Диссертация (1149840), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ïðè ýòîì íà ïðîìåæóòêå [t0 , ω]:ẋ∗ (τ ) = φ(τ, x∗ (τ ), γ1∗ (τ, x), γ2∗ (τ, x)),x∗ (t) = x;ẋ[1] (τ ) = φ(τ, x[1] (τ ), γ1 (τ, x), γ2∗ (τ, x)),x[1] (t) = x;ẋ[2] (τ ) = φ(τ, x[2] (τ ), γ1∗ (τ, x), γ2 (τ, x)),x[2] (t) = x.e 0 , x0 ), êîòîðàÿÐàññìîòðèì òåïåðü äèôôåðåíöèàëüíóþ èãðó äâóõ ëèö Γ(tÿâëÿåòñÿ ìîäèôèêàöèåé èãðû Γ(t0 , x0 ). Äèíàìèêà â äàííîé èãðå ïî ïðåæíåìóîïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (3.1), à íà÷àëüíûå óñëîâèÿ èìåþò âèä x(t0 ) = x0 .e 0 , x0 ) íå ó÷èòûâàåòñÿ ñïåöèôèêà ñëó îòëè÷èå îò èãðû Γ(t0 , x0 ) â èãðå Γ(t62e x),÷àéíîãî ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ. Âûèãðûø èãðîêà i, i = 1, 2, â ïîäûãðå Γ(t,êîòîðàÿ íà÷èíàåòñÿ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t ∈ [t0 , ω] ñ íà÷àëüíûìèóñëîâèÿìè x(t) = x, èìååò âèäe i (t, x, u1 , u2 ) =KZω hi (τ )[1 − F (τ )] + Φi (τ, x(τ ))fj (τ )(1 − Fi (τ )) dτ.te 0 , x0 ) ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîé èãðîé äâóõ ëèö ñ ïðåäïèñàíÈãðà Γ(tíîé ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ (ω − t0 ).
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîñòîÿòåëüíîãî ïîçèöèîííîãî ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó â ýòîé èãðå âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé.Òåîðåìà3.2.(Basar,Olsder[34])Íàáîð ñòðàòåãèé {γi∗ (t, x)∈Ui , i = 1, 2} ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíûì ïîçèöèîííûì ðàâíîâåñèåì ïî Íýøóe 0 , x0 ), åñëè ñóùåñòâóþò íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèèâ èãðå Γ(tVei (t, x) : [t0 , ω] × Rm 7→ R, i = 1, 2, óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùåé ñèñòåìåäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ"∂ Ve1 (t, x)∂ Ve1 (t, x)−= maxφ(t, x, u1 , γ2∗ (t, x))+u1 ∈U1∂t∂x#+h1 (t, x, u1 , γ2∗ (t, x))(1 − F (t)) + Φ1 (t, x)f2 (t)(1 − F1 (t)) ==∂ Ve1 (t, x)φ(t, x, γ1∗ (t, x), γ2∗ (t, x))+∂x+h1 (t, x, γ1∗ (t, x), γ2∗ (t, x))(1 − F (t)) + Φ1 (t, x)f2 (t)(1 − F1 (t)),(3.15)63"e∂ V2 (t, x)∂ Ve2 (t, x)−= maxφ(t, x, γ1∗ (t, x), u2 )+u2 ∈U2∂t∂x#+h2 (t, x, γ1∗ (t, x), u2 )(1 − F (t)) + Φ2 (t, x)f1 (t)(1 − F2 (t)) ==(3.16)∂ Ve2 (t, x)φ(t, x, γ1∗ (t, x), γ2∗ (t, x))+∂x+h1 (t, x, γ1∗ (t, x), γ2∗ (t, x))(1 − F (t)) + Φ1 (t, x)f1 (t)(1 − F2 (t)),ïðè ãðàíè÷íîì óñëîâèèVe1 (ω, x) = 0,Ve2 (ω, x) = 0.Î÷åâèäíî, ÷òî γ1∗ (t, x) ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì óïðàâëåíèåì â ñëåäóþùåéçàäà÷å ìàêñèìèçàöèè:maxZω u1 (s,x)h1 (τ, x(τ ), u1 (τ, x), γ2∗ (τ, x))[1 − F (τ )]+t+Φ1 (τ, x(τ ))f2 (τ )(1 − F1 (τ )) dτ,ẋ(τ ) = φ(τ, x(τ ), u1 (τ, x), γ2∗ (τ, x)),x(t) = x,(3.17)(3.18)è ïðè ýòîì Ve1 (t, x) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé çíà÷åíèÿ (ôóíêöèåé Áåëëìàíà) â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (3.17) - (3.18).Ve1 (t, x) = maxZω u1 (s,x)h1 (τ, x(τ ), u1 (τ, x), γ2∗ (τ, x))[1 − F (τ )]+t+Φ1 (τ, x(τ ))f2 (τ )(1 − F1 (τ )) dτ =Zω t∗h1 (τ, x(τ ), γ1∗ (τ, x), γ2∗ (τ, x))[1− F (τ )] + Φ1 (τ, x (τ ))f2 (τ )(1 − F1 (τ )) dτ,∗64ãäå íà ïðîìåæóòêå [t, ω]:ẋ∗ (τ ) = φ(τ, x∗ (τ ), γ1∗ (τ, x), γ2∗ (τ, x)),x∗ (t) = x.(3.19)Àíàëîãè÷íî γ2∗ (t, x) ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì óïðàâëåíèåì â çàäà÷å ìàêñèìèçàöèè:maxZω u2 (s,x)h1 (τ, x(τ ), γ1∗ (τ, x), u2 (τ, x))[1 − F (τ )]+t+Φ1 (τ, x(τ ))f2 (τ )(1 − F1 (τ )) dτ,ẋ(τ ) = φ(τ, x(τ ), γ1∗ (τ, x), u2 (τ, x)),(3.20)(3.21)x(t) = x,è Ve2 (t, x) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé çíà÷åíèÿ (ôóíêöèåé Áåëëìàíà) â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (3.20) - (3.21).Ve2 (t, x) = maxZω u2 (s,x)h1 (τ, x(τ ), γ1∗ (τ, x), u2 (τ, x))[1 − F (τ )]+t+Φ1 (τ, x(τ ))f2 (τ )(1 − F1 (τ )) dτ =Zω ∗h1 (τ, x(τ ), γ1∗ (τ, x), γ2∗ (τ, x))[1− F (τ )] + Φ1 (τ, x (τ ))f2 (τ )(1 − F1 (τ )) dτ,∗tãäå íà ïðîìåæóòêå [t, ω] x∗ (t) çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì (3.19).Çàìåòèì, ÷òî óïðàâëåíèÿ γ1∗ (t, x), γ2∗ (t, x) ìàêñèìèçèðóþùèå ôóíêöèîíàëû (3.17) è (3.20) òàêæå äîñòàâëÿþò ìàêñèìóì è ôóíêèîíàëàì (3.13), (3.14)ñîîòâåòñòâåííî.
Ïðè ýòîì, íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå ìåæäó ôóíêöèÿìè çíà÷åíèéVei (t, x) = (1 − F1 (t))(1 − F2 (t))Vi (t, x),∀t ∈ [t0 , ω], x ∈ Rm ,i = 1, 2. (3.22)65Âûïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé Vi (t, x), âõîäÿùèõ â óðàâíåíèÿ (3.15) è (3.16).∂ Vei (t, x)∂Vi (t, x)= (1 − F1 (t))(1 − F2 (t))−∂t∂thi− Vi (t, x) f1 (t)(1 − F2 (t)) + (1 − F1 (t))f2 (t) ; (3.23)∂ Vei (t, x)∂Vi (t, x)= (1 − F1 (t))(1 − F2 (t)).∂x∂x(3.24)Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ (3.23), (3.24) â óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíàßêîáè-Áåëëìàíà äëÿ ôóíêöèé Vei (t, x) (3.15), (3.16) è ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ îòíîñèòåëüíî ôóíêöèé Vi (t, x):hi∂V1 (t, x)V1 (t, x) f1 (t)(1 − F2 (t)) + (1 − F1 (t))f2 (t) − (1 − F1 (t))(1 − F2 (t))=∂t"∂V1 (t, x)= max (1 − F1 (t))(1 − F2 (t))φ(t, x, u1 , γ2∗ (t, x))+u1 ∈U1∂x#+h1 (t, x, u1 , γ2∗ (t, x))(1 − F (t)) + Φ1 (t, x)f2 (t)(1 − F1 (t)) ;(3.25)hi∂V2 (t, x)=V2 (t, x) f1 (t)(1 − F2 (t)) + (1 − F1 (t))f2 (t) − (1 − F1 (t))(1 − F2 (t))∂t"∂V2 (t, x)= max (1 − F1 (t))(1 − F2 (t))φ(t, x, γ1∗ (t, x), u2 )+u2 ∈U2∂x#+h2 (t, x, γ1∗ (t, x), u2 )(1 − F (t)) + Φ2 (t, x)f1 (t)(1 − F2 (t)) ,ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèV1 (ω, x) = 0,V2 (ω, x) = 0.(3.26)66Ïðåäïîëîæèì, ÷òî (1−F1 (t))(1−F2 (t)) 6= 0, ∀t ∈ [t0 , ω) è ðàçäåëèì ïðàâûåè ëåâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (3.25), (3.26) íà ýòî ïðîèçâåäåíèå.
Ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîé èãðû Γ(t0 , x0 ).f1 (t)f2 (t) i ∂V1 (t, x)+−=1 − F1 (t) 1 − F2 (t)∂t"∂V1 (t, x)= maxφ(t, x, u1 , γ2∗ (t, x))+u1 ∈U1∂x#f2 (t);+h1 (t, x, u1 , γ2∗ (t, x)) + Φ1 (t, x)1 − F2 (t)h f (t)f2 (t) i ∂V2 (t, x)1V2 (t, x)+−=1 − F1 (t) 1 − F2 (t)∂t"∂V2 (t, x)= maxφ(t, x, γ1∗ (t, x), u2 )+u2 ∈U2∂x#f1 (t).+h2 (t, x, γ1∗ (t, x), u2 ) + Φ2 (t, x)1 − F1 (t)hV1 (t, x)(3.27)(3.28)Òåîðåìà 3.3.
Íàáîð ñòðàòåãèé {γi∗ (t, x) ∈ Ui , i = 1, 2} ÿâëÿåòñÿ ñîñòî-ÿòåëüíûì ïîçèöèîííûì ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó â èãðå Γ(t0 , x0 ), åñëè ñóùåñòâóþò íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè Vi (t, x) : [t0 , ω] × Rm 7→ R,i = 1, 2, óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (3.27)-(3.28) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèV1 (ω, x) = 0,V2 (ω, x) = 0.(3.29)Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåäïîëîæèì ñóùåñòâîâàíèå ôóíêöèé Vi (t, x) óäîâëå-òâîðÿþùèõ óñëîâèÿì òåîðåìû.  ýòîì ñëó÷àå, êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå,ôóíêöèè Vei (t, x), çàäàâàåìûå ðàâåíñòâîì (3.22), óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (3.15)-(3.16) ñ àíàëîãè÷íûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.Äðóãèìè ñëîâàìè, óñëîâèÿ òåîðåìû 3.2 âûïîëíåíû è íàáîð ñòðàòåãèé67{γi∗ (t, x) ∈ Ui , i = 1, 2} îáðàçóåò ñîñòîÿòåëüíîå ïîçèöèîííîå ðàâíîâåñèå ïîe 0 , x0 ).
Íî, êàê ìû óæå îòìå÷àëè ðàíåå, óïðàâëåíèÿ γ ∗ (t, x),Íýøó â èãðå Γ(tiìàêñèìèçèðóþùèå ïî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèîíàëû (3.17) è (3.20) òàêæå äîñòàâëÿþò ìàêñèìóì è ôóíêèîíàëàì (3.13), (3.14). Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíîîïðåäåëåíèþ 3.1 íàáîð ñòðàòåãèé {γi∗ (t, x) ∈ Ui , i = 1, 2} îáðàçóåò ñîñòîÿòåëüíîå ïîçèöèîííîå ðàâíîâåñèå ïî Íýøó â èãðå Γ(t0 , x0 ).Èññëåäóåì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé. Äëÿ êàæäîãî èãðîêà ââåäåìñîîòâåòñòâóþùóþ ôóíêöèþ èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ (àíãë.
hazard function,failure rate)λi (t) =fi (t).1 − Fi (t)(3.30)Äàííàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ âåñüìà óäîáíîé äëÿ ðàññìîòðåíèÿ çàäà÷, âîçíèêàþùèõ â òåîðèè íàä¼æíîñòè.  íàøåì æå ñëó÷àå λi (t) ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê óñëîâíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà âûõîäà èç èãðû èãðîêài, òî åñòü êàê ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà âûõîäà èç èãðû èãðîêà i ïðèóñëîâèè, ÷òî ê ìîìåíòó âðåìåíè t èãðà äëÿ íåãî ïðîäîëæàåòñÿ.Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèé èíòåíñèâíîñòåé îòêàçà óðàâíåíèÿ (3.27), (3.28) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â áîëåå ïðîñòîé ôîðìå"hi ∂V (t, x)∂V1 (t, x)1= maxφ(t, x, u1 , γ2∗ (t, x))+V1 (t, x) λ1 (t) + λ2 (t) −u1 ∈U1∂t∂x#+h1 (t, x, u1 , γ2∗ (t, x)) + Φ1 (t, x)λ2 (t) ;(3.31)"hi ∂V (t, x)∂V2 (t, x)2V2 (t, x) λ1 (t) + λ2 (t) −= maxφ(t, x, γ1∗ (t, x), u2 )+u2 ∈U2∂t∂x#+h2 (t, x, γ1∗ (t, x), u2 ) + Φ2 (t, x)λ1 (t) .(3.32)Íàéäåì ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ λ(t) äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû M ìèíèìóìà ìîìåíòîâ âûõîäà èç èãðû èãðîêîâ.
Ïî îïðåäå-68ëåíèþλ(t) =dF (t)/dt.1 − F (t)Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå ðàíåå âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ M,ïîëó÷àåìλ(t) =f1 (t)(1 − F2 (t)) + f2 (t)(1 − F1 (t))= λ1 (t) + λ2 (t).(1 − F1 (t))(1 − F2 (t))(3.33)Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïîñëå âûõîäà èç èãðû õîòÿ áû îäíîãî èãðîêà èãðàΓ(t0 , x0 ) ïðåêðàùàåòñÿ, íî îñòàâøèéñÿ èãðîê íå ïîëó÷àåò òåðìèíàëüíîé âûïëàòû. Äðóãèìè ñëîâàìè, ÷òî Φi (t, x) ≡ 0, i = 1, 2. Ïðè ñäåëàííîì ïðåäïîëîæåíèè ñèñòåìà óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà (3.31)-(3.32) ñ ó÷¼òîì(3.33) ïðèìåò âèä"∂V1 (t, x)∂V1 (t, x)−+ V1 (t, x)λ(t) = maxφ(t, x, u1 , γ2∗ (t, x))+u1 ∈U1∂t∂x#+h1 (t, x, u1 , γ2∗ (t, x)) ;"−∂V2 (t, x)∂V2 (t, x)+ V2 (t, x)λ(t) = maxφ(t, x, γ1∗ (t, x), u2 )+u2 ∈U2∂t∂x#+h2 (t, x, γ1∗ (t, x), u2 ) .Ïîëó÷åííûåóðàâíåíèÿÿâëÿþòñÿóðàâíåíèÿìèÃàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà â äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå ñî ñëó÷àéíîé ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ.
Èãðà çàêàí÷èâàåòñÿ äëÿ âñåõ èãðîêîâ â ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè M, èìåþùèé íåêîòîðîå íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ â òàêîì âèäå áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòàõ [25, 32]. Òàêèìîáðàçîì, ïðè óïðîùåíèè èãðû Γ(t0 , x0 ) è ñâåäåíèè å¼ ê óæå èçâåñòíîé èãðå ñî ñëó÷àéíî ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ (áåç ó÷¼òà òåðìèíàëüíîãî âûèãðûøà)69ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (3.31)-(3.32) ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé,ïîëó÷åííîé ðàíåå â äðóãèõ ðàáîòàõ.3.5.Ïåðåõîä ê çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿÐàññìîòðèì îòäåëüíî ñëó÷àé, êîãäà ïîñëå âûõîäà èç èãðû ïåðâîãî ïîñ÷¼òó èãðîêà äëÿ îñòàâøåãîñÿ èãðîêà êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûé ïðîöåññ ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè ñëó÷àéíîéäëèòåëüíîñòè.
Êàê óæå îòìå÷àëîñü ðàíåå, ïðè ðåøåíèè ïîäîáíîé çàäà÷è åñòåñòâåííûì áóäåò ïîëîæèòü äëÿ èãðîêà i = 1, 2 òåðìèíàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþâûèãðûøà Φi (t, x) ðàâíîé îæèäàåìîìó äîõîäó èãðîêà i â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äëÿ êàæäîãî èãðîêà ñåìåéñòâî çàäà÷ îïòèìàëüíîãîóïðàâëåíèÿ Gi (t, x), t ∈ [t0 , ω], x ∈ Rm , â êîòîðûå ìîæåò ¾ïåðåõîäèòü¿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ èãðà Γ(t0 , x0 ) ïðè âûõîäå èç íå¼ èãðîêà j 6= i. Ïîä Gi (t, x)áóäåì ïîíèìàòü çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äëÿ èãðîêà i, ðàçâèâàþùóþñÿ ñ ìîìåíòà âðåìåíè t ñ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèÿåì ôàçîâîé ïåðåìåííîé x.Òàêæå íåîáõîäèìî ó÷åòü è ñëó÷àéíûé ìîìåíò îêîí÷àíèÿ â çàäà÷å Gi (t, x).Îñòàíîâèìñÿ áîëåå ïîäðîáíî íà îòäåëüíûõ àñïåêòàõ çàäà÷è Gi (t, x).Âî-ïåðâûõ, âàæíî îïðåäåëèòü, êàê èìåííî èçìåíèòñÿ óðàâíåíèå äèíàìèêè ôàçîâîé ïåðåìåííîé (3.1) ïðè ïåðåõîäå ê çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ Gi (t, x).
Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî äèíàìèêà çàäà¼òñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â âåêòîðíîé ôîðìå:ẋ(t) = φi (t, x(t), ui ),x(t) = x,ãäå φi (t, x, ui ) âåêòîð-ôóíêöèÿ ñ êîìïîíåíòàìèφ1i (t, x, ui ), φ2i (t, x, ui ), . . . , φmi (t, x, ui ).(3.34)70Íàèáîëåå ëîãè÷íûì ïðåäñòàâëÿåòñÿ âûâîä ñèñòåìû óðàâíåíèé (3.34) èçñèñòåìû (3.1), îïèñûâàþùåé èçìåíåíèå ôàçîâîé ïåðåìåííîé â äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå Γ(t0 , x0 ). Äëÿ êàæäîãî èãðîêà i îáîçíà÷èì ÷åðåç u0i óïðàâëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå îòñóòñòâèþ âîçäåéñòâèÿ èãðîêà i íà ñèñòåìó (3.1).Ïîëàãàåì, ÷òî òàêîå óïðàâëåíèå âñåãäà íàéä¼òñÿ â ìíîæåñòâå äîïóñòèìûõóïðàâëåíèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
