Диссертация (1149840), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Îòìåòèì,÷òî åñëè äëÿ ïàðàìåòðîâ èãðîêà i, i ∈ N âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåbi λ2di <,2(2.12)òî èãðîê i íà÷èíàåò ïðîèçâîäñòâî íà ñâîåé òåððèòîðèè, â ïðîòèâíîì ñëó÷àåèãðîê íå íà÷èíàåò ïðîèçâîäñòâî, òàê êàê óáûòîê îò óñòðàíåíèÿ óâåëè÷èâàþùåãîñÿ îáùåãî óðîâíÿ çàãðÿçíåíèé di P (t) ïðåâûøàåò âîçìîæíûé äîõîä îòïðîèçâîäñòâà Ri (ei (t)).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ èãðîêà i ∈ N óñëîâèå (2.12) âûïîëíÿåòñÿ.  ýòîìñëó÷àå åãî ðàâíîâåñíûå âðåäíûå âûáðîñû èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå 2.4.Ðèñóíîê 2.4. Îïòèìàëüíûå âûáðîñû e∗i (t) (bi = 200, λ = 1).Îòìåòèì âûáðîñû ÿâëÿþòñÿ óáûâàþùåé ôóíêöèåé âðåìåíè (ðèñóíîê 2.4)42äî íåêîòîðîãî ìîìåíòà âðåìåíè θi , êîòîðûé ìîæåò áûòü íàéäåí ïî ôîðìóëå1 2λ−θi = bi.2di λÏîñëå ìîìåíòà âðåìåíè θi (ðèñóíîê 1.7) èãðîê ïðåêðàùàåò ïðîèçâîäñòâî íàñâîåé òåððèòîðèè.Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ èãðû ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ò.
å. ïàðàìåòð δ = 1. Äåéñòâóÿ ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèìè âàðèàíòàìè ðàñïðåäåëåíèé, íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ ñîïðÿæ¼ííûõôóíêöèée−λtΛi (t) = −di.λÒàêèì îáðàçîì, íàéäåííûå ðàâíîâåñíûå ñòðàòåãèè â ñëó÷àå δ = 1 èìåþòñëåäóþùèé âèä:e∗i (t) = bi −di,λ(2.13)i ∈ N,åñëè ýòî âûðàæåíèå ïîëîæèòåëüíî, à â ïðîòèâíîì ñëó÷àå e∗i (t) = 0.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ êàæäîãî èãðîêà i ∈ N âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåλbi > di .
Íàéä¼ì îïòèìàëüíóþ òðàåêòîðèþ è âûèãðûø èãðîêà â ñèòóàöèèðàâíîâåñèÿ, ïîäñòàâèâ ðàâíîâåñíûå âûáðîñû (2.13) ñîîòâåòñòâåííî â äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (2.1) è â ôóíêöèîíàë (2.5). Ïîëó÷àåì!dit,bi − i∈NP (t) = P0 +λi∈N2Xd1dddiiiiKi (0, P0 , e∗1 , .
. . , e∗n ) = − P0 +− 2bi −b2 −.λ2λ i λ2λλXP(2.14)i∈N2.4.Êîîïåðàòèâíàÿ èãðàÐàññìîòðèì êîîïåðàòèâíóþ äèôôåðåíöèàëüíóþ èãðó óïðàâëåíèÿ âðåäíûìè âûáðîñàìè, ïîñòðîåííóþ íà îñíîâå ðàññìîòðåííîé âûøå èãðû â ñëó÷àåýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ.43Äëÿ êàæäîé êîàëèöèè èãðîêîâ S ⊆ N ââåä¼ì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:B(S)=Xbi ;D(S)i∈S=Xdi .i∈SÒàêæå áóäåì ïîëàãàòü âûïîëíåííûì ñîîòíîøåíèåλbi > D(N ) ,(2.15)∀i ∈ N.Ïåðåéä¼ì òåïåðü ê îïðåäåëåíèþ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè. Äëÿ áîëüøîé êîàëèöèè N áóäåì ïîëàãàòü çíà÷åíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ðàâíûì ìàêñèìàëüíîìó ñóììàðíîìó äîõîäó âñåõ èãðîêîâV (N, t, P ) = maxe1 ,...,enXKi (t, P, e1 , . .
. , en ).(2.16)i∈NÄëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè äëÿ ïðîìåæóòî÷íûõ êîàëèöèé S ⊂ N , ñëåäóÿ ðàáîòå [55], áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèéïîäõîä: ïîëàãàåì, ÷òî èãðîêè, îáúåäèíèâøèåñÿ â êîàëèöèþ S ìàêñèìèçèðóþòñâîé ñóììàðíûé âûèãðûø, à èãðîêè íå âõîäÿùèå â êîàëèöèþ S ïðèäåðæèâàþòñÿ ñâîèõ ðàâíîâåñíûõ ñòðàòåãèé (2.13).Îáîçíà÷èì ÷åðåç W (N ) (t, P ) ôóíêöèþ çíà÷åíèÿ â çàäà÷å ìàêñèìèçàöèèñî ñëó÷àéíîé ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ (2.16). Ôóíêöèÿ W (N ) (t, P ) óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà, ïîëó÷åííîìó â ðàáîòàõ [32, 33]:f (t)∂W (N ) (t, P )(N )W (t, P ) =+1 − F (t)∂t()(N )XX∂W (t, P )+ maxRi (ei ) − D(N ) P +ei .e1 ,...,en∂Pi∈N(2.17)i∈NÏðèíèìàÿ âî âíèìàíèå âèä ôóíêöèè âûèãðûøà (2.14), áóäåì ïîëàãàòü, ÷òîôóíêöèÿ çíà÷åíèÿ èìååò âèä W (N ) (t, P ) = r(N ) P + q (N ) .  òàêîì ñëó÷àå óðàâ-44íåíèå (2.17) ïðèìåò âèäλ(r(N ) P + q (N ) ) = max(Xe1 ,...,en)Ri (ei ) − D(N ) P + r(N )Xi∈Nei .(2.18)i∈NÌàêñèìèçèðóÿ ïðàâóþ ÷àñòü (2.18), íàõîäèì(N )ei= bi + r(N ) .Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â (2.18), ïîëó÷àåìD(N ), i ∈ N;= bi −λD(N )(N )W (t, P ) = −P+λ1 X 2 (D(N ) )2D(N ) XD(N )+− 2.bi −bi −2λλ2λλ(N )eii∈N(2.19)(2.20)i∈NÈç ïðåäïîëîæåíèÿ (2.15) ñëåäóåò, ÷òî îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè èãðîêîâ ïðèêîîïåðàöèè (2.19) ñòðîãî ïîëîæèòåëüíû.
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî â êîîïåðàòèâíîì ñëó÷àå èãðîê i ∈ N ó÷èòûâàåò çàòðàòû íà óñòðàíåíèå çàãðÿçíåíèé äëÿâñåõ èãðîêîâ D(N ) , òîãäà êàê â ðàâíîâåñèè ïî Íýøó (2.13) òîëüêî ñâîè di .Èñïîëüçóÿ òîò æå ïîäõîä, ÷òî è â ñëó÷àå ïîëíîé êîàëèöèè N , ïîëó÷àåì,÷òî ôóíêöèÿ çíà÷åíèÿ â çàäà÷å ìàêñèìèçàöèè äëÿ ïðîìåæóòî÷íîé êîàëèöèèS ⊂ N èìååò âèä W (S) (t, P ) = r(S) P + q (S) , ãäå r(S) , q (S) äëÿ âñåõ P óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþλ(r(S) P + q (S) ) = max{ei ,i∈S}(Xi∈SRi (ei ) − D(S) P + r(S)Xi∈Sei +X)e∗i,i∈N \Sãäå e∗i ñòðàòåãèè, îáðàçóþùèå ðàâíîâåñèå ïî Íýøó (2.13). Ïîñëå íåêîòîðûõ45âû÷èñëåíèé, íàõîäèìD(S), i ∈ S;= bi −λD(S)1 X 2 (D(S) )2(S)W (t, P ) = −bi −P+−λ2λλ2i∈S(S)(S) XDdiD(S) XDbi −bi −− 2.− 2λλλλ(S)eii∈S(2.21)(2.22)i∈N \SÎñòàëîñü îïðåäåëèòü õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ V (N, t, P ), èñïîëüçóÿïîëó÷åííûå ôóíêöèè çíà÷åíèÿ(2.23)V (∅, t, P ) = 0,V (S, t, P ) = W (S) (t, P ),S ⊆ N, S 6= ∅.(2.24)Òàê êàê ïðè îïðåäåëåíèè õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè V (S, t, P ) èñïîëüçîâàëñÿ íåñòàíäàðòíûé ïîäõîä, òî ñëåäóåò äîïîëíèòåëüíî ïðîâåðèòü, óäîâëåòâîðÿåò ëè V (S, t, P ), çàäàííàÿ ðàâåíñòâàìè (2.23)-(2.24) , ñâîéñòâó ñóïåðàääèòèâíîñòè.
Äîêàæåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Óòâåðæäåíèå 2.1. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ V (S, t, P ), îïðåäåëÿåìàÿôîðìóëàìè (2.23)-(2.24), óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâó ñóïåðàääèòèâíîñòè:V (S ∪ T, τ, P ) ≥ V (S, τ, P ) + V (T, τ, P ),S, T ⊂ N, S ∩ T = ∅.(2.25)Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì êîàëèöèè S, T ⊂ N , òàêèå ÷òî S ∩ T = ∅.Ïîëàãàåì, ÷òî êîàëèöèÿ S ñîñòîèò èç s èãðîêîâ, à êîàëèöèÿ T èç t èãðîêîâ.Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé íåðàâåíñòâà (2.25), êîòîðàÿ46ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ñëàãàåìûõ ïðèìåò âèäV (S ∪ T, τ, P ) − V (S, τ, P ) − V (T, τ, P ) =1 t (S) 2 s (T ) 2= 3(D ) + (D ) + (s + t − 2)D(S) D(T ) .λ 22(2.26)Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî D(S) > 0, äëÿ S ⊆ N, S 6= ∅. Ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèå (2.26) ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ êîàëèöèé.
Ýòî è îçíà÷àåò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (2.25). Òàêèìîáðàçîì, äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî. êà÷åñòâå ïðèíöèïà îïòèìàëüíîñòè âûáåðåì âåêòîð Øåïëè ( [28, 53]).Äàííûé âûáîð îáóñëîâëåí åäèíñòâåííîñòüþ âåêòîðà Øåïëè è èçâåñòíûì àëãîðèòìîì åãî ïîñòðîåíèÿ.Âåêòîð Øåïëè â êîîïåðàòèâíîé äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Sh = {Sh1 , . . . , Shn }. Êîìïîíåíòû âåêòîðà Øåïëè íàõîäÿòñÿ ïîôîðìóëåShi (t, P ) =XS⊆N (i∈S)i(n − s)!(s − 1)! hV (S, t, P ) − V (S \ {i}, t, P ) .n!(2.27)Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàçíîñòåé â ïðàâîé ÷àñòè (2.27) âîñïîëüçóåìñÿ ïîëó÷åííûì ðàíåå ñîîòíîøåíèåì (2.26):V (S, τ, P ) − V (S \ {i}, τ, P ) = V ({i}, τ, P )+1 1 (S)s−1 22(S)+ 3(D − di ) +d + (s − 2)(D − di )di .λ 22 iÅñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî â èãðå ïðèíèìàþò ó÷àñòèå òðè èãðîêàN= {1, 2, 3}, à ïàðàìåòðû di = d äëÿ âñåõ i ∈ N , òî êîìïîíåíòû âåê-47òîðà Øåïëè ëåãêî ïîëó÷èòü â ÿâíîì âèäå:b2i9d2dd+ 2 − 2 B (N ) .Shi (t, P ) = − P +λ2λ 2λλ(2.28)Ðàññìîòðèì óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ (2.19), ìàêñèìèçèðóþùèå ñóììàðíûé äîõîä êîàëèöèè N (2.16).
Òðàåêòîðèþ ôàçîâîé ïåðåìåííîé P (N ) (t), ñîîòâåòñòâóþùóþ óïðàâëåíèÿì (2.19), áóäåì íàçûâàòü óñëîâíî-îïòèìàëüíîé:P(N )9d(N )(t) = P0 + t B −.λ(2.29)Îïðåäåëèì, êàêèì îáðàçîì êîìïîíåíòû âåêòîðà Øåïëè (2.28) èçìåíÿþòñÿ âîâðåìåíè ïðè äâèæåíèè ïî óñëîâíî-îïòèìàëüíîé òðàåêòîðèè (2.29):Shi (t, P(N )b2idd9d9d2d(N )++ 2 − 2 B (N ) .(t)) = − P0 − t B −λλλ2λ 2λλÄëÿ îáåñïå÷åíèÿ äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè (ñîñòîÿòåëüíîñòè âî âðåìåíè [23, 27]) âåêòîðà Øåïëè, ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ïðîöåäóðó ðàñïðåäåëåíèÿäåëåæà (ÏÐÄ) âåêòîð-ôóíêöèþ β(t) = {βi (t)}i∈N , t ≥ 0, òàêóþ ÷òîZ∞Shi (0, P0 ) = (1 − F (t))βi (t)dt,i ∈ N.0ÏÐÄ îïðåäåëÿåò êàêèì îáðàçîì äîõîä, îïðåäåëÿåìûé êîìïîíåíòàìè âåêòîðàØåïëè, ðàñïðåäåëÿåòñÿ âî âðåìåíè.Âåêòîð Øåïëè äèíàìè÷åñêè óñòîé÷èâ, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ÏÐÄ β(t),÷òî äëÿ âñåõ τ ≥ 0 âåðíî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâîZτShi (0, P0 ) =(1 − F (t))βi (t)dt + (1 − F (τ ))Shi (τ, P (N ) (τ )),i ∈ N.
(2.30)0 ýòîì ñëó÷àå èãðîêè íå èìåþò îñíîâàíèé ïåðåñìàòðèâàòü êîîïåðàòèâíîå ñî-48ãëàøåíèå î ðàñïðåäåëåíèè äîõîäà ñîãëàñíî âåêòîðó Øåïëè, òàê êàê â êàæäûéìîìåíò âðåìåíè τ ≥ 0 îæèäàåìûé äåë¼æ â òåêóùåé ïîäûãðå òàêæå ÿâëÿåòñÿâåêòîðîì Øåïëè.Äèôôåðåíöèðóåì ïî τ ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ (2.30) è ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ÏÐÄ:βi (τ ) =f (τ )dShi (τ, P (N ) (τ ))Shi (τ, P (N ) (τ )) −.1 − F (τ )dτ ÿâíîì âèäå ôóíêöèÿ ÏÐÄ äëÿ âåêòîðà Øåïëè èìååò âèä9d2 9d29db2i(N )− 2 ; i ∈ N, t ≥ 0.βi (t) = −d P0 − d t B −+ +λ22λλÒàêèì îáðàçîì, â êîîïåðàòèâíîé èãðå ïîñòðîåí âåêòîð Øåïëè, à òàêæå ÏÐÄ,ãàðàíòèðóþùàÿ åãî äèíàìè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü.49Ãëàâà 3ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÈÃÐÀ Ñ ÐÀÇËÈ×ÍÛÌÈÌÎÌÅÍÒÀÌÈ ÂÛÕÎÄÀ ÈÇ ÈÃÐÛ Å Ó×ÀÑÒÍÈÊÎÂ3.1.Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÐàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíóþ èãðó äâóõ ëèö Γ(t0 , x0 ) ñî ñëó÷àéíîé ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ è íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì x0 .
Äèíàìèêà èãðû çàäà¼òñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â âåêòîðíîé ôîðìå:ẋ(t) = φ(t, x(t), u1 , u2 ),(3.1)x(t0 ) = x0 ,ãäå φ(t, x, u1 , u2 ) âåêòîð-ôóíêöèÿ ñ êîìïîíåíòàìèφ1 (t, x, u1 , u2 ), φ2 (t, x, u1 , u2 ), . . . , φm (t, x, u1 , u2 ).Ôóíêöèè φj (t, x, u1 , u2 ),j = 1, . . . , m, îïðåäåëåíû ïðè x ∈ Rm è ui ∈Ui ⊆ compRl .Êàê è â ïðåäûäóùåé ãëàâå íå áóäåì ïîêà êàñàòüñÿ âîñïðîñà òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà ñòðàòåãèé, ïîýòîìó, êàê è ðàíåå ïîëàãàåì, ÷òî ìíîæåñòâàäîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ çàäàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî äëÿ ëþáûõ äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå íåïðåðûâíîå, ïî êðàéíåé ìåðå êóñî÷íî-äèôôåðåíöèðóåìîå ðåøåíèå ñèñòåìû (3.1), ïðîäîëæèìîåíà [t0 , ∞).Êàê è ðàíåå ôóíêöèþ ïëîòíîñòè âûèãðûøà èãðîêà i â ìîìåíò âðåìåíè τ ,τ ∈ [t0 , ∞) áóäåì îáîçíà÷àòü êàêhi (τ, x(τ ), u1 , u2 ) : [t0 , ∞) × Rm × U1 × U2 7→ R.50Àíàëîãè÷íî áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïðè ëþáîì âîçìîæíîì âûáîðå ñòðàòåãèé èãðîêàìè ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè âûèãðûøà èãðîêà i íà êàæäîì îòðåçêå[t0 , t] ìîæåò èìåòü ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ðàçðûâîâ ïåðâîãî ðîäà.Ïðèíöèïèàëüíûì îòëè÷èåì äàííîé èãðû îò ðàññìîòðåííîé ðàíåå ÿâëÿåòñÿ ìîìåíò îêîí÷àíèÿ èãðû.
 äàííîì ñëó÷àå ïîëàãàåì, ÷òî äëÿ êàæäîãî èãðîêà ñóùåñòâóåò ñâîé ìîìåíò âûõîäà èç èãðû. Ñ÷èòàåì, ÷òî ìîìåíòû âûõîäà èçèãðû äëÿ êàæäîãî èãðîêà íå èçâåñòíû çàðàíåå, à îïðåäåëÿþòñÿ ðåàëèçàöèÿìèíåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ èçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ.Íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ìîìåíòû îêîí÷àíèÿ èãðû äëÿ èãðîêîâ, îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç T1 è T2 . Áóäåì ïðåäïîëàãàòü íàëè÷èå ïî êðàéíåé ìåðå êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ îêîí÷àíèÿ f1 (·), f2 (·), èçâåñòíûõ îáîèì èãðîêàì.Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí T1 è T2 áóäåì ñîîòâåòñòâåííîîáîçíà÷àòü ÷åðåç F1 (·), F2 (·).Êàê òîëüêî èãðîê j, j = 1, 2 ïåðâûì âûáûâàåò èç èãðû â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè Tj (ÿâëÿþùèéñÿ ðåàëèçàöèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Tj ), îñòàâøèéñÿ èãðîê i (i 6= j) ïîëó÷àåò òåðìèíàëüíóþ âûïëàòó Φi (Tj , x(Tj )), ãäåΦi (t, x) : [t0 , ∞) × Rm 7→ R.Äàííóþ âûïëàòó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äîïîëíèòåëüíûé äîõîä (øòðàô),ïîëó÷àåìûé îñòàâøèìñÿ èãðîêîì ïðè îòñóòñòâèè êîíêóðåíöèè ñî ñòîðîíûèãðîêà, ïîêèíóâøåãî èãðó ðàíåå.Ñäåëàåì ïðåäïîëîæåíèå î êóñî÷íîé-íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè Φi (t, x(t)),êàê ôóíêöèè âðåìåííîãî ïàðàìåòðà t (àíàëîãè÷íî ôóíêöèè ìãíîâåííîãî âûèãðûøà).
Ýòî ïðåäïîëîæåíèå ïîçâîëèò îáåñïå÷èòü èíòåãðèðóåìîñòü ââåä¼ííîé ôóíêöèè íà ëþáîì êîíå÷íîì îòðåçêå [t0 , t].Ìîæíî òàêæå ïîëîæèòü òåðìèíàëüíóþ âûïëàòó ðàâíîé äîõîäó, ïîëó÷àåìîìó îñòàâøèìñÿ èãðîêîì i ïðè îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè, òî åñòü â çàäà÷å51îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñî ñëó÷àéíîé ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ íà÷àëüíûì ìîìåíòîì âðåìåíè Tj è íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì ôàçîâîé ïåðåìåííîé x(Tj ).Èíòåðïðåòèðóÿ òåðìèíàëüíóþ âûïëàòó ïîäîáíûì îáðàçîì, ïðèõîäèì êñëåäóþùåé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
