Диссертация (1149840), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Èçíà÷àëüíî èìååò ìåñòî êîíôëèêòíîóïðàâëÿåìûé ïðîöåññ èãðà Γ(t0 , x0 ), íî ïîñëå òîãî, êàê íåêîòîðûé èãðîêïåðâûì ïîêèäàåò äàííóþ èãðó, îíà ¾ñâîäèòñÿ¿ ê çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñî ñëó÷àéíîé ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ, è îñòàâøèéñÿ èãðîê, ðåøàÿ äëÿñåáÿ äàííóþ çàäà÷ó, ïîëó÷àåò îïòèìàëüíûé äîõîä (âûðàæåííûé â âèäå òåðìèíàëüíîé âûïëàòû).Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî êàæäûé èãðîê â äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå Γ(t0 , x0 )ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé îæèäàåìûé âûèãðûø, êîòîðûé ñîñòîèò èçìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñóììû èíòåãðàëüíîãî âûèãðûøà è òåðìèíàëüíîéñîñòàâëÿþùåé, êîòîðóþ ïîëó÷àåò ëèøü òîò èãðîê, êîòîðûé îñòà¼òñÿ ïîñëåâûõîäà èç èãðû äðóãîãî èãðîêà. Äàëåå ïîä âûèãðûøåì èãðîêà áóäåì ïîíèìàòü èìåííî äàííîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èãðîêè âûáðàëè ñâîè óïðàâëåíèÿ u1 , u2 .
Îáîçíà÷èì ÷åðåç x(t) ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (3.1), ñîîòâåòñòâóþùåå ýòèì óïðàâëåíèÿì. Ââåäåì áîëåå êîðîòêîå îáîçíà÷åíèå äëÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè âûèãðûøà (ôóíêöèèïîëåçíîñòè) èãðîêà i: hi (t) = hi (t, x, u1 , u2 ). Òîãäà îæèäàåìûé âûèãðûø i-ãîèãðîêà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:ZTiKi (t0 , x0 , u1 , u2 ) = E hi (t)dtI[Ti <Tj ] +t0ZTj+hi (t)dtI[Ti >Tj ] + Φi (Tj , x(Tj ))I[Ti >Tj ] ,i, j ∈ {1, 2} (i 6= j),(3.2)t0ãäå Ti , Tj ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû (ìîìåíòû âûõîäà èç èãðû èãðîêîâ i, j );I[·] èíäèêàòîðíàÿ ôóíêöèÿ (ðàâíàÿ åäèíèöå ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ â ñêîáêàõ è íóëþ â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå); E[·] ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.52Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ñêîáêàõ â (3.2), ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðóþ ôóíêöèþ îò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà T , êîìïîíåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿñëó÷àéíûå âåëè÷èíû T1 è T2 . Ñîîòâåòñòâåííî è ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèå â(3.2) ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ôóíêöèè îò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà.3.2.Ìîìåíòû îêîí÷àíèÿ, ðàñïðåäåë¼ííûå íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíèÏðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ êàæäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Ti (i ∈ {1, 2}) ñóùåñòâóåò íàèìåíüøàÿ âåðõíÿÿ ãðàíèöà ωi > t0 , òàêàÿ ÷òî P {Ti ≤ ωi } = 1 èïðè ýòîì ∀τ < ωi : P {Ti ≤ τ } < 1.
 äàííîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî ïîëàãàòü,÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fi (t), i ∈ {1, 2} îïðåäåëåíà íà ñîîòâåòñòâóþùåìîòðåçêå [t0 , ωi ] (ðèñóíîê 3.1).Òàêèì îáðàçîì, ñàì ìîìåíò âðåìåíè ωi ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ãàðàíòèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè, ê êîòîðîìó èãðîê i ïîêèíåò èãðó.Ðèñóíîê 3.1. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ îêîí÷àíèÿ èãðû Γ(t0 , x0 ).Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ïîëàãàòü ω1 ≥ ω2 .
Äîîïðåäåëèì ôóíê-53öèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F2 (t) (ðèñóíîê 3.1) íà îòðåçêå [ω2 , ω1 ] è ïîëó÷èì:F1 (t) < 1 ∀ t ∈ [t0 , ω1 ],F1 (ω1 ) = 1;F2 (t) < 1 ∀ t ∈ [t0 , ω2 ],F2 (t) = 1 ∀ t ∈ [ω2 , ω1 ].Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè ââåäåì îáîçíà÷åíèå ω = ω1 . Òåïåðü ïîëàãàåì, ÷òîîáå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàíû íà îòðåçêå [t0 , ω].Òàê êàê èãðà Γ(t0 , x0 ) â äàííîì ñëó÷àå íå ìîæåò ïðîäîëæàòüñÿ äîëüøåìîìåíòà âðåìåíè ω , òî ôóíêöèè ïëîòíîñòè âûèãðûøà è ôóíêöèè òåðìèíàëüíîãî âûèãðûøà â äàííîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî ñ÷èòàòü îïðåäåë¼ííûìè èêóñî÷íî-íåïðåðûâíûìè íà êîíå÷íîì âðåìåííîì èíòåðâàëå:hi (τ, x(τ ), u1 , .
. . , un ) : [t0 , ω) × Rm × U1 × U2 7→ R,Φi (t, x) : [t0 , ω) × Rm 7→ R.3.3.Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âûèãðûøà èãðîêîâÊ ñîæàëåíèþ, îæèäàåìûé âûèãðûø â âèäå (3.2) íåâîçìîæíî èñïîëüçîâàòüäëÿ ðåøåíèÿ èãðû ñòàíäàðòíûìè ìåòîäàìè. Íåîáõîäèìî êàêèì-òî îáðàçîìñâåñòè ýòó çàäà÷ó ê çàäà÷å ñî ñòàíäàðòíîé ôîðìîé èíòåãðàëüíîãî ôóíêöèîíàëà.Ïðè ñäåëàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ôóíêöèé ïëîòíîñòèâûèãðûøà è ôóíêöèé òåðìèíàëüíîãî âûèãðûøà ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå â(3.2) ñóùåñòâóåò è êîíå÷íî, è åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû îæèäàåìîãî èíòåãðàëüíîãî âûèãðûøà è îæèäàåìîãî òåðìèíàëüíîãî âûèãðûøà:ZTiZTjE hi (t)dtI[Ti <Tj ] + hi (t)dtI[Ti >Tj ] + Φi (Tj , x(Tj ))I[Ti >Tj ] =t0t054ZTiZTj= E hi (t)dtI[Ti <Tj ] + hi (t)dtI[Ti >Tj ] + E Φi (Tj , x(Tj ))I[Ti >Tj ] .t0(3.3)t0Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âûðàæåíèé â ïðàâîé ÷àñòè (3.3).
Ôóíêöèîíàë èíòåãðàëüíîãî âûèãðûøà èãðîêà i îáîçíà÷èì ÷åðåçΨi1 (T1 , T2 ) =ZTjZTihi (t)dtI[Ti <Tj ] +t0hi (t)dtI[Ti >Tj ] ,t0à òåðìèíàëüíîãî âûèãðûøà ñîîòâåòñâåííî ÷åðåçΨi2 (T1 , T2 ) = Φi (Tj , x(Tj ))I[Ti >Tj ] .Ñëåäóþùèå ëåììû äàþò óïðîùåííûå ôîðìû äëÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèéäàííûõ âûðàæåíèé.Ëåììà 3.1. Îæèäàåìûé èíòåãðàëüíûé âûèãðûø èãðîêà i ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåí â âèäå:E Ψi1 (T1 , T2 ) =Zωhi (τ )[1 − Fi (τ )][1 − Fj (τ )]dτ,t0ïðè ýòîì âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòèZω"Zmin{T1 ,T2 }hi (τ )[1 − Fi (τ )][1 − Fj (τ )]dτ = Et0#hi (t)dt .t0Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê T1 è T2 ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìèâåëè÷èíàìè, òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà T = (T1 , T2 )ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå ïëîòíîñòåé åãî êîìïîíåíò, ò.
å. âûðàæåíèå55âèäà f1 (θ)f2 (τ ). Òîãäà ìîæåì çàïèñàòü:E Ψi1 (Ti , Tj ) =Zω Zω Zθhi (t)dtI[θ<τ ] fj (τ )dτ fi (θ)dθ +t0 t0 t0Zω Zω Zτ+h∗i (t)dtI[θ>τ ] fi (θ)dθfj (τ )dτ.(3.4)t0 t0 t0Ââåäåì îáîçíà÷åíèå Hi (θ) :=Rθt0hi (t)dt. Òàêèì îáðàçîì, (3.4) ìîæíî ïðåäñòà-âèòü òàê:Zωt0ZτZωHi (θ)fi (θ)dθ fj (τ )dτ +t0Zθt0Hi (τ )fj (τ )dτ fi (θ)dθ.(3.5)t0Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, äëÿ ñóììû (3.5) ïîëó÷àåì âûðàæåíèåZωZωHi (θ)fi (θ)dθ −Fj (ω)t0Hi (θ)fi (θ)Fj (θ)dθ +t0ZωZωHi (τ )fj (τ )dτ −+ Fi (ω)t0Hi (τ )fj (τ )Fi (τ )dτ.t0Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî Fi (ω) = Fj (ω) = 1, ïîâòîðíî èíòåãðèðóåì ñëàãàåìûå ïî ÷àñòÿì.
Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáíûõ ñëàãàåìûõ âûðàæåíèå äëÿ(3.5) ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:Zω−hi (τ )[Fi (τ ) + Fj (τ ) − 2Fi (τ )Fj (τ )]dτ +t0Zω+ Hi (ω)Fi (ω)Fj (ω) −hi (τ )[Fi (τ )Fj (τ )]dτ =t056Zωhi (τ )[1 − Fi (τ )][1 − Fj (τ )]dτ.=(3.6)t0Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ îò ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí M = min{Ti , Tj }. Òàê êàêôóíêöèÿ min(·, ·) ÿâëÿåòñÿ èçìåðèìîé ôóíêöèåé, òî îïðåäåëåííàÿ âûøå M ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç F (τ ) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû M.
Òàêæå ÷åðåçA(τ ) = {σ|M(σ) > τ }áóäåì îáîçíà÷àòü ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, çàêëþ÷àþùååñÿ â òîì, ÷òî ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà M ïðèìåò çíà÷åíèå áîëüøå τ . Àíàëîãè÷íûå îáîçíà÷åíèÿ ââåäåì èäëÿ ñëåäóþùèõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé(τ )B1 = {σ|T1 (σ) > τ },(τ )B2 = {σ|T2 (σ) > τ }.Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî äëÿ âñåõ τ ≥ 0 âåðíî(τ )(τ )A(τ ) = B1 ∩ B1 ,à òàê êàê ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Ti , Tj íåçàâèñèìû, òî ïî îïðåäåëåíèþ(τ )(τ )P {A(τ ) } = P {B1 }P {B1 }.Âûðàçèì äàííûå âåðîÿòíîñòè ÷åðåç ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿìèíèìóìà Ti , Tj :F (τ ) = 1 − (1 − Fi (τ ))(1 − Fj (τ )).(3.7)Ïîäñòàâëÿåì äàííîå âûðàæåíèå â ôîðìóëó äëÿ îæèäàåìîãî èíòåãðàëüíî-57ãî âûèãðûøà (3.6) è îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìZωZωhi (τ )[1 − Fi (τ )][1 − Fj (τ )]dτ =t0hi (τ )[1 − F (τ )]dτ.t0Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èñêîìîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.
Ýòî ëåãêî ïðîâåðèòü, èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì"ZZω Zτ#min{T1 ,T2 }hi (t)dt =Et0Zωt0 t0Zωhi (τ )dτ −=hi (t)dt dF (τ )t0Zωhi (τ )[1 − F (τ )]dτ.hi (τ )F (τ )dτ =t0(3.8)t0Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî ëåììû.Ëåììà 3.2. Îæèäàåìûé òåðìèíàëüíûé âûèãðûø èãðîêà i ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåí â âèäå:E Ψi2 (T1 , T2 ) =ZωΦi (τ, x(τ ))fj (τ )(1 − Fi (τ ))dτ.t0Äîêàçàòåëüñòâî. Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì è ó÷èòûâàÿ, ÷òî Fi (ω) = 1, ïî-ëó÷àåìE Φi (Tj , x(Tj ))I[Ti >Tj ] =Zωt0ZωΦi (τ, x(τ ))I[θ>τ ] fj (τ )dτ fi (θ)dθ =t0ZωZωΦi (τ, x(τ ))fj (τ )dτ −= Fi (ω)t0Fi (θ)Φi (θ, x(θ))fj (θ)dθ =t058ZωZωΦi (τ, x(τ ))fj (τ )dτ −=t0Fi (θ)Φi (θ, x(θ))fj (θ)dθ,t0à ïåðåõîäÿ ê îäíîé ïåðåìåííîé, ïî êîòîðîé ïðîèñõîäèò èíòåãðèðîâàíèå, íàõîäèìE Φi (Tj , x(Tj ))I[Ti >Tj ] =ZωΦi (τ, x(τ ))fj (τ )(1 − Fi (τ ))dτ.(3.9)t0Èñïîëüçóÿ ëåììû 3.1 è 3.2, âûâîäèì óïðîùåííóþ ôîðìó ôóíêöèîíàëàîæèäàåìîãî âûèãðûøà.Òåîðåìà 3.1.
Îæèäàåìûé âûèãðûø èãðîêà i (3.2) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-ëåí â âèäå:Ki (t0 , x0 , u1 , u2 ) =Zω hi (τ )(1 − F (τ ))+t0+Φi (τ, x(τ ))fj (τ )(1 − Fi (τ )) dτ,i, j ∈ {1, 2} (i 6= j).(3.10)Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè ñäåëàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèÿõ ìàòåìàòè÷å-ñêèå îæèäàíèÿ â (3.3) ñóùåñòâóþò è êîíå÷íû. Îñòàåòñÿ òîëüêî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèâåä¼ííûìè âûøå ëåììàìè. Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (3.8) è (3.9) â(3.3), ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (3.10).Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè îæèäàåìûé âûèãðûø èãðîêà i â âèäå èíòåãðàëüíîãî ôóíêöèîíàëà íà êîíå÷íîì îòðåçêå âðåìåíè, ò.
å. íàøà èãðà âíåêîòðîì ñìûñëå àíàëîãè÷íà èãðå íà ôèêñèðîâàííîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè[0, ω], â êîòîðîé ôóíêöèîíàëû âûèãðûøà èãðîêîâ èìåþò âèä (3.10). Îòìåòèì òàêæå, ÷òî àíàëîãèÿ â äàííîì ñëó÷àå, êîíå÷íî, íå ìîæåò áûòü ïîëíîé.593.4.Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè-ÁåëëìàíàÐàññìîòðèì ïîäûãðó Γ(t, x) èãðû Γ(t0 , x0 ), êîòîðàÿ íà÷èíàåòñÿ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t ∈ [t0 , ω]. Äèíàìèêà òàêæå îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì(3.1). Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ èìåþò âèä x(t) = x.Òàê êàê èãðà ê ìîìåíòó âðåìåíè t íå ïðåêðàòèëàñü, òî ñëó÷àéíûå ìîìåíòûâûõîäà èãðîêîâ èç èãðû èìåþò äðóãèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, íåæåëè âìîìåíò âðåìåíè t0 . Áóäåì îáîçíà÷àòü íîâûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (è íîâûå[t]ôóíêöèè ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ) ñ âåðõíèì èíäåêñîì t, íàïðèìåð Fi (τ ).Ïî òåîðåìå 3.1 âûèãðûø èãðîêà i ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â ñëåäóþùåìâèäå:Ki (t, x, u1 , u2 ) =Zω hi (τ )(1 − F [t] (τ ))+t[t]+Φi (τ, x(τ ))fj (τ )(1−[t]Fi (τ ))dτ,i, j ∈ {1, 2} (i 6= j).(3.11)Îòìåòèì, ÷òî, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî j ∈ {1, 2} âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåωj < ω , ò.
å. ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fj (t) äîîïðåäåëåíà è òîæäåñòâåííîðàâíà åäèíèöå íà îòðåçêå [ωj , ω], òî èíòåðãàë â (3.11) äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü íà èíòåðâàëå (t, ωj ). Äàëåå ïîëàãàåì äëÿ âñåõ j ∈ {1, 2} ñïðàâåäëèâîFj (t) 6= 1, ∀t ∈ [t0 , ω).[t]Íàéäåì âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Fi (τ ). Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà âûõîäà èç èãðû èãðîêà i, i = 1, 2, ðàâíà ñëåäóþùåé óñëîâ[t]íîé âåðîÿòíîñòè Fi (τ ) = P {Ti ≤ τ |Ti > t}, òî åñòü âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òîèãðîê âûéäåò èç èãðû ê ìîìåíòó âðåìåíè τ ïðè óñëîâèè, ÷òî èãðà íå çàêàí÷èâàåòñÿ ê ìîìåíòó âðåìåíè t. Äàëåå ïîëó÷àåì[t]Fi (τ ) =Fi (τ ) − Fi (t).1 − Fi (t)(3.12)60Ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ èìåþò ñëåäóþùèé âèä[t]fi (τ ) =fi (τ ).1 − Fi (t)Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìèíèìóìà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí T1 è T2 íàõîäèòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì[t][t]F [t] (τ ) = 1 − (1 − F1 (τ ))(1 − F2 (τ )) ==1−1 − F (τ ).(1 − F1 (t))(1 − F2 (t))Îæèäàåìûé âûèãðûø (3.11) ïîñëå ïîäñòàíîâêè ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé äëÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä:Ki (t, x, u1 , u2 ) =Zω 1(1 − F1 (t))(1 − F2 (t))hi (τ )[1 − F (τ )] + Φi (τ, x(τ ))fj (τ )(1 − Fi (τ )) dτ,tt ∈ [t0 , ω), i, j ∈ {1, 2} (i 6= j).Îïðåäåëåíèå 3.1.Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî íàáîð ñòðàòåãèé {γi∗ (t, x) ∈Ui , i = 1, 2} îáðàçóåò â èãðå Γ(t0 , x0 ) ñîñòîÿòåëüíîå ïîçèöèîííîå ðàâíîâåñèåïî Íýøó [24,34], åñëè ñóùåñòâóþò ôóíêöèè Vi (t, x) (àíàëîãè ôóíêöèè Áåëëìàíà [3]), êîòîðûå îïðåäåëåíû íà [t0 , ω] × Rm è óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì61óñëîâèÿìV1 (ω, x) = 0,V2 (ω, x) = 0;1V1 (t, x) =(1 − F1 (t))(1 − F2 (t))Zω ∗∗∗∗h1 (τ, x (τ ), γ1 (τ, x), γ2 (τ, x))[1 − F (τ )] + Φ1 (τ, x (τ ))f2 (τ )(1 − F1 (τ )) dτ ≥t1(1 − F1 (t))(1 − F2 (t))Zω h1 (τ, x[1] (τ ), γ1 (τ, x), γ2∗ (τ, x))[1 − F (τ )]+t+Φ1 (τ, x (τ ))f2 (τ )(1 − F1 (τ )) dτ,[1]V2 (t, x) =∀t ∈ [t0 , ω),(3.13)1(1 − F1 (t))(1 − F2 (t))Zω ∗∗∗∗h2 (τ, x (τ ), γ1 (τ, x), γ2 (τ, x))[1 − F (τ )] + Φ2 (τ, x (τ ))f1 (τ )(1 − F2 (τ )) dτ ≥t1(1 − F1 (t))(1 − F2 (t))Zω h2 (τ, x[2] (τ ), γ1∗ (τ, x), γ2 (τ, x))[1 − F (τ )]+t+Φ2 (τ, x (τ ))f1 (τ )(1 − F2 (τ )) dτ,[2]∀t ∈ [t0 , ω).(3.14)äëÿ âñåõ γi (τ, x), i = 1, 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
