Диссертация (1149840), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè ðàâåíñòâ (1.9),(1.11) ýòî ïðèâîäèò ê ñóùåñòâîâàíèþ limRTT →∞ t0hi (t) [1 − F (t)] dt. Êðîìå òîãî,ýòîò ïðåäåë ðàâåí ïðåäåëó â (1.8). Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî îæèäàåìûé âûèãðûøìîæåò áûòü ïîëó÷åí ïî ôîðìóëå (1.4). Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.Òàêèì îáðàçîì, åñëè âû÷èñëåíèå îæèäàåìîãî âûèãðûøà ïî ôîðìóëå (1.2)ïðåäñòàâëÿåò íåêîòîðóþ òðóäíîñòü, íî ìîæíî ãàðàíòèðîâàòü âûïîëíåíèåóñëîâèé (1.7) è (1.9), òî îæèäàåìûé âûèãðûø ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí âóïðîù¼ííîé ôîðìå (1.4).Çàìå÷àíèå. Îòäåëüíî ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî èç ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà â23(1.4) è âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (1.9) ñëåäóåò òàêæå è ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (1.8),íî íå åãî àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè âûïîëíåíèè óêàçàííûõ âûøå óñëîâèé íåâîçìîæíî ãàðàíòèðîâàòü ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëüíîãîâûèãðûøà èãðîêà êàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.1.3.Ïðèìåð íåâûïîëíåíèÿ óñëîâèé ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèîíàëàâûèãðûøà â óïðîù¼ííîé ôîðìåÏðèâåä¼ì ïðèìåð, êîãäà ñóùåñòâîâàíèå îæèäàåìîãî âûèãðûøà â ôîðìå(1.2) íå âëå÷åò çà ñîáîé âîçìîæíîñòü åãî ïðåäñòàâëåíèÿ â ôîðìå (1.4). Âîñíîâå äàííîãî ïðèìåðà ëåæèò ïðèìåð èç [6].Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ïîëàãàòü íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíèt0 = 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ èãðûèìååò âèäF (t) = 1 − e−t ,t ≥ 0,÷òî ñîîòâåòñòâóåò ýêñïîíåíöèàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñ ïàðàìåòðîì λ = 1.Ðàñïðåäåëåíèÿ òàêîãî òèïà ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêåè òåîðèè íàäåæíîñòè äëÿ îïèñàíèÿ îòêàçîâ ñèñòåìû.  äàííîì ñëó÷àå íà âñ¼ììíîæåñòâå [0, ∞) ñóùåñòâóåò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (t) = e−t .Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â ðåçóëüòàòå âûáîðà ñòðàòåãèé èãðîêàìè â èãðå ñëîæèëàñü ñèòóàöèÿ, ïðè êîòîðîé ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè âûèãðûøà (ïîñëåïîäñòàíîâêè ñîîòâåòñòâóþùèõ óïðàâëåíèé èãðîêîâ, êàê ôóíêöèÿ âðåìåíè)èãðîêà i èìååò ñëåäóþùèé âèä:hi (t) = et (1 + cos(π(t − n)n2 )) − et sin(π(t − n)n2 )πn2 ,11∀t ∈ [n − 2 , n + 2 ], n = 2, 3, 4, .
. .nnÏðè îñòàëüíûõ t èç ìíîæåñòâà [0, ∞) ïîëîæèì hi (t) = 0.Íåïîñðåäñòâåííî óáåäèìñÿ, ÷òî îïðåäåë¼ííàÿ òàêèì îáðàçîì ôóíêöèÿ24hi (t) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé íà (0, ∞). Î÷åâèäíî, ÷òî òî÷êàìè ðàçðûâà äàííîé ôóíêöèè ìîãóò ÿâëÿòüñÿ ëèøü òî÷êèt̃n = n −1,n2t̄n = n +1,n2n = 2, 3, 4, . . .Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî è ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèèhi (t). Òàê, íàïðèìåð, äëÿ âñåõ n ≥ 2 äëÿ òî÷åê t̃n ïðåäåë ñëåâàlim hi (t) = 0,t→t̃n −0à ïðåäåë ñïðàâà, ðàâíûé çíà÷åíèþ ôóíêöèè â ýòîé òî÷êålim hi (t) = hi (t̃n ) =t→t̃n +022en−1/n (1 + cos(−π)) − en−1/n sin(−π) = 0.Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ hi (t) íåïðåðûâíà è îãðàíè÷åíà íà ëþáîì îòðåçêå[0, t], à, ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà í¼ì.Çàìåòèì òàêæå, ÷òî hi (t) ïðèíèìàåò íà ìíîæåñòâå [0, ∞) çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ.
Òàê, íàïðèìåð, çíà÷åíèå ôóíêöèè â ñåðåäèíå ¾íåíóëåâîãî¿ ïðîìåæóòêà n −1n2 , n+1n2äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n ≥ 2 ñòðîãî ïîëîæè-òåëüíî:hi (n) = 2en ,à çíà÷åíèå â òî÷êå n +1ñòðîãî îòðèöàòåëüíî:2n2hi1n+ 22n2= (1 − πn2 )en+1/(2n ) .Ãðàôèê ôóíêöèè hi (t) ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå 1.2.255Ðèñóíîê 1.2. Ãðàôèê ôóíêöèè hi (τ ) íà îòðåçêå 0, .2Ðàññìîòðèì äàëåå ôóíêöèþ Hi (t) =Rt0hi (τ )dτ , îïðåäåë¼ííóþ íà òîì æå ìíî-æåñòâå [0, ∞). Ëåãêî ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ Hi (t) èìååò ñëåäóþùèéâèä:Hi (t) =et (1 + cos(π(t − n)n2 )), ∀t ∈ [n −0,1n2 , n+1n2 ],n = 2, 3, 4, .
. .äëÿ îñòàëüíûõ t ≥ 0.Ãðàôèê ôóíêöèè Hi (t) ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå 1.3.Óáåäèìñÿ, ÷òî äëÿ òàêèõ ôóíêöèé F (t) è Hi (t) íåñîáñòâåííûé èíòåãðàëâ ïðàâîé ÷àñòè (1.8) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. Äëÿ íà÷àëà âû÷èñëèì ñëåäóþùèé26èíòåãðàën+ n12n+ n12ZZHi (t)dF (t) =n− n12cos(πn2 (t − n))dt =n− n12n− 1sin(πn2 (t − n)) n22t+= 2.2πnnn+ 12(1.12)n5Ðèñóíîê 1.3. Ãðàôèê ôóíêöèè Hi (t) íà îòðåçêå 0, .2Ñòîèò çàìåòèòü, ÷òî àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (1.8) â íåêîòîðîì∞ 1P. Èçâåñòíî,ñìûñëå ýêâèâàëåíòíà ñõîäèìîñòè ðÿäà îáðàòíûõ êâàäðàòîâ2n=1 n÷òî ïîñëåäíèé ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì, à ñëåäîâàòåëüíî, äëÿíåãî ñïðàâåäëèâ êðèòåðèé Êîøè∀ε > 0, ∃N = N (ε) : ∀n1 > n2 > N n1X1 ε< .n=n n2 2(1.13)2Âåðíåìñÿ òåïåðü ê èíòåãðàëó (1.8) è äëÿ ðåøåíèÿ âîïðîñà î åãî ñõîäèìî-27ñòè òàêæå ðàññìîòðèì êðèòåðèé Êîøè.
tZ 1 Hi (t)dF (t) < ε.∀ε > 0, ∃T = T (ε) : ∀t1 > t2 > T(1.14)t2Òàê êàê, ôóíêöèÿ Hi (t) ≥ 0 íà âñåé ïîëóîñè [0, ∞), òî ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî [t ]+1 t Z1Z 1 Hi (t)dF (t) ≤ Hi (t)dF (t) , t2[t2 ]ãäå ÷åðåç [t1 ], [t2 ] îáîçíà÷åíû ñîîòâåòñâåííî öåëûå ÷àñòè t1 , t2 (íàèáîëüøèåöåëûå, íå ïðåâîñõîäÿùèå äàííûå ÷èñëà: [t] ∈ Z,[t] ≤ t < [t] + 1).Ïðèìåíÿÿ (1.12), ïðîäîëæàåì íàøó îöåíêó [tZ1 ]+1[t1 ]+1X 1Hi (t)dF (t) < 2.n2n=[t2 ] [t2 ]Îñòà¼òñÿ çàìåòèòü, ÷òî åñëè â (1.14) â êà÷åñòâå T (ε) âûáðàòü N (ε) èç êðèòåðèÿ äëÿ ðÿäà (1.13), òî â ñèëó ïîëó÷åííûõ îöåíîê ñïðàâåäëèâ è êðèòåðèé(1.14).
À òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåîòðèöàòåëüíà, òî èìååò ìåñòîè àáñîëþòíàÿ ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà â (1.8).Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíî, ÷òî èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (1.8) àáñîëþòíîπ2− 2.3n=2Îäíàêî, óñëîâèå (1.9) äëÿ òàêèõ ôóíêöèé íå âûïîëíÿåòñÿ.  ýòîì ëåãêîñõîäèòñÿ è îæèäàåìûé âûèãðûø äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ ðàâåí 2∞∞P1n2=óáåäèòüñÿ, óêàçàâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {tn }|n=2 , tn = n, äëÿ êîòîðîéZtn(F (tn ) − 1)hi (τ )dτ = −2.028Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàññìîòðåâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüïîëó÷àåì ∞1t̃n n=2 , t̃n = n + 2 ,nZt̃n(F (t̃n ) − 1)hi (τ )dτ = 0.0Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíû äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çíà÷åíèé ôóíêöèè â(1.9), ñõîäÿùèåñÿ ê ðàçíûì ïðåäåëàì, à, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäåëà â (1.9) íåñóùåñòâóåò.
Òîãäà ïî òåîðåìå 1.2 íå ñõîäèòñÿ è èíòåãðàë â (1.4).Äåéñòâèòåëüíî, óêàæåì äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ηn = n, θn = n −∀n ≥ 2. Äëÿ âûáðàííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñïðàâåäëèâî1,n2ηZ n hi (τ )(1 − F (τ ))dτ = 2 + 1 .n2θn ñèëó ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà êðèòåðèé Êîøè äëÿ äàííîãî èíòåãðàëà íåâûïîëíÿåòñÿ, à, ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèìîñòü (1.4) ïðè ïðåäëîæåííûõ ôóíêöèÿõ ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòè âûèãðûøà íå èìååò ìåñòà.Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ïðèìåðå îæèäàåìûé âûèãðûø èãðîêà i (1.2)ñóùåñòâóåò, êîíå÷åí, íî íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå (1.4).29Ãëàâà 2ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÈÃÐÀ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ÂÐÅÄÍÛÌÈÂÛÁÐÎÑÀÌÈ2.1.Ìîäåëü èãðû êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì òåîðåòèêî-èãðîâóþ ìîäåëü óïðàâëåíèÿâðåäíûìè âûáðîñàìè [37].  èãðå ïðèíèìàþò ó÷àñòèå n èãðîêîâ, êàæäûé èçêîòîðûõ èìååò ïðîìûøëåííîå ïðîèçâîäñòâî íà ñâîåé òåððèòîðèè.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îáú¼ì ïðîèçâîäñòâà èãðîêà i ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëåí âðåäíûìâûáðîñàì ei . Òàêèì îáðàçîì, óïðàâëÿþùèì ïàðàìåòðîì èãðîêà ÿâëÿåòñÿ îáú¼ì âðåäíûõ âûáðîñîâ ei ∈ [0; bi ].Ìãíîâåííûé äîõîä èãðîêà i â ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:Ri (ei (t)) = ei (t)(bi − 1/2ei (t)).(2.1)Äèíàìèêà èçìåíåíèÿ îáùåãî óðîâíÿ çàãðÿçíåíèÿ P (t) çàäà¼òñÿ äèôôåðåíöèëüíûì óðàâíåíèåìṖ (t) =nXei (t)i=1ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìèP (t0 ) = P0 ≥ 0.Êàæäûé èãðîê èìååò ðàñõîäû, ñâÿçàííûå ñ óñòðàíåíèåì çàãðÿçíåíèé.
Ïîëàãàåì, ÷òî ýòè ðàñõîäû äëÿ èãðîêà i, i = 1, . . . , n ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíûîáùåìó óðîâíþ çàãðÿçíåíèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè di > 0.Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè âûèãðûøà èãðîêà i ðàâíàhi (P (t), ei (t)) = Ri (ei (t)) − di P (t).Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìîìåíò íà÷àëà èãðû30t0 = 0.  îòëè÷èå îò ìîäåëè [37] áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî èãðà èìååò ñëó÷àéíûéìîìåíò îêîí÷àíèÿ T , ãäå T ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ èçâåñòíîé ôóíêöèåéðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðàÿ èìååò âèäδF (t) = 1 − e−λt ,(2.2)t ≥ 0, λ > 0, δ > 0.Ðàñïðåäåëåíèå (2.2) ÿâëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Âåéáóëëà ñ ïàðàìåòðîììàñøòàáà λ è ïàðàìåòðîì ôîðìû δ .
Ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ â òåîðèè íàä¼æíîñòè äëÿ îïèñàíèÿ âðåìåíè áåçîòêàçíîé ðàáîòûðàçëè÷íûõ òåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ.Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â äàííîé èãðå åå îêîí÷àíèå âûçâàíî ñáîÿìè èàâàðèÿìè ïðè ôóíêöèîíèðîâàíèè ïðîèçâîäñòâà. Âûáîð çàêîíà Âåéáóëëà äëÿçàäà÷ òàêîãî òèïà îáîñíîâàí â ðàáîòå [36].Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ èãðû èìååò ñëåäóþùèé âèäδf (t) = λδtδ−1 e−λt ,t ≥ 0.Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ λ(t) =f (t)1−F (t) .Äàäèìèíòåðïðåòàöèþ çíà÷åíèÿì äàííîé ôóíêöèè.
Çíà÷åíèå ôóíêöèè èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ â ìîìåíò âðåìåíè t ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòíîøåíèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî èãðà çàêîí÷èòñÿ â áåñêîíå÷íî ìàëîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè(t, t + dt) ïðè óñëîâèè, ÷òî äî ìîìåíòà âðåìåíè t èãðà ïðîäîëæàëàñü, ê äëèíåïðîìåæóòêà dt.Îòíîñèòåëüíî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà ôîðìû δ ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèéÂåéáóëëà (2.2) ìîæíî ðàçäåëèòü íà òðè ãðóïïû:1. Ê ïåðâîé ãðóïïå îòíîñÿòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì δ = 1.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (2.2) ïðèìåò âèä:F (t) = 1 − e−λt ,t ≥ 0, λ > 0,31÷òî ñîòâåòñòâóåò ýêñïîíåíöèàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñ ïàðàìåòðîì λ.Ôóíêöèÿ èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ â äàííîì ñëó÷àå ïîñòîÿííà è ðàâíàïàðàìåòðó λ, ÷òî âûðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì íåïðåðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì, îáëàäàþùèì îòñóòñòâèåì ïàìÿòè: èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ íå ìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè.2. Êî âòîðîé ãðóïïå îòíîñÿòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì δ > 1. Ýòîòñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò âîçðàñòàíèþ ôóíêöèè λ(t) = λδtδ−1 ñ òå÷åíèåìâðåìåíè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
