Диссертация (1149834), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В результатемы получили разложение для (, ): (, ) =∞ √︀∑︁4 () ().(3.14)=1Свойство полноты набора { ()}∞=1 следует из линейности интегрального преобразования (3.8)и полноты набора { ()}∞=1 , то есть гильбертово пространство, натянутое на первый набор,будет изоморфно гильбертову пространству, натянутому на второй набор.52√4Рисунок 3.3: Квадраты функций отклика среды;верхняястрока–|1 1 ()|2 , нижняя строка –√| 4 2 2 ()|2 .Функции () условно можно называть собственными функциями (или модами) среды.Однако нас в первую очередь будут интересовать не сами собственные моды среды, а связанные√с ними функции отклика 4 (), которые, как уже было сказано выше и как следует из ихназвания, по своей сути являются откликами среды на входные поля, отвечающие собственнымфункциям () полного цикла – их квадраты говорят о распределении возбуждений в среде.На рис.
3.3 представлены зависимости от координаты квадратов первых двух функцийотклика для неподвижных атомов. Площадь под графиком для первой функции отклика (синяя√√кривая) равна 1 = 1.0, для второй (фиолетовая кривая) – 2 = 0.9, что находится в согласиисо значениями эффективности записи для этих мод, т.е. отношения числа возбуждений, образовавшихся в среде, к числу фотонов, поданных на вход ячейки. Кроме того, обратим внимание,что у первой кривой есть только один максимум в = 0 в то время, как у второй их два в = 0и в ≈ 3.9.
Таким образом, в первом случае возбуждения оказываются сконцентрированными восновном в начале ячейки, а во втором – в начале и в середине.3.3Сравнение модового состава моделей быстрой и адиабатической квантовой памятиДля сравнения модового состава быстрой квантовой памяти с модовым составом адиа-батической квантовой памяти в случае обратного считывания приведем краткое теоретическоеописание последней.53Так как в отличие от протокола быстрой квантовой памяти длительность взаимодействияизлучения со средой значительно превосходит время жизни верхнего состояния | 3⟩, исключитьпроцесс спонтанной релаксации при построении модели уже нельзя, поэтому систему уравнений (2.31–2.33) необходимо соответствующим образом дополнить (мы рассматриваем случайнеподвижных атомов, когда = 0)ˆ(, ) = − ˆ(, ),√︀ˆ ),ˆ(, ) = −ˆ(, ) + ˆ(, ) + Ωˆ(, ) + 2 (,ˆ(, ) = −Ωˆ(, ),(3.15)(3.16)(3.17)ˆ ) – введенныйгде – скорость спонтанной релаксации с уровня | 3⟩ на уровень | 1⟩, а (,согласно флуктуационно-диссипационной теореме Эйнштейна оператор, описывающий ланжевеновский источник шума, для которого верны следующие соотношения для средних первого ивторого порядка, записанные в тех же приближениях, что и уравнения (2.31–2.33)ˆ )⟩ = 0,⟨(,ˆ )ˆ† ( ′ , ′ )⟩ = ( − ′ )( − ′ ),⟨(,ˆ ′ , ′ )⟩ = 0.⟨ˆ† (, )((3.18)Подчеркнем, что в этом разделе мы вновь вернулись к размерным величинам, поэтому надбезразмерными переменным и мы будем ставить "тильду".Как было показано в [16, 17], вследствие того, что время взаимодействия значительнопревосходит время спонтанной релаксации уровня | 3⟩ ( ≫ −1 ), развитие когерентности ˆ(, )является быстрым процессом по сравнению с развитием когерентности ˆ(, ) и поля ˆ(, ),поэтому может быть исключено из рассмотрения в рамках адиабатического приближения.
Этоозначает, что её производную по времени можно положить равной нулю, т.е. ˆ(, )/ = 0, ипереписать уравнения в виде√ ˆˆ(, ) = −1 ˆ(, ) − ˆ(, ) − 2 / (,),ˆ√ ˆ(, ) = −2 ˆ(, ) − ˆ(, ) − 2Ω/ (,),(3.19)(3.20)в которых введены следующие обозначения:1 =22,2 =2Ω2,=542 Ω(︀)︀ 1 2 = 2 .(3.21)Удобно определить безразмерные координату и время не так, как мы это сделали для моделибыстрой памяти – вид уравнений диктует нам следующее естественное обезразмеривание переменных:˜ = 1 ,˜ = 2 .(3.22)Заметим, что, поскольку адиабатическая модель памяти не является предметом нашего исследования и приведена здесь лишь для сравнения ее характеристик с рассматриваемымпротоколом, мы не будем обсуждать здесь полный анализ уравнений и их решений.
Нас будутинтересовать только собственные функции и собственные значения ядра интегрального преобразования полного цикла памяти, связывающего сигнальное поле, поданное на вход ячейки призаписи, с сигнальным полем, вышедшим из нее при обратном считывании. Пользуясь решениями системы (3.19, 3.20), найденными в [17, 78], и, переходя от операторов к соответствующимим аналитическим функциям так, как это было сделано в главе 2, получим (˜) =∫︁˜˜′ (˜ − ˜′ ) (˜, ˜′ ),0(˜, ˜′ ) =∫︁˜˜ ′ (˜ ′ , ˜′ ) (˜ ′ , ˜),0(︁ √︀ )︁˜ (˜ , ˜) = (˜ , ˜) = − − ˜0 2 ˜˜ Θ(˜),(︁ √ )︁где 0 2 ˜˜ – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка; Θ(˜) – функция окнатакая, что Θ(˜) = 1 при 0 < ˜ < ˜ и Θ(˜) = 0 для всех остальных времен. Как и в случаепротокола быстрой квантовой памяти, мы рассматриваем одинаковое время взаимодействия ˜для этапов записи и считывания, т.е.
˜ = ˜ = ˜ .Для модели адиабатической квантовой памяти ядро полного цикла (˜, ˜′ ) также оказывается симметричным относительно перестановки аргументов и ′ , поэтому мы можем поставить задачу на собственные функции и собственные значения и записать разложение Шмидта.На рис.
3.4 представлены первые семь собственных чисел для модели быстрой кванто˜ = 10 и ˜ = 5.5, и моделивой памяти (красные кружки), полученные при безразмерных ˜ = 100адиабатической квантовой памяти (синие квадраты), полученные при безразмерных и ˜ = 100. Мы добавили индекс "HS" для быстрой квантовой памяти и "AD" для адиабатической. На рис. 3.5 приведены первые три собственные функции полного цикла для моделиадиабатической квантовой памяти (верхняя строка), их квадраты (средняя строка), а также их˜ и ˜ .Фурье-спектры (нижняя строка), полученные для тех же параметров 55Рисунок 3.4: Первые семь собственных чисел для быстрой (красные кружки) и адиабатической(синие квадраты) моделей квантовой памяти при оптической толщинеРисунок 3.5: Первые три собственные функции интегрального преобразования поля со входа навыход ячейки памяти (верхняя строка), их квадраты (средняя строка) и их Фурье-спектры(нижняя строка) в схеме адиабатической квантовой памяти.
Безразмерное время введено как2Ω2 /, безразмерная частота – как / (2Ω2 ).56Прежде, чем перейти к непосредственному сравнению двух протоколов, нужно сказать,˜ и ˜ для быстрой ичто, несмотря на различные значения безразмерных длин ячейки адиабатической моделей памяти, мы будем предполагать, что все расчеты выполнены при одинаковой оптической толщине = 2 2 / ∼ 55 (мы считаем, что Ω / ≈ 10), т.е., инымисловами, в одной и той же ячейке памяти, но в зависимости от выбранного времени взаимодействия излучения со средой работающей либо в режиме быстрой, либо в режиме адиабатическойквантовой памяти.Мы использовали разные процедуры обезразмеривания времени для рассматриваемыхпротоколов2Ω2 → ˜ .Ω → ˜ ,(3.23)При этом требования, которые накладываются на частоту Раби, оказываются противоположными: ≪ Ω , ≫ Ω .(3.24)Отсюда следует, что Ω ≪ Ω и они должны отличаться как минимум на два порядка.
Отметим, что такие соотношения между параметрами задачи гораздо проще получить в экспериментах для быстрой квантовой памяти при резонансном взаимодействие света со средой, чем садиабатической, особенно для холодных атомных ансамблей.Для адиабатической квантовой памяти мы выбрали время взаимодействия ˜ , совпа˜ т.е.
˜ = 100, что, согласно [17], отвечает порогу,дающим с безразмерной длиной ячейки после которого эффективность памяти при сохранении в ней сигнального поля с прямоугольнымвременным профилем практически перестает меняться и, следовательно, дальнейшее увеличение ˜ приведет только к заведомому сокращению полосы пропускания квантового информационного канала.Как видно из рис. (3.4), собственные значения для адиабатической квантовой памятиубывают гораздо медленнее, чем для быстрой, однако и в том, и другом случае квантовый ре√жим ( > 0.7), при котором эффективность полного цикла памяти превысит 50%, преодоле√√√√вают только первые два ( 1 = 1 и 2 = 0.9 – для быстрой, 1 = 0.97 и 2 = 0.8 – дляадиабатической). Кроме того, на рис. 3.5 хорошо видно, что в отличии от схемы быстрой памяти, в которой первые две собственные функции были локализованы в различных областях навременной шкале, в случае адиабатической памяти собственные функции оказываются "неразделенными".
Из-за этого нельзя определить, в какую из временных собственных мод происходитсчитывание.57Наконец, сравнивая спектры рассматриваемых протоколов квантовой памяти и имея ввиду неравенства (3.24), можем заключить, что ширина собственных мод адиабатической памятикак минимум на четыре порядка меньше соответствующей ширины для быстрой памяти. Этоозначает, что информационной канал, включающий в себя быструю квантовую память, имеетбольшую спектральную полосу пропускания и обладает большей информационной емкостью илучшей скоростью при передаче и обработке квантовой информации.3.4Заключение по главе 3В этой главе мы решили спектральную задачу для полного цикла быстрой и адиабати-ческой схем квантовой памяти, и увидели, что и в том, и в другом случае при выбранных намипараметрах квантовому режиму работы, когда эффективность хранения достигает 50%, отвечаюттолько две первые собственные функции.Мы обнаружили, что быстрая квантовая память обладает фильтрующими свойствами,так как ее первые две собственные функции оказываются локализованными на разных участкахвременной оси и им отвечают наибольшие собственные числа в то время, как все остальныесобственные числа оказываются пренебрежимо малыми.Мы также доказали, что в отличие от квантового информационного канала с адиабатической памятью канал, включающий в себя ячейку быстрой памяти, имеет большую спектральнуюполосу пропускания и обладает большей информационной емкостью и лучшей скоростью припередаче и обработке квантовой информации.Кроме того, нами были построены функции отклика среды, отвечающие пространственному распределению когерентности в ячейки памяти, когда на ее вход подается поле, обращенный временной профиль которого совпадает с соответствующей собственной функцией полногоцикла.Введенный математический аппарат и полученные нами решения спектральной задачи позволяют проанализировать квантовые свойства хранения, а также ответить на вопрос овлиянии теплового движения между этапами записи и считывания, чем мы воспользуемся вследующих главах.58Глава 4Сохранение сжатия и перепутывания дляпродольно многомодовой квантовойпамятиДля того, чтобы оценить возможности той или иной модели памяти к сохранению ивосстановлению гауссовских квантовых состояний света, широко используются критерии, основанные на эффективности квантовой памяти [16], которая вводится как отношение среднегочисла фотонов сигнального поля, полученных при считывании из ячейки, к среднему числу фотонов, поданных на ее вход при записи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
