9196-8,505 + i6,918-8,505 + i6,9187-8,505 + i6,918-8,504 + i6,9198-8,505 + i6,918-8,505 + i6,9189-8,505 + i6,918-8,505 + i6,91810-8,505 + i6,918-8,505 + i6,918)Таб. 3.1.
Результаты тестирования обобщенного метода Шумана. Вычисление собственныхзначенийпо обобщенному методу Шумана дляНачальное приближениекГц;икм..3.2.2. Метод интегрирования нелинейного уравнения Рикатти. [63, 64, 96].Дифференциальное уравнение второго порядка (4.4) для радиальной функцииможет бытьпреобразовано в нелинейное дифференциальное уравнение Риккати первого порядка (вбезразмерной форме), если ввести функцию :60В рамках принятой модели волноводного канала с резкой верхней границей на эффективнойвысотеграничная задача может быть сформулирована в следующем виде:Если теперь численно интегрировать это уравнение по безразмерной поперечной координатеот верхней до нижней стенки волновода, то можно найти такое собственное значение , прикотором величина импеданса, полученная в результате такого интегрирования, совпала бы снеобходимой точностью со значением импеданса на нижней стенке волновода.
Импедансы нанижней и верхней стенке волновода являются известными величинами (3.4).Задача нахождения собственных значенийсводится к отысканию корней уравнения. Поиск корней этого уравнения осуществлялся известным методомНьютона, который сводится к итерационной процедуре, где– номеритерации. Сходимость получившейся последовательности, в отличие от метода Шумана,значительно медленнее и требует более близкого к собственному значениюприближениязначениюначального.
Чтобы данная последовательность сходилась к искомому собственному, необходимо задать такое начальное, которое отличалось бы отне болеенескольких единиц. Это требует постоянного переопределения начального приближениядлякаждого момента времени возмущения, что накладывает некоторые ограничения приреализации автоматизированного вычисления собственных значений . Тем не менее, разностьрезультатов вычисления собственных значений, полученных этими двумя разнымиподходами, составляет менее одной тысячной. Так если для описанного выше примерареализации вычисления собственных значений по обобщенным Шумановским формулам (таб.3.1) результат получился, то метод интегрирования нелинейногоуравнения Рикатти дает минимальное от него отклонение:.
Так как врамках решавшейся задачи определения границ аномальных СДВ возмущений точностивычисления собственных значенийдо второго знака после запятой являлась достаточной, тотаким различием двух результатов пренебрегалось.Существенным недостатком метода Шумана для вычисления собственных значенийсучетом конечной проводимости земной поверхности является более сложная его реализация,что связано с необходимостью привлечения большего количества рядов для функцийв61точке, которые исчезают для случая нулевого значения импеданса земной поверхности.В методе интегрирования уравнения Рикатти легко учесть конечную проводимость земнойповерхности простой заменой нулевого значения импеданса на значение, соответствующеескалистому грунту (Сим/м). Вопрос учета конечной проводимости земли при;вычислении собственных значенийбудет рассмотрен в разделе 3.3.3.2.3.
Приближенный вариационный метод моментов. В предыдущих двухподразделах 4.2.1 и 4.2.2 решалась задача об определении собственных значенийоператорадля уравненияи, учитывая неравенство. Если ввести новую переменную, воспользоваться приближенным соотношением, то можно рассмотреть вместо оператораи перейти к уравнениюпоперечного, гдеблизкий к немуопределяется из выражения[59,79]. Такое приближение эквивалентно замене функций Ханкеля функциями Эйри.В соответствии с [59], целесообразнее перейти от собственного значенияразности(гдек), поскольку точность применяемого вариационного методазависит от близости к нулю собственного значения задачи. В окончательной форме решаемоеуравнение и граничные условия имеют следующий вид:Решение этого уравнения строится вариационным методом [93] через нахождениеобратного коператора с помощью одномерной или двумерной его аппроксимации. Внастоящей работе используется одномерная аппроксимация обратного коператора.
Невдаваясь в детали вывода, можно записать конечное выражение для , которое применялось длявычисления искомых собственных значений[59]:,где- параметр сферичности, а,,,,,,идаются:62Как можно видеть, выражение 3.38 устанавливает простую алгебраическую связь междуискомым собственным значениеми известными параметрамии. Среди трехрассмотренных методов нахождения собственных значений данный подход является наиболеепростым, хотя результат вычисления оказывается приближенным. В следующем разделе вопросточности данного метода будет подробно рассмотрен.3.2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
