Диссертация (1149847), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Экспериментальныеданные. ........................................................................................................................... 62Рисунок 16 – Режим возбужденных колебаний II рода. Данные численногомоделирования. .............................................................................................................. 66Рисунок 17 – Режим возбужденных колебаний II рода. Данные численногомоделирования. ..............................................................................................................

67Рисунок 18 – Режим возбужденных колебаний II рода. Данные численногомоделирования. .............................................................................................................. 68Рисунок 19 – Режим возбужденных колебаний II рода. Данные численногомоделирования. .............................................................................................................. 69116Рисунок 20 – Управляемые параметры для режима возбужденных колебаний IIрода ................................................................................................................................. 74Рисунок 21 – Зависимость длительности режима возбужденных колебаний отвеличины ε...................................................................................................................... 75Рисунок 22 – Зависимость числа импульсов, наблюдаемых на стадии быстрыхосцилляций, от величины ε.

......................................................................................... 75Рисунок 23 – Зависимость координаты Δ точек бифуркаций LP1 и H на фазовойплоскости (I, Δ) от величины ε..................................................................................... 76Рисунок 24 – Схема экспериментальной установки для исследования режимавозбужденных колебаний I рода .................................................................................. 79Рисунок 25 – Режим возбужденных колебаний I рода. Экспериментальныеданные.

........................................................................................................................... 81Рисунок 26 – Режим возбужденных колебаний I рода. Экспериментальныеданные. ........................................................................................................................... 82Рисунок 27 – Режим возбужденных колебаний I рода. Данные численногомоделирования. ..............................................................................................................

84Рисунок 28 – Режим возбужденных колебаний I рода. Данные численногомоделирования. .............................................................................................................. 85Рисунок 29 – Режим возбужденных колебаний I рода. Данные численногомоделирования. .............................................................................................................. 86Рисунок 30 – Режим возбужденных колебаний I рода. Данные численногомоделирования.

.............................................................................................................. 89Рисунок 31 – Режим возбужденных колебаний I рода. Данные численногомоделирования. .............................................................................................................. 90Рисунок 32 – Режим возбужденных колебаний I рода.

Данные численногомоделирования. .............................................................................................................. 93Рисунок 33 – Динамика изменения разности фаз связных осцилляторов .............. 95Рисунок 34 – Динамика изменения интенсивности и фазы излучения ................... 96117Список таблицТаблица 1 – Параметры математической модели ...................................................... 48Таблица 2 – Режим возбужденных колебаний II рода.

Параметры модели............ 64Таблица 3 – Режим возбужденных колебаний II рода. Координаты точекбифуркаций .................................................................................................................... 70Таблица 4 – Режим возбужденных колебаний I рода. Параметры модели. ............ 83Таблица 5 – Режим возбужденных колебаний I рода.

Координаты точекбифуркаций .................................................................................................................... 87Таблица 6 – Кривые аппроксимации ........................................................................... 91118Приложение А.

Основы теории бифуркацийМатематическая теория бифуркаций векторных поле йявляетсяосновойсовременной теории динамических систем. В данном приложении будет проведенкраткий обзор некоторых наиболее распространенных бифуркаций.Бифуркация в самом общем случае представляет собой качественноескачкообразное изменение фазового портрета динамической системы приусловии, что параметры данной системы как до, так и после бифуркацииизменялись непрерывно и с конечной скоростью. Возникновение бифуркацийсвязано с потерей устойчивости решения ОДУ или системы ОДУ, описывающихрассматриваемую динамическую систему [147].При этом различают бифуркации, обусловленные потерей устойчивостистационарного решения и потерей устойчивости периодического решения.Бифуркация, связанная с потерей устойчивости стационарного решения, можетприводить к переходу системы в колебательный режим, в то время какбифуркация, связанная с потерей устойчивости колебательного решения, можетстать причиной возникновения режима динамического хаоса.

Кроме того,бифуркации становятся источником целого ряда различных динамическихнестабильностей [147].Рассмотрим более подробно анализ устойчивости решения систем ОДУ,представляющих собой математическую модель динамической системы. При этоммы ограничимся только случаем автономных систем ОДУ, т.е. систем, правыечасти которых не зависят явным образом от времени.В общем виде нелинейная автономная система ОДУ может быть описанаследующим образом:X F  X ,P,t(А.1)где F – вектор нелинейных функций, представляющих собой правые частиуравнений, входящих в систему; X – вектор состояния системы; P – векторпараметров системы.119Далее предположим, что имеется решение X0 системы (A.1).

При условии,что функции вектора F являются дважды дифференцируемыми по X, разложимправую часть системы (А.1) в ряд в окрестности решения X0 и отбросим членывторого и более высоких порядков малости. Таким образом будет полученалинеаризованная система вида:X J X 0 ,P  X ,t(А.2)где J – якобиан, определяемый следующим образом:  F1 0x1 x1J  M Fn x 0 x 1 1L  Fi 0xixiL F1 0 xn xnM ,Fn 0 xn xn(А.3) где n – размерность вектора состояния системы.Критерием устойчивости здесь являются значения собственных чиселякобиана. Если все собственные числа имеют отрицательные вещественные части,то рассматриваемое решение является асимптотически устойчивым.

Если жеимеется хотя бы одно собственное значение, имеющее положительнуювещественную часть, то решение является неустойчивым.В критическом случае, когда наряду с собственными значениями якобиана сотрицательной вещественной частью существует хотя бы одно собственноезначениеснулевойвещественнойчастью,необходимопроводитьдополнительный анализ устойчивости.Классификация стационарных решений динамической системы такжеоснована на анализе собственных значений соответствующего якобиана. Взависимости от последних рассматриваются следующие стационарные точки вфазовом пространстве системы: узел (какие-либо два собственных значениявещественны и имеют одинаковые знаки); седло (какие-либо два собственныхзначения вещественны и имеют различные знаки); фокус (какие-либо двасобственных значения являются комплексно сопряженными); гиперболическую(собственныезначения120имеютненулевыевещественныечасти);негиперболическую (собственные значения имеют нулевые вещественные части).Необходимо отметить, что бифуркация стационарного решения имеет местов случае, если при изменении параметров динамической системы последняяпроходит через негиперболическую точку в фазовом пространстве.

При этомбифуркация периодического решения обусловлена переходом системы черезточку, соответствующую полностью мнимому собственному значению якобиана.Далее подробнее рассмотрим несколько наиболее распространенныебифуркации и их нормальные формы.Седло-узловая бифуркация представляет собой бифуркацию, при которойпроисходит слияние двух особых точек (устойчивой и неустойчивой) в однунегиперболическую особую точку с ее последующим исчезновением.

Нормальнаяформа данной бифуркации выражается следующим образом:x p  x2 ,tОчевидно, что при p = 0 две особое точки (устойчивая: x (А.4)p инеустойчивая: x   p ) сливаются в одну. При отрицательных значениях pстационарный режим отсутствует. Бифуркационная диаграмма для (А.4)приведена на рисунке А.1.Рисунок А.1. Бифуркационная диаграмма для нормальной формы (А.4) [148].121Транскритическая бифуркация представляет собой бифуркацию, прикоторой две существующие особые точки меняют свою устойчивость. При даннойбифуркациитакжепроисходитслияниедвухособыхточекводнунегиперболическую особую точку. Однако при этом после бифуркации особыеточки не исчезают. Особая точка являвшаяся устойчивой до бифуркации теряетустойчивость, в то время как неустойчивая до бифуркации точка становитсяустойчивой.

Характеристики

Список файлов диссертации